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5.2.1 电气驱动

本节把伺服电机写成传递函数。关键的前提是一句「可以统一处理」:配置了换向器和位置传感器的永磁直流电机与无刷直流电机,从建模的观点出发可以用相同的微分方程加以描述(教材 §5.2.1)——这就是为什么「有刷/无刷」之争在建模层面消失了。录播 01:05:27–01:22:09。

5.2.1.1 四个基本方程

定义 5.2.1 · 电气驱动的四个基本方程

在 ss 复数域内(教材式 5.1–5.4):

电枢电平衡方程

Va=(Ra+sLa)Ia+Vg(5.1)V_a=(R_a+sL_a)I_a+V_g \tag{5.1}

反电动势

Vg=kvΩm(5.2)V_g=k_v\Omega_m \tag{5.2}

其中 Va,IaV_a,I_a 分别为电枢电压和电流,Ra,LaR_a,L_a 分别是电枢电阻和电感系数,VgV_g 表示反电动势——它通过电压常数 kvk_v 与角速度 Ωm\Omega_m 成正比;kvk_v 由电机的具体结构与线圈磁通量决定。

力学平衡方程

Cm=(sIm+Fm)Ωm+Cl(5.3)C_m=(sI_m+F_m)\Omega_m+C_l \tag{5.3}

驱动力矩

Cm=ktIa(5.4)C_m=k_tI_a \tag{5.4}

其中 CmC_m 和 ClC_l 分别是驱动力矩与负载转矩,ImI_m 和 FmF_m 分别是转动惯量与电机轴上的粘滞摩擦系数;转矩常数 ktk_t 在标准国际单位上与电压常数 kvk_v 数值相等(这一条在后续推导中反复用到)。

四个方程的读法:(5.1)+(5.2) 是「电」,(5.3)+(5.4) 是「机」,kt=kvk_t=k_v 是电与机之间的桥。反电动势 VgV_g 的存在说明:电机转得越快,留给「推电流」的电压越少——这正是电机自然的速度负反馈。

5.2.1.2 含电流反馈的驱动框图

功率放大器本身的模型很简单(教材式 5.5):

VaVc=Gv1+sTv(5.5)\frac{V_a}{V_c}=\frac{G_v}{1+sT_v} \tag{5.5}

其中 GvG_v 是电压增益,TvT_v 是时间常数。它的量级值得记:当调制频率在 10 kHz 到 100 kHz 范围时,放大器的时间常数在 10−510^{-5} 到 10−410^{-4} s 量级——比机械时间常数小几个数量级,因此后面做降阶模型时可以令 Tv≈0T_v\approx 0。

定义 5.2.2 · 电流反馈回路的双重目的

带功率放大器的电气驱动框图(教材图 5.2)里,除上述环节外还有三样东西:

  1. 一个电枢电流反馈(current feedback)回路——电流由电机功率放大器与电枢线圈之间的传感器 kik_i 测量;
  2. 一个电流调节器 Ci(s)C_i(s);
  3. 一个饱和非线性特性元件。

这一反馈有双重目的(教材 §5.2.1):

  • 其一:电压 vcv_c 起到参考电流的作用;通过选择适当的调节器 Ci(s)C_i(s),可以减小电流 IaI_a 与电压 vcv_c 之间的滞后。
  • 其二:引入饱和非线性可以限制 vcv_c 的值,从而起限流作用——在非正常工作条件下保证对功率放大器的保护。

5.2.1.3 两种特性:速度控制发电机与力矩控制发电机

现在到了本节的核心:同一个电机,配上不同的调节器与电流反馈取舍,会表现成两种完全不同的「发电机」(教材 §5.2.1)。

定理 5.2.A · 两种特性与统一传递函数

(一)ki=0k_i=0(不加电流反馈)⇒ 速度控制发电机(velocity-controlled generator)。 驱动器具有与速度控制发电机相同的特性。降阶模型(Tv≈0T_v\approx0、纯比例控制器、电时间常数 La/RaL_a/R_a 相对机械时间常数 Im/FmI_m/F_m 可忽略)给出(教材式 5.9):

