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易错点总表

正文每节末尾都有一份「常见错误清单」，共 36 组、约 120 条。它们分散在各节时容易变成墙纸——本页把它们按「错在什么心智模型上」重新归组，并配一套判断题做主动回忆。

怎么用这一页
  • 和正文里那份的关系：各节末尾的「常见错误清单」是就地提醒——读完那一节立刻自查用；本页是按「错在什么心智模型上」重新归组的复习版，把散在 31 个小节里的同一类错误并到一起。两者内容对应、用途不同，不必都读。
  • 读完一章后：扫一遍对应主题组，把「我确实这么想过」的条目抄进笔记——错误清单的价值在于认领，不在于读完。
  • 考前：直接做末尾的 25 道判断题。遮住答案逐条判断，错了再回正文。
  • 每条后面的编号可跳回正文该节的完整清单与推导。

一、按主题归组的易错点

组 1 · 上下标与约定（第二章最贵的错误）

错法正解
把 R10R_1^0 的上下标读反上标是参考系、下标是被描述对象：R10R_1^0 的列是系 1 的轴在系 0 中的像。顺口令：AA 的右上块 =「动系原点用固定系的话说」
把方向余弦说成「夹角」是夹角的余弦，取值 [−1,1][-1,1]，符号携带朝向信息
以为 det⁡R\det R 取 ±1\pm1 无所谓det⁡R=−1\det R=-1 是左手系（含镜像），不属于 SO(3)SO(3)，用它会得到「照镜子」的假姿态
对 AA 求 ATA^{\mathrm T} 当逆正交性只在旋转块内成立；齐次变换 A−1≠ATA^{-1}\neq A^{\mathrm T}，要按分块公式重装
把 R−1=RTR^{-1}=R^{\mathrm T} 当废话它来自正交性，是「逆变换白送」的根源；但也只对旋转矩阵成立

出处：2.1、2.2、2.7。

组 2 · 旋转合成方向

错法正解
背错乘法方向右乘当前轴、左乘固定轴。检验法：把序列复述成中文——「在转完的基础上再绕它的 y′y' 转」= 右乘
把 ϕ=[φ ϑ ψ]T\boldsymbol\phi=[\varphi\ \vartheta\ \psi]^{\mathrm T} 当向量角度集合只是打包记号；旋转不可交换，它没有向量加法
把角和轴的五步序列写成右乘五步全绕固定轴（借 zz 轴中转），必须左乘——与 ZYZ 的右乘正相反

出处：2.3、2.5。

组 3 · 欧拉角与反解

错法正解
用 arccos⁡\arccos 反解角度值域只有 [0,π][0,\pi]（不唯一），且导数在 x→±1x\to\pm1 无界（误差被无限放大）；凡反解一律 Atan2
忘记 ZYZ / RPY 各有两支解两支效果等价但角度值不同；编程时须固定取值区间
把 RPY 的「滚转」配给绕 zz 的角滚转（roll）绕纵轴 xx，偏航（yaw）绕竖轴 zz（英文原书与课件此页标签均反，见勘误 E2.1）
在 sϑ=0s_\vartheta=0 附近强行分离 φ,ψ\varphi,\psi数据上表现为两角剧烈跳变——这是表示奇点，不是物理抖动
把「QQ 与 −Q-Q 同旋转」当成角和轴式的不唯一前者源自 ϑ∼ϑ+2π\vartheta\sim\vartheta+2\pi，逆解的 η≥0\eta\ge0 约定已为每个 RR 选定唯一 QQ；角和轴的不唯一则是两组参数都留在表示里、无人裁决
忘记四元数的单位约束必须归一化才能当旋转用；长期数值迭代后要重新归一化
求 r\boldsymbol r 后忘记校验 ∣r∣=1|\boldsymbol r|=1这是检验 RR 是否合法的免费手段
认为「4 个参数比欧拉角多所以更差」多 1 个参数换来无奇点与规划友好性；参数个数与表示质量不是一回事

