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2.3 旋转矩阵的合成

2.1–2.2 已建立单个旋转矩阵及其三重身份。接下来自然要问：把多个旋转接在一起时，它们该如何合成？本节回答这个问题，给出两条规则——绕当前轴右乘、绕固定轴左乘——并建立贯穿全章的性质：合成不可交换。本节内容对应录播第 1 周 2:18–2:24（链式合成与不可交换），以及第 2 周 0:02:47–0:08:54 的回顾与 0:30:07–0:30:54 的收束。

2.3.1 记号与合成规则

先把记号约定清楚。记 pi\boldsymbol p^i 为同一点（向量）在坐标系 ii 中的表示；记 RjiR_j^i 为坐标系 jj 相对坐标系 ii 的旋转矩阵，它的每一列就是 jj 系各轴在 ii 系中的方向余弦。有了这套记号，链式合成可以写得很紧凑。对三个共原点系 0,1,20,1,2（原书式 2.12–2.15）：

p1=R21p2,p0=R10p1 ⇒ p0=R10R21p2 ⇒ R20=R10R21\boldsymbol p^1=R_2^1\boldsymbol p^2,\qquad \boldsymbol p^0=R_1^0\boldsymbol p^1\ \Rightarrow\ \boldsymbol p^0=R_1^0R_2^1\boldsymbol p^2\ \Rightarrow\ \boxed{R_2^0=R_1^0R_2^1}

原理 2.3.A · 相对当前轴的连续旋转 → 右乘

若每次旋转都绕上一个旋转产生的新坐标系的轴进行（「当前轴」），则按旋转发生顺序依次右乘：

R20=R10R21,一般地 Rn0=R10R21⋯Rnn−1.R_2^0=R_1^0R_2^1,\qquad\text{一般地 } R_n^0=R_1^0R_2^1\cdots R_n^{n-1}.

且逆关系就是上下标对换（原书式 2.16）：

R10=(R01)−1=(R01)T.R_1^0=(R_0^1)^{-1}=(R_0^1)^T .

原理 2.3.B · 相对固定轴的连续旋转 → 左乘

若每次旋转都绕固定参考系的轴进行，则规则恰好相反：新旋转依次左乘（前乘）。以两次旋转为例，先绕固定系转 ϑ1\vartheta_1、再绕固定系转 ϑ2\vartheta_2，总旋转为

R=Rϑ2 Rϑ1(先转的在右边).R=R_{\vartheta_2}\,R_{\vartheta_1}\qquad(\text{先转的在右边}).

这一点原书也有对应表述（式 2.17 后一句）：固定系下的连续旋转合成，是「按给定旋转顺序对各单个旋转矩阵依次前乘」（premultiplication in the order of the given sequence）。

原理 2.3.B 的证明（两种看法）

看法一 · 映射复合（一行证完）：姿态矩阵 R10R_1^0 把刚体坐标映到固定系坐标；而绕固定系某轴的新旋转，是作用在固定系坐标上的映射 Rϑ2R_{\vartheta_2}（也就是可直接查表的基本旋转矩阵）。于是合成映射「先 Rϑ1R_{\vartheta_1}、后 Rϑ2R_{\vartheta_2}」按复合写法就是 Rϑ2 Rϑ1R_{\vartheta_2}\,R_{\vartheta_1}——后作用的映射写在左边。推广到任意多次：第 kk 次固定轴旋转到来时 Rk0=RϑkRk−10R_k^0=R_{\vartheta_k}R_{k-1}^0，归纳即得「按发生顺序依次左乘」。

看法二 · 原书三步，翻译成当前轴（原书式 2.17 的推导思路）：换一个角度，绕固定轴转 Rϑ2R_{\vartheta_2} 可等价拆成三步当前轴旋转：① 把刚体系转回与固定系对齐（转 (R10)−1(R_1^0)^{-1}）→ ② 在对齐姿态下施加 Rϑ2R_{\vartheta_2}（此刻「当前轴」恰与固定轴重合）→ ③ 再把刚体系转回原位（转 R10R_1^0）。三步都按 2.3.A 依次右乘：

