3.2 典型机械手结构的雅可比

几何雅可比的构造是一条流水线；这一节把这条流水线放到三种结构上试跑：三连杆平面臂（全转动、平面）、拟人臂（三转动、空间）和斯坦福机械手（五转一移、六自由度）。结构越复杂，越能显出「从 $T$ 矩阵读取 $z,p$」的威力——斯坦福机械手的雅可比没有人愿意手推，实际全部由符号计算完成。录播 1:12:12–1:23:42（1:23:39「以上是重点中的重点」）。

在逐列组装 $J$ 之前，值得先单独看一眼这两种「积木列」的几何（下图）：转动列的速度来自叉乘，方向天然垂直于矢径；移动列的速度就是轴本身，不产生转动——所有结构的雅可比都由这两类列拼装而成。

3.2.1 三连杆平面臂

三个转动关节，四个轴全部竖直且互相平行（平面结构）；$a_i$ 即三根杆长，$\alpha_i=d_i=0$：

$$A_i^{i-1}(\vartheta_i)=\begin{bmatrix}c_i&-s_i&0&a_ic_i\ s_i&c_i&0&a_is_i\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\qquad T_i^0=A_1^0\cdots A_i^{i-1}$$

这几个量可以直读结构得到（不必乘出矩阵也能看出来）：所有 $z$ 轴竖直平行，

$$z_0=z_1=z_2=[0,0,1]^{\mathrm T};\qquad p_0=[0,0,0]^{\mathrm T},\ p_1=[a_1c_1,a_1s_1,0]^{\mathrm T},\ p_2=[a_1c_1+a_2c_{12},\ a_1s_1+a_2s_{12},\ 0]^{\mathrm T}$$

（$c_{12}=\cos(\vartheta_1+\vartheta_2)$，下同）。三列全部取转动列，叉乘按 $[0,0,1]\times[x,y,0]=[-y,x,0]$ 逐列算出：

$$J=\begin{bmatrix} -a_1s_1-a_2s_{12}-a_3s_{123}&-a_2s_{12}-a_3s_{123}&-a_3s_{123}\ a_1c_1+a_2c_{12}+a_3c_{123}&a_2c_{12}+a_3c_{123}&a_3c_{123}\ 0&0&0\ 0&0&0\ 0&0&0\ 1&1&1 \end{bmatrix}$$

平面任务既不涉及 $z$ 向平动，也不涉及 $x,y$ 向转动，因此只取有效行（前两行 + 末行），得到 $3\times3$ 任务雅可比（1:15:50「平面情形只取前两行；如需 $\omega_z$ 再加末行」）：

$$\bar J=\begin{bmatrix} -a_1s_1-a_2s_{12}-a_3s_{123}&-a_2s_{12}-a_3s_{123}&-a_3s_{123}\ a_1c_1+a_2c_{12}+a_3c_{123}&a_2c_{12}+a_3c_{123}&a_3c_{123}\ 1&1&1 \end{bmatrix}$$

3.2.2 拟人臂

同样是三个转动关节，区别在于第一个关节带 $\pi/2$ 扭转（肩部），后两个关节的轴水平且互相平行：

$$A_1^0=\begin{bmatrix}c_1&0&s_1&0\ s_1&0&-c_1&0\ 0&1&0&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\qquad A_i^{i-1}=\begin{bmatrix}c_i&-s_i&0&a_ic_i\ s_i&c_i&0&a_is_i\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix}\ (i=2,3)$$

把三个变换连乘起来，逐一读出：

$$z_0=[0,0,1]^{\mathrm T},\qquad z_1=z_2=[s_1,-c_1,0]^{\mathrm T}\ (\text{水平，随肩转动})$$

$$p_0=p_1=[0,0,0]^{\mathrm T},\quad p_2=[a_2c_1c_2,\ a_2s_1c_2,\ a_2s_2]^{\mathrm T},\quad p_3=p_2+a_3,[c_1c_{23},\ s_1c_{23},\ s_{23}]^{\mathrm T}$$

