先把「系到底挂在哪」说透：看守模型（本编补充）

四条规则里最容易卡住读者的，是「$z_i$ 沿关节 $i+1$ 的轴」这个编号错位——下标 $i$ 配不上关节 $i$，对着图找半天才发觉配错了对。这里把挂靠关系一次说透，之后再看四条规则就只是操作细节。

DH 约定只有一句话：杆 $i$ 上固连坐标系 $i$，其 $z$ 轴放在关节 $i+1$ 的轴线上。把下标换个方向读，更顺口——

坐标系 $i-1$ 是「看守关节 $i$」的坐标系：它的 $z$ 轴 $z_{i-1}$ 与关节 $i$ 的轴线重合。

要找的东西	去哪里找
关节 $i$ 的轴线	就是 $z_{i-1}$（看守它的那根轴）
杆 $i$ 的固连系	系 $i$（原点 $o_i$ 落在关节 $i+1$ 的轴线上）
关节 $i$ 的运动	绕 / 沿 $z_{i-1}$：转 $\vartheta_i$ 或移 $d_i$
$A_i^{i-1}$ 里的变量	只有关节 $i$ 的那一个（「3 常 1 变」的出处）

为什么这样挂：$z_{i-1}$ 与关节 $i$ 的轴对齐后，关节 $i$ 转动或伸缩时，杆 $i$（连同系 $i$）相对杆 $i-1$（连同系 $i-1$）的运动就纯粹是绕 / 沿 $z_{i-1}$，一个参数即可装进矩阵；若 $z$ 轴随手乱放，描述同一段运动就要好几个参数——「6 压到 4」的第一笔节省正来自这里。

一句话防混：本教程与原书用标准 DH（$z_i$ 沿关节 $i+1$）；Craig《机器人学导论》用改进 DH（$z_i$ 沿关节 $i$）。两套各自自洽，混用必错（勘误 E2.4）。

DH 建系四规则（原书 §2.8.2，录播 0:54:05–0:58:00）

约定：轴 $i$ 指关节 $i$ 的轴线。操作永远从「定轴」开始——先把所有轴线画成贯穿直线，看清它们两两之间的关系（相交？平行？还是异面？），再逐系落位。给系 $i$ 落位时依次回答三问（$z$ 放哪、原点放哪、$x$ 指哪），$y$ 自动补齐：

1. $z_i$ 放哪：沿轴 $i+1$（看守模型：系 $i-1$ 才是看守关节 $i$ 的那个系）；
2. 原点 $o_i$ 放哪：取 $z_{i-1}$ 与 $z_i$ 的公垂线和 $z_i$ 的交点（垂足 $o_i'$ 则是公垂线与 $z_{i-1}$ 的交点）；
3. $x_i$ 指哪：沿公垂线，由关节 $i$ 指向关节 $i+1$；
4. $y_i$：右手系补齐（不引入参数）。

两类特殊轴对的处理（建系时最常遇到，动作先背下来）：

• 平行轴对（下文例解④的轴2、轴3）：公垂线有无穷多条，取穿过前一原点 $o_{i-1}$ 的那一条 $\Rightarrow d_i=0$；
• 相交轴对（例解③的轴1、轴2）：公垂线退化为交点本身 $\Rightarrow a_i=0$，$x_i$ 取同时垂直于两轴的任一方向（选定后 $\alpha_i$ 的正负也就定了）。

例解 · 在拟人臂上四步建系（本编补充，逐格对照下图）

结构：关节1轴线竖直（过肩点），关节2轴线水平（过肩点），关节3轴线与关节2平行（过肘点）。记住这三句话，参数表其实已经定了一半。

① 定轴线（格一）。 先不建任何坐标系，把三根轴线画成贯穿直线，然后问：它们两两什么关系？——轴1 与轴2 相交于肩点；轴2 与轴3 平行。后面每个参数都从这两句话里读出来。

② 放系 0（格二）。 $z_0$ 沿关节1轴线（竖直；沿轴的正方向任选，定下不再变）；$o_0$ 本可取在轴线上任一点，按「能零则零」取在轴1与轴2的交点（肩心），垂足 $o_1'=o_0$，下一行 $d_1$ 直接为 0；$x_0$ 水平任选（习惯取零位时上臂的指向）。系 0 从此固连在基座上。

③ 放系 1（格三）。 $z_1$ 沿关节2轴线。轴1、轴2 相交 $\Rightarrow a_1=0$；$x_1$ 必须同时垂直于两条轴 $\Rightarrow$ 沿水平（臂平面内垂直于两轴的那个方向），指向零位上臂。判 $\alpha_1$ 的动作：把 $x_1$ 当螺丝柄，看从 $z_0$ 拧向 $z_1$ 是不是右手旋进方向——是，转角 $+\pi/2$，故 $\alpha_1=\pi/2$（符号错误大多栽在这里，务必动手比划）。$y_1$ 右手补齐后恰好竖直向上、与 $z_0$ 同向——这正是「两轴扭了 90°」的直接可视化。