Ωm=1kv1+sRaImkvkt  GvVc′−Rakvkt1+sRaImkvkt  Cl(5.9)\Omega_m=\frac{\dfrac{1}{k_v}}{1+s\dfrac{R_aI_m}{k_vk_t}}\;G_vV_c'-\frac{\dfrac{R_a}{k_vk_t}}{1+s\dfrac{R_aI_m}{k_vk_t}}\;C_l \tag{5.9}

(二)ki≠0k_i\neq0 且电流回路取大回路增益(Kki≫RaKk_i\gg R_a)⇒ 力矩控制发电机(torque-controlled generator)。 此时(教材式 5.10):

Ωm=ktkiFm1+sImFm  Vc′−1Fm1+sImFm  Cl(5.10)\Omega_m=\frac{\dfrac{k_t}{k_iF_m}}{1+s\dfrac{I_m}{F_m}}\;V_c'-\frac{\dfrac{1}{F_m}}{1+s\dfrac{I_m}{F_m}}\;C_l \tag{5.10}

「考虑到 GvG_v 的值比较大,驱动力矩实际上独立于角速度。」

(三)统一形式。 控制输入与执行器位置输出之间的关系,可以用统一的传递函数表示(教材式 5.11–5.13):

M(s)=kms(1+sTm)(5.11)M(s)=\frac{k_m}{s(1+sT_m)} \tag{5.11}

速度控制:km=1kv,Tm=RaImkvkt(5.12)\text{速度控制:}\quad k_m=\frac{1}{k_v},\qquad T_m=\frac{R_aI_m}{k_vk_t} \tag{5.12}

力矩控制:km=ktkiFm,Tm=ImFm(5.13)\text{力矩控制:}\quad k_m=\frac{k_t}{k_iF_m},\qquad T_m=\frac{I_m}{F_m} \tag{5.13}

注意放大器的位置差别——教材专门提醒:在速度控制情形下,功率放大器以常数 GvG_v 直接作用于输入/输出关系(见 5.9 式);而在电流控制情形下,放大器处在局部反馈回路内部,它不再单独出现,而是以因子 1/ki1/k_i 的形式钻进 kmk_m 里(见 5.13 式)。老师讲到这里时的说法是「带宽增大(电流环让驱动更快)」——电流环把电气时间常数「包」进了内环,外层看到的只剩机械时间常数 Im/FmI_m/F_m。

定理 5.2.B · 电流反馈的取舍结论

比较 5.9 与 5.10 两式,教材得出结论:没有电流反馈时,系统对干扰力矩的抑制更好——无论在等价增益(Rakvkt≪1Fm\dfrac{R_a}{k_vk_t}\ll\dfrac{1}{F_m})还是时间响应(RaImkvkt≪ImFm\dfrac{R_aI_m}{k_vk_t}\ll\dfrac{I_m}{F_m})方面都是如此。

因此在需要高度抑制干扰力矩的场合(如独立关节控制,第 8.3 节)不建议在回路中有电流反馈——至少当所有量都在其标称值内时是这样。

但保护问题仍要解决:此时可以通过在反馈回路上使用具有死区非线性特性的电流反馈来限制电流,而不是用控制信号的饱和来限制(教材图 5.5)。这样得到的电流限制「切实可行,其精度与死区斜率一样高」。

反过来:如第 8.5 节将说明的,集中控制方案要求驱动系统具有力矩控制发电机的特性,这时就应该使用具有适当调节器 Ci(s)C_i(s) 的电流反馈,以赋予电流回路良好的静态与动态特性。此时驱动转矩伺服是间接完成的——因为它基于电流测量,而电流通过增益 1/kt1/k_t 与驱动转矩相关。

考点 · 老师原话(录播时间点)

框图化简是要考的(01:13:23–01:13:44):「没有化简的话,大家感兴趣上面可以自己去画一下,也复习一下本科学(过)的(框图)简化——比如说比较点、引出点,前移、后移,怎么来进行化简。如果考研的话,应该可以(考)到这个:(给)具体(的框图)上给出来,画(化简)之后,你就可以把简化之后的传递函数写出来,(写成)是这样的形式。」