Rˉ20=R10 (R10)−1⏟①  Rϑ2  R10⏟③=Rϑ2 R10,\bar R_2^0=R_1^0\,\underbrace{(R_1^0)^{-1}}_{\text{①}}\;R_{\vartheta_2}\;\underbrace{R_1^0}_{\text{③}}=R_{\vartheta_2}\,R_1^0 ,

与看法一的结果一致，证毕。□

□
一句话记住两条规则

右乘 = 「转完再在新位置上接着转」（站在刚体上看）；左乘 = 「始终绕原地那几根定轴转」（站在地上看）。 两条规则的时序互为镜像：当前轴「先 zz 后 y′y'」与固定轴「先 yy 后 zz」给出同一个终态，而且乘积写出来完全相同（Rz(φ)Ry(ϑ)R_z(\varphi)R_y(\vartheta)，先转的在右端）——固定轴的时序与乘积排列互为逆序。哪一条用得更多？录播 0:25:40 老师点明：用得最多的是绕固定轴左乘，如 2.5 节的角和轴；而机器人关节则是典型的绕当前轴右乘，见 2.8 节。

录播 0:30:07 老师把这条规则落回到机器人上：对关节链 0→1→2→30\to1\to2\to3，「从 3 的指向到 0 的指向」就是

R30=R10R21R32,R_3^0=R_1^0R_2^1R_3^2,

这就是「一次右乘、依次连乘」的含义；而它正是 2.8 节正运动学 Tn0=A10A21⋯Ann−1T_n^0=A_1^0A_2^1\cdots A_n^{n-1} 的旋转部分。

另外，RjiR_j^i 的行同样有几何意义（原书）：列是动系轴在固定系中的方向余弦，行（即 RTR^T 的列）是固定系轴在动系中的方向余弦——也就是说，逆矩阵免费给出了反向变换。

两条规则到这里就齐了。下一个问题自然浮现：既然左乘、右乘各对应一种参照系，那么把两次旋转的先后顺序换一换，终态会不会变？下面用原书例 2.3 来回答。

2.3.2 旋转不可交换（原书例 2.3）

例 2.3（原书）· 先 ϑ1\vartheta_1 后 ϑ2\vartheta_2 ≠ 先 ϑ2\vartheta_2 后 ϑ1\vartheta_1

对同一物体施加同样的两次基本旋转，只要交换顺序，终态姿态一般就不同——无论绕当前轴还是绕固定轴：绕当前轴时，「先 ϑ1\vartheta_1 后 ϑ2\vartheta_2」与「先 ϑ2\vartheta_2 后 ϑ1\vartheta_1」结果不同（原书图 2.6）；绕固定轴同理（原书图 2.7）。有趣的对偶：绕固定轴按序 (ϑ1,ϑ2)(\vartheta_1,\vartheta_2) 的终态 = 绕当前轴按序 (ϑ2,ϑ1)(\vartheta_2,\vartheta_1) 的终态——因为固定轴左乘顺序恰好是当前轴右乘顺序的逆序排列。

例 2.3.C · 90°+90° 数值验证（本教程补）

取 ϑ1\vartheta_1 为绕 yy 转 90°、ϑ2\vartheta_2 为绕 zz 转 90°。先看固定轴（先 yy 后 zz）：新旋转左乘，R=Rz(90∘)Ry(90∘)R=R_z(90^\circ)R_y(90^\circ)——先转的 RyR_y 落在右边。再看当前轴：要得到同一终态必须反着来，先绕 zz 转 90°、再绕新的 y′y' 转 90°，依次右乘同样得到 Rz(90∘)Ry(90∘)R_z(90^\circ)R_y(90^\circ)。两条路线数值完全一致（代入 2.2 的基本旋转矩阵即可验证），这正是上面那条「对偶」。反过来，若固定轴也按「先 zz 后 yy」走，得到的是 Ry(90∘)Rz(90∘)≠Rz(90∘)Ry(90∘)R_y(90^\circ)R_z(90^\circ)\ne R_z(90^\circ)R_y(90^\circ)——不可交换。