出处：2.4、2.5、2.6。

组 4 · DH 建系与正运动学

错法正解
ziz_i 配错关节zi−1z_{i-1} 沿关节 ii 的轴。DH 约定下坐标系 ii 挂在关节 i+1i+1 上，最易与「改进 DH」记法混淆（见勘误 E2.4）
αi\alpha_i 符号凭感觉绕 xix_i 逆时针为正；必须做「从 zi−1z_{i-1} 绕 xix_i 转到 ziz_i」的动作比划方向
移动关节还让 ϑi\vartheta_i 当变量变量只能有一个；类型判定的唯一依据是关节，不是杆的形状
把 Ten,Tb0T_e^n,T_b^0 忘在门外Tn0T_n^0 只是「杆 nn 坐标系」的位姿，末端执行器坐标系的常值串接不可省
对带腕拟人臂强行 T臂T腕T_{\text{臂}}T_{\text{腕}} 相乘接口不齐，结果错且难察觉；正确动作是整体重建系或插常值变换
忘记零位约定与编程零位的常值漂移读任何 DH 表先问「标准还是改进」，先对零位约定再对数

出处：2.8、2.9。

组 5 · 工作空间、冗余与精度

错法正解
把「末端原点的工作空间」当「带姿态的工作空间」可达工作空间只看原点；灵活工作空间才涉及任意方向到达
认为 6 自由度机械手对任何任务都「刚好」激光切割（r=5r=5）就是功能冗余的日常反例
混淆精度与重复定位精度精度 = 对标称参数的偏差（可标定改善）；重复精度 = 回访一致性（示教再现的命根）
用 mm 而不是 rr 判冗余冗余相对任务：n=m=3n=m=3 的平面臂对定位任务（r=2r=2）已是冗余
忘了 JJ 要先「按任务取行」再谈零空间零空间维度是 n−rn-r，不是 n−mn-m
以为自由度越多越好冗余带来灵活性，也带来更高的控制与标定成本

出处：2.10、3.4、1.2。

组 6 · 逆运动学

错法正解
忘记从 pe\boldsymbol p_e 里扣掉 d6aed_6\boldsymbol a_e 直接解臂先算腕心 pw=pe−d6ae\boldsymbol p_w=\boldsymbol p_e-d_6\boldsymbol a_e；d6≠0d_6\neq0 时不扣就全错
平方相加后只写 cc 不写 ss 的符号分支丢掉整支解（肘上/肘下、肩左/肩右）
在 c2∉[−1,1]c_2\notin[-1,1] 时继续往下算这是「给定点在工作空间外」，应报告无解而不是硬套 Atan2
把球形腕的解当独立问题硬推先查旋转块是否恰为某个欧拉角矩阵——球形腕 = ZYZ 反解

出处：2.12。

组 7 · 雅可比构造

错法正解
把 zi−1z_{i-1} 当成 [0,0,1]T[0,0,1]^{\mathrm T}zi−1z_{i-1} 是基坐标系下的关节轴，=Ri−1=R_{i-1} 的第三列，随位形变化；只有 z0=[0,0,1]Tz_0=[0,0,1]^{\mathrm T}
转动关节列叉乘方向写反JPi=zi−1×(pe−pi−1)J_{P_i}=z_{i-1}\times(\boldsymbol p_e-\boldsymbol p_{i-1})，矢径从关节轴上的点指向末端；写反差一个负号
把 p˙i\dot p_i 递推的牵连项写成 ωi×(⋅)\omega_i\times(\cdot)牵连的是前一连杆的角速度 ωi−1\omega_{i-1}
认为 ωe≠ωn\omega_e\neq\omega_n末端执行器与连杆 nn 之间无关节变量，两者角速度相同
斯坦福第 3 列误取转动列q3=d3q_3=d_3 是移动关节，J3=[z2; 0]J_3=[z_2;\ 0]，角速度行是零
拟人臂忘了 z1≠z0z_1\neq z_0肩部 π/2\pi/2 扭转后关节 2、3 的轴水平（[s1,−c1,0]T[s_1,-c_1,0]^{\mathrm T}），不随 ϑ2,ϑ3\vartheta_2,\vartheta_3 变、但随 ϑ1\vartheta_1 变
平面臂保留全部六行做运算第三、四、五行恒为零，先选有效行，行列式与秩的讨论才有意义

