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5.2.4 位置控制

前面三节把驱动写成了模型，本节用它来设计控制器——这是第 8 章（运动控制）的前奏。教材在这里给出的两个结构（位置反馈、位置 + 速度反馈）几乎所有伺服驱动器都还在用；而「为什么必须加积分」这一问，答案就在驱动的传递函数有两个原点极点里。录播 01:32:31–01:38:10。

5.2.4.1 从驱动模型到关节运动控制

教材的问题陈述是：在研究了电气/液压驱动的角速度控制模式之后，需要解决一般的机械手连杆运动控制问题——「寻找一种能够以自动化方式决定数值时间变化的结构来控制驱动，从而驱使关节执行期望的运动，使末端执行器完成给定的任务」。

流程：末端执行器姿态轨迹 → 逆运动学（定义 2.10.1 的操作空间到关节空间）→ 各关节的期望轨迹 ϑ′(t)\vartheta'(t)。

定义 5.2.5 · 独立关节近似

教材先给出最简解：「首先近似地，设关节运动独立于其他关节的运动，即可以将交互作用视为干扰」。

于是问题化为：假定可以得到参考轨迹 ϑ′(t)\vartheta'(t)，要确保发动机角位置 ϑm\vartheta_m 跟踪 ϑ′\vartheta'（ϑm\vartheta_m 由常数为 kTPk_{TP} 的传感器准确测量），有必要借助于对发动机和载荷的模型不确定性与存在的干扰具有「鲁棒性」的反馈控制系统。

为什么选直流伺服电机做关节位置控制？教材给的动机是：「这些执行器具有的高度灵活性，在大多数运动控制应用中提供了优良的响应能力」。

独立关节控制的合法性从哪来？ 就是上一节 定理 5.2.C 的两条折算：大减速比把连杆间耦合按 1/kr1/k_r（力矩）与 1/kr21/k_r^2（惯量）削弱，剩下的部分当作干扰处理。第 8.3 节会把这条路走完。

5.2.4.2 位置反馈：为什么必须加积分

位置伺服需要一个控制器：它产生施加到功率放大器的信号，「信号能够自动生成驱动转矩，产生非常接近期望运动 ϑ′\vartheta' 的轴运动。其结构应该使得参考输入和测量输出之间的误差最小化，即使是在发动机、载荷和扰动的动态知识不准确的情形下」。

定理 5.2.D · 位置反馈控制器：PI 的理由

（一）干扰该由谁抑制。 由教材式 (5.9)：若驱动是速度控制的，则干扰达到最小。此时（见式 5.6）负载力矩影响发动机轴速度的系数为 Rakvkt\dfrac{R_a}{k_vk_t}，远小于 1Fm\dfrac{1}{F_m}（后者是传动为力矩控制情形下负载力矩的权）。

（二）减小干扰影响的一般手段：在干扰介入点之前赋予一个大增益值，同时不影响稳定性。

（三）稳态要求 ⇒ 必须积分。 如果在稳态（ϑ′,ϑ˙′\vartheta',\dot\vartheta' 均为常量）期望完全消除干扰对输出的影响，控制器必须对 ϑ′\vartheta' 与 kTPϑmk_{TP}\vartheta_m 之差引入的误差应用积分控制（integral action）。

（四）稳定性要求 ⇒ 还要比例。 「加入比例控制的目的是实现稳定控制，但它不能给闭环系统带来采样时间非常短的阻尼瞬态响应。其原因是前向通路传递函数上有两个位于原点的极点。」

结论：采用对误差具有积分 + 比例控制的简单控制器（教材图 5.10），参数 KrK_r 与 TpT_p 应灵活选择，以确保稳定性并得到良好的动态特性。

第 (四) 条最值得反复读：传递函数 M(s)=kms(1+sTm)M(s)=\dfrac{k_m}{s(1+sT_m)} 里，1/s1/s 来自「电压 → 位置」的积分，另一个 1/(1+sTm)1/(1+sT_m) 在低频近似又贡献一个积分特性——两个原点极点 ⇒ 纯比例闭环的相位裕度极差 ⇒ 必须有积分（提高低频增益、消除稳态误差）+ 比例（提供阻尼）配合。

5.2.4.3 位置 + 速度反馈：测速反馈的作用

方法 5.2.E · 测速反馈的两条改进

为了改善瞬态响应，工业中使用的位置伺服驱动还可能具有基于角速度测量的局部反馈回路（测速反馈）。具有位置和速度反馈的一般结构如图 5.11：除位置传感器外，还使用一个常数为 kTVk_{TV} 的速度传感器，以及一个增益为 KrK_r 的简单比例控制器。采用测速反馈的同时，在内部速度回路中保留具有参数 KvK_v 和 TvT_v 的比例积分控制器，以消除稳定状态下干扰对位置 ϑm\vartheta_m 的影响。