化简的代价与理由(01:13:52–01:14:22):「这里也用到了一些假设……其实也是为了简化计算,或者说实际的需求没有要求那么高的一个精度。如果不简化的话,它可能就是二阶的,或者是三阶的,但是模型就非常复杂了,成本会非常高。虽然(做了)那种简化,(但)它是可以满足需求的。」

这一条把本节的定位说清了:图 5.2 的框图不是终点,考(学)点在于把它化简成 M(s)=km/[s(1+sTm)]M(s)=k_m/[s(1+sT_m)] 那样的一阶惯性 + 积分形式——这正是 定理 5.2.A 的推导过程。

电流环的作用是「带宽增大」:老师在 01:16 前后指着电流环说明——加上电流内环后,驱动(等效)增益变大、(等效)时间常数主要由机械环节决定(01:16:55 页)。

两种发电机对应两种控制需求:速度控制(不加电流反馈,干扰抑制好)适合独立关节控制;力矩控制(加电流反馈,力矩与转速解耦)适合集中控制/计算力矩(01:19:45 前后)。

默写点 · 合上书再写(主动回忆)
  1. 写出电气驱动的四个基本方程,并指出哪一个常数把「电」与「机」连起来。
  2. 电流反馈的双重目的是什么?
  3. 速度控制发电机与力矩控制发电机的 km,Tmk_m,T_m 各是什么?放大器在两种情形下分别出现在哪里?
  4. 为什么独立关节控制「不建议」加电流反馈?保护问题怎么解决?
核对

Va=(Ra+sLa)Ia+VgV_a=(R_a+sL_a)I_a+V_g;Vg=kvΩmV_g=k_v\Omega_m;Cm=(sIm+Fm)Ωm+ClC_m=(sI_m+F_m)\Omega_m+C_l;Cm=ktIaC_m=k_tI_a。kt=kvk_t=k_v(标准国际单位下数值相等)把电与机连起来。

其一,vcv_c 作参考电流,选 Ci(s)C_i(s) 减小 IaI_a 与 vcv_c 的滞后;其二,饱和非线性限制 vcv_c,起限流与保护功放的作用。

速度控制:km=1/kvk_m=1/k_v、Tm=RaIm/(kvkt)T_m=R_aI_m/(k_vk_t),放大器以 GvG_v 显式出现在输入/输出关系中;力矩控制:km=kt/(kiFm)k_m=k_t/(k_iF_m)、Tm=Im/FmT_m=I_m/F_m,放大器在局部反馈回路内部,以 1/ki1/k_i 的形式进入 kmk_m。

因为无电流反馈时干扰力矩的等价增益 Ra/(kvkt)R_a/(k_vk_t) 与时间响应 RaIm/(kvkt)R_aI_m/(k_vk_t) 都远小于有反馈时的 1/Fm1/F_m 与 Im/FmI_m/F_m,抑制更好。保护改用带死区非线性的电流反馈在反馈回路上限流。

5.2.1 小结与常见错误

  • 四个方程:电枢电平衡、反电动势、力学平衡、力矩方程;kt=kvk_t=k_v 是电—机之间的桥。
  • 一条反馈:电流反馈的双重目的(减小滞后 + 限流保护),以及它与饱和非线性的分工(饱和用在控制信号上,死区非线性用在反馈上)。
  • 两种特性:速度控制发电机(无电流反馈,抗干扰好)与力矩控制发电机(有电流反馈,力矩独立于转速)。
  • 一个统一式:M(s)=kms(1+sTm)M(s)=\dfrac{k_m}{s(1+sT_m)}——位置输出对控制输入,一阶惯性 + 一个积分。
常见错误清单 · 自查三条
  1. 把 kvk_v 与 ktk_t 当成两个独立参数——标准单位下数值相等,这是 (5.12)(5.13) 化简的前提。
  2. 认为「加了电流反馈一定更好」——恰恰相反:独立关节控制不加更好(抗干扰),集中控制才需要。
  3. 忘了放大器的时间常数比机械时间常数小几个数量级——这是降阶模型成立、模型里可以令 Tv≈0T_v\approx0 的根据。