出处：3.1、3.2。

组 8 · 奇点与冗余

错法正解
把奇点当「数值 bug」奇点是结构的几何属性（轴共线 / 腕点落轴），换算法换精度都躲不掉，只能规划绕开或结构上避免
用解耦矩阵做逆解 / 速度控制det⁡J=det⁡J11det⁡J22\det J=\det J_{11}\det J_{22} 只保行列式，不保「末端」语义
忘了「邻域」二字det⁡J≠0\det J\neq0 但很小时 J−1J^{-1} 元素已经巨大，边界奇点附近的关节速度放大同样要规避
把 Pq˙0P\dot{\boldsymbol q}_0 当作误差修正项它对末端速度的贡献恒为零，只改内部姿态；「干活」永远靠第一项 J†veJ^\dagger\boldsymbol v_e

出处：3.3、3.4。

组 9 · 逆微分运动学

错法正解
对冗余臂硬求 J−1J^{-1}r×nr\times n 长方阵没有逆，要用广义逆：方阵求逆、矮胖求伪逆、退化加阻尼
忘了 JW−1JTJW^{-1}J^{\mathrm T} 可逆的前提是 JJ 行满秩奇点情形必须换 DLS，老配方失效
混淆 J†J^\dagger 与 J−1J^{-1}J†=JT(JJT)−1J^\dagger=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1} 是右伪逆（r<nr&lt;n）；J∗J^* 是奇异情形广义逆——三者对应三种「不方 / 退化」

出处：3.5。

组 10 · 分析雅可比

错法正解
把 JAJ_A 与 JJ 的差别当「笔误」两者角速度行不同是本质差异（换基），线速度行才相同
直接用 φ˙\dot\varphi 积分做姿态更新φ\varphi 可积但非线性；工程上通常仍走旋转矩阵 / 四元数
在 ZYZ 奇点只怪欧拉角「反解跳变」JAJ_A 本身也在此失效（TT 不可逆），二者同源

出处：3.6。

组 11 · 静力学

错法正解
用 J−1J^{-1} 或 J†J^\dagger 传力力变换是 JTJ^{\mathrm T}（对偶），不是逆；长方阵也成立
忘记力的坐标系FeF_e 与 JJ 必须在同一坐标系下；传感器力要先变换到基系
把 τ=JTFe\tau=J^{\mathrm T}F_e 用于动态 / 高速情形它是静力平衡式；含惯性、科氏力时须回到动力学方程

出处：3.8。

组 12 · 标定

错法正解
以为一轮线性化就能得到最终参数kk 非线性，Φ\Phi 与 Δx\Delta\boldsymbol x 都随参数更新而变，必须迭代
量测位姿取位「太整齐」全挤在工作空间一隅会让 ΦTΦ\Phi^{\mathrm T}\Phi 接近奇异；量测应铺满工作空间并富余（tm≫4ntm\gg4n）

