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2.1 刚体的姿态

要描述机器人，第一步是学会描述一个刚体。刚体在空间中的完整描述 = 位置（参考点坐标）+ 姿态（固连坐标系三根轴的指向），二者合称位姿。本节给出这两半的数学写法——其中姿态那一半，正是 2.2 节旋转矩阵的定义来源。录播对应第 1 周 1:56–2:01（幻灯片 07016 / 07208）。

位姿 = 位置 + 姿态 位置是「在哪里」，姿态是「朝向哪里」；两者合起来才是一个刚体在空间中的完整描述。 ROBOTICS · POSE / 02 ATLAS / R-02 位姿 = 位置 + 姿态 位置是「在哪里」，姿态是「朝向哪里」；两者合起来才是一个刚体在空间中的完整描述。 xyzOx′y′z′O′o′ = [o′ₓ o′ᵧ o′𝓏]ᵀ姿态矩阵 R每列 = 本体轴在参考系中的方向x′·xy′·xz′·x······3 + 3 = 6 DOF位置告诉你「在哪里」；姿态告诉你「朝向哪里」。缺一个，刚体的位姿就还没说完整。
图解读图：左侧是参考系 O–xyz，右侧刚体上固连一个本体坐标系 O′–x′y′z′。位置只给出 O′ 的三个坐标；姿态由三根本体轴在参考系里的 9 个方向余弦给出——单位模长与两两正交把 9 个数压到 3 个独立角，所以「位置 3 + 姿态 3 = 6」。

2.1.1 位姿与位置的描述

定义 2.1.1 · 位姿（pose）

刚体（rigid body）可由其在空间中相对参考坐标系 O-xyzO\text{-}xyz 的位置与方向（orientation，又称姿态）完整描述，二者合称位姿（position and orientation）。位置占 3 个数、姿态需要 3 个独立角度，合起来正是「6 个数」——这一直觉在 1.2.1 的六自由度判据里已经见过。

令 O-xyzO\text{-}xyz 为标准正交参考坐标系，x,y,z\boldsymbol x,\boldsymbol y,\boldsymbol z 为三轴单位向量。刚体上取一点 O′O' 作为参考点（图 2.1），其位置可沿三轴分解：

o′=ox′x+oy′y+oz′z,o′=[ox′oy′oz′]∈R3(原书式 2.1)\boldsymbol o'=o'_x\boldsymbol x+o'_y\boldsymbol y+o'_z\boldsymbol z,\qquad \boldsymbol o'=\begin{bmatrix}o'_x\ o'_y\ o'_z\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3\qquad(\text{原书式 }2.1)

为什么 o′\boldsymbol o' 是「有界向量」

它自带作用点与作用线（从原点 OO 指向 O′O'），因此不同于自由向量——后者只有方向与模长。原书特别点出了这一区别；后续做「向量的坐标变换」时，点与自由向量的区别就体现在要不要叠加平移（这正是 2.7 引入齐次变换的动机）。

2.1.2 姿态与方向余弦

只有位置还不够——刚体绕该点还能任意转向。为描述指向，在刚体上固连一个标准正交坐标系 O′-x′y′z′O'\text{-}x'y'z'（原点取在 O′O'），再把它的三根轴单位向量 x′,y′,z′\boldsymbol x',\boldsymbol y',\boldsymbol z' 用参考系的三轴展开：

x′=xx′x+xy′y+xz′zy′=yx′x+yy′y+yz′zz′=zx′x+zy′y+zz′z(原书式 2.2)\begin{aligned} \boldsymbol x' &= x'_x\boldsymbol x+x'_y\boldsymbol y+x'_z\boldsymbol z\ \boldsymbol y' &= y'_x\boldsymbol x+y'_y\boldsymbol y+y'_z\boldsymbol z\ \boldsymbol z' &= z'_x\boldsymbol x+z'_y\boldsymbol y+z'_z\boldsymbol z \end{aligned}\qquad(\text{原书式 }2.2)

原理 2.1.A · 9 个系数即方向余弦

式 2.2 中的每个系数都是方向余弦：例如 xy′=x′⋅y=cos⁡∠(x′,y)x'_y=\boldsymbol x'\cdot\boldsymbol y=\cos\angle(\boldsymbol x',\boldsymbol y)，就是固连系某根轴与参考系某根轴夹角的余弦（录播：「它就是两个单位向量做点积」）。 又因单位向量模长为 1、三轴两两垂直，这 9 个方向余弦并不独立——只有 3 个独立（9 个量、6 个约束、3 个独立参数 的账本，下一节展开）。

看下图，两图对照着看：左图把位置向量 o′\boldsymbol o' 沿三根参考轴拆成 3 个系数；右图对固连系的一根轴 x′\boldsymbol x' 做同样的事——每个系数都是它在某根参考轴上的投影，这正是「方向余弦」的几何来源。

位置分解与方向余弦分解 左图：位置向量 o′ 沿参考系三根轴分解为三个系数，虚线画出分解长方体。右图：固连系单位轴 x′ 同样沿三根参考轴分解，三个系数就是方向余弦；对 y′、z′ 重复同样分解共得 9 个数。 位置：参考点沿三轴分解（式 2.1） 姿态：固连系轴逐一分解（式 2.2） x y z o′x o′y o′z o′ x′ x′x = x′·x x′y = x′·y x′z = x′·z 位置 = 3 个系数（有界向量：有作用点 O） 对 y′、z′ 重复同样分解 → 9 个系数 = 9 个方向余弦
方向余弦的几何来源（本教程绘）：固连系每根轴在参考系三轴上的投影给出三个系数，三根轴共 9 个——单位模长与两两垂直把这 9 个数的独立自由度压到 3 个（原理 2.1.A）。

于是，把这 9 个数按列排成（3×3）矩阵，就得到下一节的旋转矩阵 RR（原书式 2.3）——本节只立概念，矩阵的性质与运算全部留给 2.2。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

不看正文与速查卡，先写出下面几条，再展开核对。写不出来就说明这一节还没「拿走」。

  1. 位姿由哪两半组成？各几个独立变量？
  2. 9 个方向余弦为什么只有 3 个独立？
  3. 给出刚体上一点的位置，是否就确定了它的位姿？
核对

位置（3）+ 姿态（3）。

RR 的 9 个元素受正交条件 RTR=IR^{\mathrm T}R=I（6 个独立约束），剩 3 个。

不能。绕该点还剩三个转动自由度，姿态必须另外描述。

2.1 小结与常见错误

  • 一条主线：位姿 = 位置（参考点 3 个坐标，式 2.1）+ 姿态（固连系三轴在参考系中的 9 个方向余弦，式 2.2）；后者只有 3 个独立量。
  • 一个区分：o′\boldsymbol o' 是有界向量（点），不是自由向量——涉及不同原点时必须补平移。
常见错误清单 · 自查两条
  1. 以为给出原点位置就等于确定了刚体——绕该点还剩三个转动自由度，姿态必须另外描述；
  2. 把方向余弦说成「夹角」——它是夹角的余弦，取值 [−1,1][-1,1]，符号携带朝向信息。