「$z_1$ 跟 $z_0$ 就不一样了——$z_1,z_2$ 平行、都是水平的」（1:18:27）。逐列组装时，叉乘按 $[s_1,-c_1,0]\times[X,Y,Z]=[-c_1Z,,-s_1Z,,s_1Y+c_1X]$ 进行；组装完成后会发现，六行中只有三行线性无关——秩最多等于列数 3，而 $\omega_x,\omega_y$ 两个分量经由 $\dot\vartheta_2,\dot\vartheta_3$ 耦合在一起，并不独立。于是经行变换取出「关节速度 → 末端线速度」的 $3\times3$ 块：

$$\bar J=\begin{bmatrix} -s_1(a_2c_2+a_3c_{23})&-c_1(a_2s_2+a_3s_{23})&-c_1a_3s_{23}\ c_1(a_2c_2+a_3c_{23})&-s_1(a_2s_2+a_3s_{23})&-s_1a_3s_{23}\ 0&a_2c_2+a_3c_{23}&a_3c_{23} \end{bmatrix}$$

（注意第三行是余弦组合——该行在转写中一度被误读成正弦，本编按课件绿框、教材式 (3.37)–(3.38) 与数值差分三源核对后，采用余弦，见勘误 E3.1。）取行列式，并按第一列展开（$c_1^2+s_1^2=1$ 三次消去）：

$$\det\bar J=-a_2a_3,s_3,(a_2c_2+a_3c_{23})$$

两个因子各自为零，正对应拟人臂的两类奇点：$s_3=0$（肘伸直 / 折回，边界奇点）与 $a_2c_2+a_3c_{23}=0$（腕点落到 $z_0$ 轴上，肩奇点）——与 3.3 的解耦分析逐条对应（习题 B2）。

3.2.3 斯坦福机械手

六个关节中只有关节 3 是移动关节，其余五个都是转动关节（臂部：肩摆 + 肘转 + 伸缩；腕部：三轴汇交）：

要注意，六个相邻变换各不相同——「每个都不一样，不能用通式」（1:21:25）：

$$A_1^0=\begin{bmatrix}c_1&0&-s_1&0\ s_1&0&c_1&0\ 0&-1&0&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\ A_2^1=\begin{bmatrix}c_2&0&s_2&0\ s_2&0&-c_2&0\ 0&1&0&d_2\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\ A_3^2=\begin{bmatrix}1&0&0&0\ 0&1&0&0\ 0&0&1&d_3\ 0&0&0&1\end{bmatrix},$$

$$A_4^3=\begin{bmatrix}c_4&0&-s_4&0\ s_4&0&c_4&0\ 0&-1&0&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\ A_5^4=\begin{bmatrix}c_5&0&s_5&0\ s_5&0&-c_5&0\ 0&1&0&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\ A_6^5=\begin{bmatrix}c_6&-s_6&0&0\ s_6&c_6&0&0\ 0&0&1&d_6\ 0&0&0&1\end{bmatrix}$$

连乘 $T_1^0=A_1^0,\ T_2^0=A_1^0A_2^1,\ \dots,\ T_6^0=A_1^0\cdots A_6^5$，然后逐个读取；读取时优先利用结构特征，而不是硬算：

• $p_0=p_1=[0,0,0]^{\mathrm T}$；$p_3=p_4=p_5$（腕中心，三腕轴汇交，与 2.12 解耦点同一位置）；$p_6$ 最复杂（含 $d_6$ 工具偏置）；
• $z_0=[0,0,1]^{\mathrm T}$；$z_1$ 沿肩轴水平；$z_2=z_3=[c_1s_2,\ s_1s_2,\ c_2]^{\mathrm T}$（伸缩方向）；$z_4,z_5$ 表达式最长。

组装时，第 3 列取移动列，其余各列取转动列，得到 $6\times6$ 几何雅可比：

$$J=\begin{bmatrix} z_0\times(p_6-p_0)&z_1\times(p_6-p_1)&z_2&z_3\times(p_6-p_3)&z_4\times(p_6-p_4)&z_5\times(p_6-p_5)\ z_0&z_1&0&z_3&z_4&z_5 \end{bmatrix}$$

[1:23:39] 「以上是重点中的重点。」——几何雅可比的推导与构造到此收束；接下来要看的，是它的「病理学」（奇点）与「超定 / 欠定学」（冗余）。

3.2 小结与常见错误

• 一条主线：五步流水线（建系 → 填表 → 连乘 → 读取 → 组装）。平面臂完全可以看结构直读 $z,p$，空间臂要老老实实走流水线，斯坦福机械手则交给符号计算。
• 两个结构规律：腕三轴汇交 ⇒ $p_3=p_4=p_5$（腕中心）；平行轴族 ⇒ 对应的 $z$ 相等，经行变换后可以降维。