出处：2.11。

组 13 · 第一章的概念边界

错法正解
把机器人想象成人形机器定义「无关其外表」；工业领域以臂状机械手为绝对主力
认为三定律是真实的法律或技术标准它是 1940s 的科幻设定，但精神被安全规范（ISO 10218 / ISO/TS 15066）继承
把「自动化」等同于「机器人」刚性自动化中的专用机器不含感知—行为闭环
以为控制系统只是「写程序」控制服从反馈原理，与人体功能控制同构
数自由度时把关节数直接相加开链可直接计数，闭链必须先列独立约束
把 SCARA 当「三轴拟人」SCARA 三轴平行；拟人型后两轴平行、首轴垂直——工作空间与柔性完全不同
认为精度只取决于控制器构形决定精度分布（拟人型随位置变化、笛卡儿型处处一致），结构先于算法
把自位轮当导向轮自位轮被动对齐方向，无电机控制转向；但它的牵引可以独立驱动
以为「不能即时横移 = 不能横移」速度约束 ≠ 位置约束；非全向机器人仍可通过机动操纵获得任意净位移
忽略阿克曼几何汽车式前两轮方向不一致是避免滑动的机构要求，不是工艺误差
数移动机器人自由度时直接数轮子应数容许瞬时运动的方向数，它与位形变量数（平面刚体 3）未必相等
引用行业数据不注年份原书数据是 2006 年口径，今天的数量级已完全不同（见勘误页时效补注）
以为并联机器人「全方位更好」它以工作空间缩减换刚度与速度
以为先进机器人 = 人形机器人关键是环境不确定性与自治范围，不是形态
把运动学与动力学混谈运动学不含力，动力学才是力与运动的关系
以为规划只是「找路径」轨迹规划生成时间律，运动规划解决避障——两回事
以为模型够准就能开环控制模型不能完全描述真实结构，反馈不可省略
把移动机器人当机械手的平移版控制输入数 < 变量数，跟踪与调节的控制器结构不同

出处：第一章各节。

组 14 · 轨迹规划的概念与选型（第四章前半）

错法正解
把路径当轨迹差一个时间律——轨迹必须能说出每点的速度或加速度
以为「平滑」只有一个档次位置 / 速度 / 加速度的连续性分三档；要求的阶次越高，对电机的要求反而越低，代价是算力
约束数与阶次不匹配三次 4 个系数只能给 4 个条件；要指定初终加速度必须升到五次（6 个条件）
用五次多项式还声称能量最优最小能量解只能是三次；选五次就放弃了该指标
把 tct_c 当 tf/2t_f/2tc≤tf/2t_c\le t_f/2 只是上界；等号对应三角形速度曲线（无巡航段）
忘了 sgn⁡q¨c=sgn⁡(qf−qi)\operatorname{sgn}\ddot q_c=\operatorname{sgn}(q_f-q_i)加速度符号必须与位移同号，否则 (4.6) 的根无意义
让用户指定总时间 tft_f工业上给的是最大速度 / 加速度的百分比，避免用户给出不可实现的短周期

出处：4.1、4.2.1。

组 15 · 系列点插值与操作空间（第四章后半）

错法正解
用单个高阶多项式穿过所有点五个缺点（振动、数值精度、求解繁难、全局耦合、不能指定端点速度）；改用分段低阶
把样条说成「光滑插值」样条的定义性特征是加速度连续；只保证速度连续的是「指定速度 / 计算速度」两法
给虚拟点赋位置值虚拟点不指定位置，只施加位置 / 速度 / 加速度的连续性约束
直接解样条的 4(N+1)4(N+1) 元系统必须降维：位置指定值 + 位置 / 加速度连续性 ⇒ NN 个未知量 ⇒ 三对角系统 (4.28)，且 AA 与关节无关
把经由点当路径点抛物线混合下 q(t)q(t) 不到达路径点，只从附近经过；混合加速度越大越贴近
多段直线路径以为能自动平滑通过不共线分段在路径点处速度必跳跃——要么削角（经由点），要么接受停顿
把 s˙\dot s 当速度向量s˙\dot s 是速度的模（带符号），方向由切向 tt 提供
圆弧只算切向加速度漏掉 s˙2/ρ\dot s^2/\rho 的向心项；曲率越大漏得越多——这正是曲率大处要限速的原因
直接对旋转矩阵逐元素插值中间矩阵不再正交，不是旋转矩阵；必须换表示（欧拉角 / 角和轴）
欧拉角插值后忘换回基系插出的是 φe\boldsymbol\varphi_e，控制要的是 ωe\boldsymbol\omega_e，中间必须过 T(φe)T(\boldsymbol\varphi_e)（且 TT 有奇点）