把例 2.3 画出来就是下图：同一初始姿态、同样两把「90°」，只交换先后顺序，终态的三根体轴指向就完全不同——这就是「角度集合不能当向量相加」的几何根源。

旋转顺序交换，终态姿态不同 三个立方体：左为初始姿态，体轴与固定系重合；中为先绕固定 y 轴再绕固定 z 轴各转 90 度后的终态；右为先 z 后 y 的终态。两终态的体轴指向不同，说明旋转不可交换。 初始姿态 先 y 后 z（固定轴） 先 z 后 y（固定轴） x y z 体系 x y z 与固定系重合 x0 y0 z0 x y z x y z ≠ ≠ R = Rz(90°)·Ry(90°) R = Ry(90°)·Rz(90°) 同样的两次旋转，交换顺序 → 终态姿态不同：旋转不可交换 灰虚线 = 固定系的轴；先转的因子落在乘积右端，同一终态也可读成「绕当前轴按逆序右乘」（左 / 右乘对偶）
例 2.3 的几何（本教程绘）：绕固定轴「先 y 后 z」与「先 z 后 y」给出两个不同终态——彩色体轴指向一目了然。同一终态 R = Rz(90°)Ry(90°) 还可读成绕当前轴「先 z 后 y′」，这就是 原理 2.3.B 与 原理 2.3.A 的镜像关系。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

不看正文与速查卡，先自己写出下面几条，再展开核对。写不出来，就说明这一节还没真正「拿走」。

  1. 绕当前轴、绕固定轴，分别用左乘还是右乘？
  2. 写出 ZYZ 与 RPY 的乘积顺序，并说明各属哪一族。
  3. ϕ=[φ ϑ ψ]T\boldsymbol\phi=[\varphi\ \vartheta\ \psi]^{\mathrm T} 能像向量一样相加吗？为什么？
核对

绕当前轴用右乘，绕固定轴用左乘。口诀：右乘当前轴、左乘固定轴。

ZYZ：Rz(φ)Ry′(ϑ)Rz′′(ψ)R_z(\varphi)R_{y'}(\vartheta)R_{z''}(\psi)——三个因子都绕当前轴，依次右乘；RPY：Rz(φ)Ry(ϑ)Rx(ψ)R_z(\varphi)R_y(\vartheta)R_x(\psi)——都绕固定轴，依次左乘。两者互为左乘 / 右乘对偶。

不能。角度集合只是打包记号，而旋转不可交换（R1R2≠R2R1R_1R_2\neq R_2R_1），所以它没有向量加法。

2.3 小结与常见错误

  • 一条主线：右乘（当前轴）/ 左乘（固定轴）两条规则 → 合成不可交换（例 2.3.C）；而且两条规则互为镜像（固定轴顺序 = 当前轴逆序）。
  • 一句口诀：「转完接着转 = 右乘」「原地定轴转 = 左乘」；另外记住，RjiR_j^i 的列是 jj 系轴在 ii 系中的像（上下标读反即全错）。
常见错误清单 · 自查三条
  1. 把 ϕ=[φ ϑ ψ]T\boldsymbol\phi=[\varphi\ \vartheta\ \psi]^T 当向量——角度集合只是「打包记号」，而旋转不满足交换律，所以它没有向量加法（录播 0:06:51–0:07:20 老师专门澄清；习题 B5 把这一点算给你看）；
  2. 背错乘法方向：口诀是「当前右、固定左」，检验方法是把序列复述成中文——「在转完的基础上再绕它的 y′y' 转」就是右乘；
  3. 忘记 R−1=RTR^{-1}=R^T 只对旋转矩阵成立——2.7 节的齐次变换矩阵就不再有此性质。