它带来两条改进：

  1. 干扰抑制更强：在干扰点附近存在两个（而非一个）反馈回路，期望在瞬态过程中也能进一步减小干扰对输出的影响；
  2. 瞬态响应更好：灵活选择控制参数，有可能得到具有更宽带宽并且减少振荡的 ϑm\vartheta_m 与 ϑ′\vartheta' 之间的传递函数——其结果是更快的瞬态响应并减小振荡，从而提高 ϑm(t)\vartheta_m(t) 跟踪更高要求的参考轨迹 ϑ′(t)\vartheta'(t) 的能力。

两条收尾结论（教材 §5.2.4 末）：

两条推广

（一）用电流控制电机实现位置伺服。 如果在传递函数 (5.11) 中使用 (5.13) 中的常数，且用 kt/kik_t/k_i 代替 Ra/kvR_a/k_v 来衡量干扰 DD 的权重，就可以采用图 5.9–5.11 的结构。在此情形下，功率放大器的电压增益 GvG_v 将不会对控制行为起作用——因为它已被包在电流环内部（对照 定理 5.2.A 的说明）。

（二）推广到齿轮耦合。 上面给出的一般控制结构可以推广到发动机通过齿轮耦合到负载的情形：此时采用式 (5.25)(5.26) 就足够了，即用 IeqI_{eq} 和 FeqF_{eq} 代替 ImI_m 和 FmF_m，并用因子 1/kr1/k_r 衡量干扰。

「上述分析将在 8.3 节中进一步详述。」——本节到此为止，控制器怎么设计、参数怎么取，是第 8 章的正题。

考点 · 老师原话（录播时间点）

位置环 + 速度环是工业标准结构：老师在图 5.11 上指出，工业上常用的位置伺服就是「外面位置环、里面速度环（PI）」，速度环用来消除稳态干扰、改善瞬态（01:38:49）。

独立关节是「把耦合当干扰」：这一节的出发点就是前面减速比的结论——耦合已被削弱，剩下的按干扰处理（01:32:31 起）。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）
  1. 独立关节近似的含义是什么？它凭什么成立？
  2. 位置伺服为什么必须同时有积分项与比例项？「两个原点极点」是什么意思？
  3. 测速反馈带来哪两条改进？内部速度回路为什么还要保留积分？
  4. 用电流控制电机做位置伺服时，GvG_v 为什么不起作用？推广到齿轮耦合时要用哪些量替换？
核对

把关节之间的耦合当作干扰，先假设各关节独立，再靠鲁棒反馈抑制耦合。成立依据：大减速比把耦合惯量按 1/kr21/k_r^2、把耦合力矩按 1/kr1/k_r 削弱（定理 5.2.C）。

积分项：稳态下完全消除干扰对输出的影响，必须对误差做积分。比例项：提供稳定与阻尼。两个原点极点指 M(s)=km/[s(1+sTm)]M(s)=k_m/[s(1+sT_m)] 中 1/s1/s 与低频下 1/(1+sTm)1/(1+sT_m) 的近似积分特性——纯比例控制给不出阻尼良好的瞬态响应。

① 干扰点附近有两个反馈回路，瞬态干扰抑制更强；② 可得到更宽带宽、更少振荡的传递函数，瞬态更快、跟踪能力更强。内部速度回路保留 PI 是为了消除稳态下干扰对位置的影响。

因为放大器已被包在电流环内部，只以 1/ki1/k_i 的形式进入 kmk_m（定理 5.2.A）。推广到齿轮耦合：用 Ieq,FeqI_{eq},F_{eq} 代替 Im,FmI_m,F_m，干扰按 1/kr1/k_r 折算。

5.2.4 小结与常见错误

  • 一条近似：独立关节（耦合当干扰），依据是大减速比的削弱作用。
  • 两个结构：位置反馈（PI）与位置 + 速度反馈（外环位置、内环速度 PI）。
  • 一条理由：两个原点极点 ⇒ 纯比例不够，必须有积分消除稳态误差、比例提供阻尼。
  • 两条推广：电流控制电机（GvG_v 失效、用 kt/kik_t/k_i 衡量干扰）；齿轮耦合（用 Ieq,FeqI_{eq},F_{eq}，干扰 1/kr1/k_r）。
常见错误清单 · 自查三条
  1. 只写「PI 控制器」而说不出各自解决什么问题——积分管稳态、比例管稳定/阻尼。
  2. 认为测速反馈只是「多测一个量」——它的实质是多一个反馈回路，故瞬态干扰也被抑制。
  3. 忘记速度控制驱动对干扰的抑制更好（Ra/kvkt≪1/FmR_a/k_vk_t\ll1/F_m）——这是选速度控制模式的理由。