出处：4.2.2、4.3.1–4.3.3。

组 16 · 执行系统与传动装置（第五章前半）

错法正解
把功率放大器当「信号放大器」放大的是功率：PeP_e 供能量，PcP_c 只决定「取多少」——正因此功率增益能到 10610^6
忽略传动装置的损失 PdtP_{dt}算总效率要用 Pu/Pa=ηmηtP_u/P_a=\eta_m\eta_t，不能只看电机效率
以为理想传动装置改变功率无间隙刚性传动不改变功率，只重新分配力与速度；损失才体现为 PdtP_{dt}
只记住「减速增矩」传动装置还有定性变换（转动→平动）与减重解耦（发动机后置）两个作用，老师反复强调
把直驱当「更先进所以更好」直驱换来的是无弹性无间隙，代价是控制复杂度（失去减速后非线性耦合无法忽略）；工业上并不普遍
选传动装置不看工况同步带适合高速低矩（轻，但橡胶带矩大会变形），正时链适合低速高矩（钢质，但质量大高速会颤）
把步进电机的优点说成「精度高」它的特点是不需要转角位置测量（开环可控）；代价是动态性能受载荷影响、会引起结构振荡
混淆换向器与静态整流器有刷的换向器是机械的（靠电刷），无刷的静态整流器是电子的（靠位置传感器 + 控制模块）

出处：5.1、5.1.1、5.1.2。

组 17 · 驱动建模与传感器（第五章后半）

错法正解
把 kvk_v 与 ktk_t 当成两个独立参数标准国际单位下数值相等（kt=kvk_t=k_v）——这是 (5.12)(5.13) 化简的前提
认为「加了电流反馈一定更好」恰恰相反：独立关节控制不加更好（干扰增益 Ra/(kvkt)≪1/FmR_a/(k_vk_t)\ll1/F_m），集中控制才需要
忘记放大器时间常数的量级TvT_v 在 10−510^{-5}–10−410^{-4} s，比机械时间常数小几个数量级——这才使降阶模型成立
液压驱动漏掉 QlQ_l 与 QcQ_c渗漏与可压缩性是液压区别于电气的核心动态项，100 atm 级下不可忽略
把 kc=γVk_c=\gamma V 当常数只有旋转式是常数；直线式流体体积随行程变，响应取决于工作点
混淆伺服阀与分布器伺服阀可当一阶惯性（TcT_c 毫秒级可忽略），分布器是强非线性、必须线性化
两个折算因子写反惯量与摩擦按 1/kr21/k_r^2，负载力矩与非线性按 1/kr1/k_r——前者是速度的系数，后者是外力
摆的例子里 krk_r 只出现在一处正确形式 mglkrsin⁡ϑmkr\dfrac{mgl}{k_r}\sin\dfrac{\vartheta_m}{k_r}：幅值与自变量各被缩小一次
位置环只写「PI 控制器」说不出分工积分管稳态（消除干扰影响）、比例管稳定与阻尼（前向通路有两个原点极点）
以为测速反馈只是「多测一个量」它的实质是多一个反馈回路——故瞬态干扰也被抑制，带宽更宽、振荡更少
把编码器分辨率当精度量化分辨率 2π/2n2\pi/2^n 只是能分辨的最小增量；精度还受偏心、回弹、码盘工艺限制
忘格雷码的用途它让相邻码字只变一位，避免多轨同时翻转产生的过渡错码
力传感器读数直接当末端力用传感器测的是作用在传感器上的等价力，与末端受的力不同；必须经 (5.32) 换到约束坐标系
声纳测距忘除以 2 或忘温度修正d=vt/2d=vt/2（回波走了往返）；v≈331.4+0.6Tv\approx331.4+0.6T，0→25∘C0\to25^{\circ}\mathrm{C} 就有 4.5% 漂移
相机投影省掉除以深度XI=xI/λX_I=x_I/\lambda 中的 λ\lambda 不能省——省了就是把归一化平面当像素平面

