5.2.3 传动装置影响

§5.1.1 讲传动装置的作用，本节把它量化：齿轮到底怎样改变系统的惯量、摩擦与非线性。结论非常干净——惯量与摩擦按减速比的平方缩小，负载力矩与非线性按减速比线性缩小。这两条就是「大减速比让机器人变好控」的全部数学内容。录播 01:24:51–01:32:31。

5.2.3.1 齿轮模型与减速比

教材用一个一对圆柱齿轮（半径 $r_m$ 与 $r$ ）构成的机械齿轮来量化（教材图 5.7）：假定运动副是理想的（没有间隙），并把伺服发动机旋转轴与相应关节轴连接起来。

定义 5.2.4 · 减速比与齿轮耦合

记号约定（教材 §5.2.3）：伺服电机转子由绕其旋转轴的转动惯量 $I_m$ 与粘滞摩擦系数 $F_m$ 表征；同样地 $I$ 和 $F$ 表示载荷的转动惯量与粘滞摩擦系数。齿轮本身的转动惯量和摩擦系数被包含在上述参数里。

$C_m$ ：发动机驱动转矩； $C_l$ ：施加到载荷的负载转矩；
$\omega_m,\vartheta_m$ ：发动机轴的角速度与位置； $\omega,\vartheta$ ：载荷的相应量；
$f$ ：两齿轮齿咬合时的交换力。

减速比定义为

$k_r=\frac{\omega_m}{\omega}=\frac{r}{r_m} \tag{5.22}$

因为运动副中没有打滑，有 $r_m\vartheta_m=r\vartheta$ 。

典型值：对机器人机械手伺服发动机与关节耦合的情形，减速比远大于 1（ $r_m\ll r$ ），典型值从几十到几百。

定理 5.2.C · 等效惯量与等效摩擦

交换力 $f$ 在两个轴上分别产生负载力矩 $f\,r_m$ （作用在发动机轴上）与驱动力矩 $f\,r$ （作用于载荷）。于是发动机与载荷的力学平衡分别是

$C_m=I_m\dot\omega_m+F_m\omega_m+fr_m \tag{5.23}$ $fr=I\dot\omega+F\omega+C_l \tag{5.24}$

利用 $k_r$ 把载荷量折算到发动机轴、消去 $f$ ，得到发动机轴上的等效力学平衡：

$C_m=I_{eq}\dot\omega_m+F_{eq}\omega_m+\frac{C_l}{k_r} \tag{5.25}$

其中

$I_{eq}=I_m+\frac{I}{k_r^2},\qquad F_{eq}=F_m+\frac{F}{k_r^2} \tag{5.26}$

读法（教材原话）：在齿轮具有大减速比的情形下，式 (5.25)(5.26) 描述了载荷的转动惯量和粘滞摩擦系数是如何按减速因子 $1/k_r^2$ 反映到发动机轴的；相反，负载力矩由因子 $1/k_r$ 而减小。而且——如果这个力矩以非线性方式依赖于 $\vartheta$ ，则存在大减速比将使其趋向于线性化动态方程。

这一条是本节的全部要害： $1/k_r^2$ 与 $1/k_r$ 两个因子解释了为什么工业机器人敢于用「小电机 + 大减速器」：

量	折算因子	减速比 100 时
载荷转动惯量 $I$	$1/k_r^2$	缩小 10000 倍
载荷粘滞摩擦 $F$	$1/k_r^2$	缩小 10000 倍
负载力矩 $C_l$	$1/k_r$	缩小 100 倍
非线性项（如重力矩）	$1/k_r$ （且自变量也缩小）	显著弱化

对照定义 5.1.6 第 1 条「低惯量」：减速器把远端连杆的惯量几乎从电机轴上「抹掉」——这正是老师说的「惯量小就比较容易控制」（0:33:01）。

5.2.3.2 例 5.1：由齿轮驱动的刚体摆

例 5.1 · 由机械齿轮驱动的摆（教材例 5.1）

如图 5.8，一个刚体摆受到转矩 $f\cdot r$ 通过齿轮到载荷轴的驱动。系统的动态方程组为

$C_m=I_m\dot\omega_m+F_m\omega_m+fr_m \tag{5.27}$ $fr=I\dot\omega+F\omega+mgl\sin\vartheta \tag{5.28}$

其中 $I$ 是摆在载荷轴的转动惯量， $F$ 为粘滞摩擦系数， $m$ 为摆的质量， $l$ 为其长度， $g$ 为重力加速度。

把 (5.28) 折算到发动机轴，得到

$C_m=I_{eq}\dot\omega_m+F_{eq}\omega_m+\frac{mgl}{k_r}\sin\frac{\vartheta_m}{k_r} \tag{5.29}$