出处：5.2.1–5.2.4、5.3–5.4.3。

二、判断题（主动回忆）

30 道。先逐条判断对错，再展开答案核对——遮住答案是这一节的全部意义。

判断题 1–10
  1. 旋转矩阵的逆等于它的转置，齐次变换矩阵也一样。
  2. 绕当前坐标系的轴连续旋转要左乘。
  3. Atan2⁡(y,x)\operatorname{Atan2}(y,x) 与 arctan⁡(y/x)\arctan(y/x) 的区别只在于前者能处理 x=0x=0。
  4. ZYZ 欧拉角在 ϑ=0\vartheta=0 时无法唯一确定 φ\varphi 和 ψ\psi。
  5. DH 参数中 aia_i 与 αi\alpha_i 永远是常数，did_i 与 ϑi\vartheta_i 中恰有一个是关节变量。
  6. 一个 6 自由度机械手对任何任务都不冗余。
  7. 球形腕的逆运动学可以拆成「先解臂、再解腕」两步。
  8. 解耦公式 det⁡J=det⁡J11det⁡J22\det J=\det J_{11}\det J_{22} 也可以用来把逆运动学拆成两个三阶问题。
  9. 雅可比矩阵的第 ii 列，是其余关节锁死时关节 ii 对末端速度的贡献。
  10. 冗余机械手的零空间运动会让末端产生额外的速度。
答案与解析
  1. 错。旋转矩阵 R−1=RTR^{-1}=R^{\mathrm T} 成立（正交性），但齐次变换矩阵 A−1≠ATA^{-1}\neq A^{\mathrm T}——正交性只在旋转块内成立，平移块要按分块公式重装。
  2. 错。绕当前轴（动系）是右乘；绕固定轴才是左乘。口诀：右乘当前轴、左乘固定轴。
  3. 错。更本质的差别是精度：arctan⁡\arctan 的导数 1/(1+x2)≤11/(1+x^2)\le1 处处有界，arccos⁡\arccos 的导数在 x→±1x\to\pm1 处无界，且 arccos⁡\arccos 值域只有 [0,π][0,\pi]（不唯一）。
  4. 对。sϑ=0s_\vartheta=0 时两次绕 zz 类轴的旋转绕平行轴进行、效果合并，只能确定 φ±ψ\varphi\pm\psi 的和或差——这是表示奇点。
  5. 对。这就是「3 常 1 变」；关节类型（转动/移动）决定哪个是变量。
  6. 错。冗余是相对任务的：激光切割任务 r=5r=5，6 轴机械手就是功能冗余的。
  7. 对。球腕三轴交于腕心，腕的转动不改变腕心位置——臂定位、腕定向，两个子问题可分别求解。
  8. 错。这个解耦只保行列式（用于奇点分析），不保「末端」语义；拿它做逆解或速度控制会得到错误结果。
  9. 对。这是逐列构造的物理解读，也是 JiJ_i 公式的来源。
  10. 错。零空间运动满足 JPq˙0=0JP\dot{\boldsymbol q}_0=0，对末端速度贡献恒为零——它是「不惊动末端」的内部运动（自运动）。
判断题 11–20
  1. 力和速度的变换矩阵互为转置。
  2. τ=JTFe\tau=J^{\mathrm T}F_e 要求 JJ 是方阵且满秩。
  3. 分析雅可比 JAJ_A 与几何雅可比 JJ 的前三行（线速度部分）相同。
  4. 冗余机械手的伪逆解 J†veJ^\dagger\boldsymbol v_e 是最小范数解。
  5. 阻尼最小二乘里的 KK 越大越好。
  6. 运动学奇点可以用更高精度的数值算法避免。
  7. 闭环运动链的自由度等于关节数。
  8. 移动机器人的即时机动自由度一定等于它的位形变量数。
  9. 轨迹规划和运动规划是同一件事的两种叫法。
  10. 只要模型足够准确，开环控制就可以替代反馈。
答案与解析
  1. 对。这是「运动静力学对偶」——功率守恒 q˙Tτ=veTFe\dot{\boldsymbol q}^{\mathrm T}\boldsymbol\tau=\boldsymbol v_e^{\mathrm T}F_e 的直接推论。
  2. 错。JTJ^{\mathrm T} 对长方阵也成立，无需方阵、无需满秩——这正是对偶关系比求逆更普适的地方。
  3. 对。位置部分两者都是 ∂pe/∂qi\partial\boldsymbol p_e/\partial q_i；差别只在姿态部分（角速度 ω\boldsymbol\omega vs 欧拉角速率 φ˙\dot{\boldsymbol\varphi}，差一个换基 TT）。
  4. 对。它是约束 Jq˙=veJ\dot{\boldsymbol q}=\boldsymbol v_e 下最小化 12∥q˙∥2\frac12\|\dot{\boldsymbol q}\|^2 的解。
  5. 错。KK 的取法是分情况的：奇点邻域取大（压住 det⁡J→0\det J\to0 引起的发散），远离奇点取小甚至趋 0（退回伪逆，避免引入不必要的末端误差）。
  6. 错。奇点是结构的几何属性（轴共线、腕点落轴），不是数值误差；换算法换精度都躲不掉，只能规划绕开或在结构上避免。而且 det⁡J≠0\det J\neq0 但很小时，J−1J^{-1} 元素已经巨大——邻域同样危险。
  7. 错。闭链存在回路约束，必须扣除独立约束数；开链才可直接计数。
  8. 错。即时机动自由度是容许瞬时运动的方向数，可能小于位形变量数（如汽车式底盘的平面位形有 3 个变量，但瞬时不能侧移）。
  9. 错。轨迹规划生成时间律（何时在何处），运动规划解决避障（路径本身）。
  10. 错。模型永远不能完全描述真实结构（摩擦、间隙、未建模动态），反馈不可省略——这是全书从第 6 章到第 11 章反复回响的第一性理由。
判断题 21–25
  1. 三次多项式在初终速度为零时，也能满足指定初终加速度的要求。
  2. 梯形速度曲线（LSPB）的加速度峰值一定小于三次多项式。
  3. 三次样条要指定初终加速度，必须引入两个虚拟点。
  4. 抛物线混合插值时，轨迹精确经过每一个路径点。
  5. 角和轴法可以把姿态规划化为一维标量规划。
答案与解析
  1. 错。三次只有 4 个系数，容不下「初终加速度」这 2 个额外条件——必须升到五次（6 个系数、6 个条件）。这正是 4.2.1.2 的出发点。
  2. 错。LSPB 的加速度是分段常值，其峰值 ∣q¨c∣|\ddot q_c| 可由用户直接指定（只要满足下界 (4.7)）；教材图 4.1 的三次例峰值也是 6π6\pi，而 LSPB 用同样峰值时能量指标已高 12.5%。两者的峰值不在同一个量级关系上——LSPB 的价值是峰值可控且可验证，不是更小。
  3. 对。NN 个路径点 + 初终加速度 ⇒ 方程数比未知数多 2，须引入两个虚拟点补到 4(N+1)4(N+1) 对 4(N+1)4(N+1) 才可解（定理 4.2.G）。
  4. 错。抛物线混合下轨迹不经过路径点，只从附近经过——故改称「经由点」；偏离量与相邻速度差、混合时间成正比（定义 4.2.7）。
  5. 对。等效轴 r′r&#x27; 固定不变，姿态轨迹完全由转角 θ(t)\theta(t) 决定，于是姿态规划降为一维标量规划，可复用点对点 / 系列点的全部方法（定理 4.3.F）。
判断题 26–30
  1. 减速比越大，电机轴上看到的负载惯量越小，所以减速比越大越好。
  2. 传动装置只影响力矩的传递，不影响系统的动态特性。
  3. 不加电流反馈时驱动抗干扰更好，因此电流反馈没有存在的必要。
  4. 位置伺服只要控制器增益足够大，就可以不用积分项。
  5. 六维力传感器测出的 6 个数可以直接拿去算末端执行器受到的力。
答案与解析
  1. 错。Ieq=Im+I/kr2I_{eq}=I_m+I/k_r^2 确实随 krk_r 单调减小，但减速比受其他因素限制：传动装置本身的惯量与摩擦、间隙与弹性（降低精度、引发振荡）、效率、体积与成本；而且 krk_r 太大时 ImI_m 反而成为主导（本例 kr=100k_r=100 时负载惯量已只占 5%），再增大收益趋零。工程上是权衡，不是单调最优。
  2. 错。§5.2.3 的全部内容就是「传动装置如何改变动态」——它按 1/kr21/k_r^2 改写等效惯量与摩擦、按 1/kr1/k_r 改写负载力矩与非线性，从而把强耦合的多轴系统解耦成可独立设计的单轴系统。
  3. 错。电流反馈有两个不可替代的用途：限流保护（用带死区非线性的反馈实现，比控制信号饱和更精确）与力矩控制特性（集中控制方案需要）。取舍是「什么时候加」，不是「要不要」。
  4. 错。缺积分会导致稳态干扰（负载力矩、重力矩）造成恒定的位置误差——因为干扰点之前的有限增益只能把误差压小而不能压到零。PI 中的 I 正是为消除该稳态误差（定理 5.2.D）。
  5. 错。传感器读数描述的是作用在传感器上的等价力，与作用在末端执行器上的力不同（参考点与方向不同）；必须用式 (5.32) 从传感器坐标系 ss 变换到约束坐标系 cc。作业 5.6 正是这道变换的算例。