教材的评语是：「从中可以清楚地看到因子 $k_r$ 是如何降低非线性项的作用的」。

这一步为什么重要？ 重力矩 $mgl\sin\vartheta$ 是机器人动力学里最主要的非线性来源。经过减速器后，它同时被两件事削弱：幅值除以 $k_r$ ，且自变量变成 $\vartheta_m/k_r$ ——也就是说，在电机转一整圈的范围内， $\sin$ 只走过很小一段近似直线的区间。于是「非线性」在电机端退化成了「近似线性的小扰动」，这正是第 8 章能对每个关节做独立线性控制的物理根据。

推广到 n 连杆机械手：教材指出，这个摆的例子「被看作是对具有转动关节的 $n$ 连杆机械手的描述」——把连杆视为孤立于其他连杆，其每一个连杆可以看作简单的刚体摆。当然，与其他连杆的连接会引入使输入/输出模型复杂化的非线性影响：「在双摆情形下，第一连杆的发动机转动惯量同样取决于第二连杆的角位置」。

结论：「不同连杆的发动机之间的非线性耦合，将如何通过存在大减速比的（传动）而得到减小」——第 7 章会详细研究这一点。

老师把「两端情形」讲得很清楚（01:29:05–01:29:49），值得单独记下来：

	$k_r$ 很大（工业常态，典型几十到几百）	$k_r$ 接近 1（直驱或小减速比）
载荷惯量 $I/k_r^2$	可忽略（ $k_r=100$ 时只剩 $10^{-4}$ 倍）	主导——负载惯量几乎原样落到电机轴
非线性项 $mgl\sin(\cdot)/k_r$	幅值小、且自变量被压缩，「这个方程就可以线性化了」	影响很大——「我们做（控制）的时候就要考虑这个非线性」
建模与控制的后果	可按线性处理，逐关节独立设计	必须显式处理非线性；而且「很多情况下即使知道（非线性）模型也不能处理」，只能补偿
$I_{eq}$ 的构成	$I_m$ 主导（ $k_r=100$ 时负载惯量仅占 5%）	负载与电机同量级

一句话： $k_r$ 决定了你在跟一个线性系统还是非线性系统打交道——这既解释了工业机械手为什么敢用「小电机 + 大减速器」，也解释了直驱（定义 5.1.4）为什么「对控制算法的要求非常高」（0:35:19）。

课堂幻灯片 · 01:29:52：例 5.1 由机械齿轮驱动的摆（教材图 5.8）与式 (5.23)–(5.29)

考点 · 老师原话（录播时间点）

减速比把惯量「抹掉」：老师在这一页反复指出，减速比一乘上，负载惯量按平方缩小、负载力矩按一次方缩小，所以「我控制这个关节就单独控制这个关节」（01:24:51、01:29:52）。

重力矩被线性化：摆的例子要说明的是——大减速比下 $\sin\vartheta$ 在电机端近似成一条直线，「非线性项的作用被 $k_r$ 降低」（01:29:52）。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

写出 $I_{eq}$ 与 $F_{eq}$ 的表达式，并说明各自的折算因子。
负载力矩折算到电机轴要乘什么因子？为什么它和非线性项的因子不同？
摆的例子里， $k_r$ 通过哪两条途径削弱重力矩的非线性？
把单摆推广到 $n$ 连杆时，多出来的是什么影响？第几章处理？

核对

$I_{eq}=I_m+I/k_r^2$ ， $F_{eq}=F_m+F/k_r^2$ ——载荷惯量与摩擦按 $1/k_r^2$ 折算。

乘 $1/k_r$ 。因为惯量/摩擦是「速度的系数」，而力矩是「与速度量纲无关的外力」；前者在动力学方程里随 $\omega_m$ 的幂次变换，后者只做一次量纲折算。

① 幅值除以 $k_r$ ；② 自变量变成 $\vartheta_m/k_r$ ，使 $\sin$ 只在一小段近线性区间内取值。

多出的是连杆之间的非线性耦合（双摆情形下第一连杆的电机惯量还取决于第二连杆的角位置）。第 7 章（动力学）详细研究。

5.2.3 小结与常见错误

两个因子：惯量与摩擦 $1/k_r^2$ ；负载力矩与非线性 $1/k_r$ 。
一个方程： $C_m=I_{eq}\dot\omega_m+F_{eq}\omega_m+C_l/k_r$ ——后面几章到处用它。
一个推论：大减速比把非线性动态推向线性化，这是独立关节控制的物理根据。

常见错误清单 · 自查三条

把两个折算因子都用成 $1/k_r$ 或都用成 $1/k_r^2$ ——记住惯量/摩擦是平方，力矩是一次。
在 (5.29) 里只写 $mgl\sin\vartheta_m/k_r$ 而把 $k_r$ 放错位置——正确形式是 $\dfrac{mgl}{k_r}\sin\dfrac{\vartheta_m}{k_r}$ （两个 $k_r$ 各在一处）。
以为减速比只影响「力矩放大」——它对惯量的影响（平方缩小）往往更重要。

Keyboard shortcuts

机器人控制技术 · 定制教程

5.2.3 传动装置影响

5.2.3.1 齿轮模型与减速比

5.2.3.2 例 5.1：由齿轮驱动的刚体摆

5.2.3 小结与常见错误