三、自查：你的错误集中在哪一组

如果你常犯说明缺的是回哪补
组 1、组 2符号约定与乘法规则的肌肉记忆重做 2.3、2.7 的小结；把 RjiR_j^i 读法抄十遍
组 3「表示都有代价」的统一视角重读 2.4–2.6，把三种表示的「参数数 / 奇点 / 是否唯一」列成一张表
组 4建系的手感拿 2.9 的九种结构，每种独立重推一遍参数表，不看答案
组 7逐列构造的物理图像重推绿框（定理 3.1.C），并回答「为什么移动关节的角速度行是零」
组 8、组 9矩阵形状的分支判断画一张 JJ 的三种形状 → 三味药的对照表，默写出来
组 13定义先行与年代意识重读 1.1、勘误页
组 14「约束数 = 系数个数」的计数习惯重做 4.2.1 的默写点；把三次 / 五次 / 梯形的约束与系数列成一张表
组 15「几何 × 时间」的分解视角重读 4.3.1–4.3.3，回答「位置和姿态各自降成哪个标量」
组 16器件「用途—代价」的成对记忆重读 5.1.1–5.1.2，把每种器件按「作用 / 优点 / 缺点 / 适用场合」四件套重列一遍
组 17两个折算因子与反馈取舍重读 5.2.3、5.2.4，默写 Ieq,Feq,Cl/krI_{eq},F_{eq},C_l/k_r 并说出位置环 PI 各部分的作用

公式本身记不住的话，去公式速查卡；术语对不上号去术语索引。