④ 放系 2、3（格四）。 $z_2$ 沿关节3轴线，与 $z_1$ 平行 $\Rightarrow\alpha_2=0$；这对平行轴的公垂线就是上臂本身 $\Rightarrow a_2=$ 上臂长，$x_2$ 沿上臂指向肘部，$o_2$ 取垂足（肘点，穿过 $o_1$ 的那条公垂线）$\Rightarrow d_2=0$。系 3 同理：$z_3$ 取与 $z_2$ 平行（末端系约定），公垂线 $=$ 前臂 $\Rightarrow a_3=$ 前臂长，$d_3=0$。剩下的 $\vartheta_1,\vartheta_2,\vartheta_3$ 就是三个关节变量——分别是 $x_0$ 到 $x_1$ 绕 $z_0$、$x_1$ 到 $x_2$ 绕 $z_1$、$x_2$ 到 $x_3$ 绕 $z_2$ 的转角。

填表时逐格「问一句」，每个数都有来历：

连杆 $i$	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\vartheta_i$	填这格时问自己
1	0	$\pi/2$	0	$\vartheta_1$	轴1、轴2 相交 $\Rightarrow a_1=0$；从 $z_0$ 绕 $x_1$ 转到 $z_1$ 是 $+\pi/2$
2	$a_2$	0	0	$\vartheta_2$	轴2、轴3 平行 $\Rightarrow\alpha_2=0$；公垂线 $=$ 上臂 $\Rightarrow a_2$
3	$a_3$	0	0	$\vartheta_3$	$z_2\parallel z_3\Rightarrow\alpha_3=0$；公垂线 $=$ 前臂 $\Rightarrow a_3$

这张表与 2.9.4 逐字相同——2.9 的九张参数表，都是这条四步流水线在不同骨架上的重复。

总原则：让参数尽量为零（录播 0:59:31–1:00:04，课堂提炼）

凡是可自由选取之处，都「选择让参数尽量为零的方案」。道理很简单：参数本身是常数，选得好就能让一大批参数为 0，代入 $A$ 矩阵时「都是零的乘来乘去」，计算量骤减。2.9 节每个算例的参数表里成片的 0，正是这条原则的兑现。

规则 → 参数：每条建系规则「为谁服务」

四条规则不是并列的口诀，而是每条各管一个参数——这既是「建系为什么这样建」的答案，也是填表时自查的依据：

规则	服务的参数	为什么恰好是它
$z_{i-1}$ 沿关节 $i$ 的轴	$\vartheta_i$、$d_i$（变量）	关节 $i$ 的运动物理上就是「绕 / 沿自己的轴」；$z_{i-1}$ 与该轴重合后，这场运动在 $A_i^{i-1}$ 里恰好表现为绕 $z_{i-1}$ 的转角 $\vartheta_i$（旋转块）或沿 $z_{i-1}$ 的位移 $d_i$（第 4 列）——这就是「转动 $\vartheta$ 当变量、移动 $d$ 当变量」的全部出处
原点 $o_i$ 取在公垂线上、$x_i$ 沿公垂线	$a_i$（常数）	两根 $z$ 轴的相对位置被这段公垂线一锤定音：$a_i$ = 公垂线长，沿 $x_i$ 度量——第 4 列的 $(a_ic_{\vartheta_i},\ a_is_{\vartheta_i})$ 由此而来
同一对 $z$ 轴的方向关系	$\alpha_i$（常数）	两轴的方向差只剩绕公垂线 $x_i$ 的一个转角：$\alpha_i$ = 从 $z_{i-1}$ 绕 $x_i$ 转到 $z_i$——旋转块里「绕 $x$ 转 $\alpha$」那一块由此而来
$y_i$ 右手系补齐	无	只保证 $R\in SO(3)$ 且唯一，不引入参数

一句话总结：$z$ 轴规则管变量（$\vartheta,d$），公垂线规则管常数（$a,\alpha$）。2.9 各参数表里成片的 $0$ 与 $\pm\pi/2$，全部来自这两条规则对齐之后的「自然归零 / 自然成直角」——不是巧合，而是设计。

$A_i^{i-1}$：从建系几何直接读出两步分解（原书式 2.52；录播 1:05:42–1:09:01）

建系规则不仅告诉我们坐标系放在哪，还把「从系 $i-1$ 走到系 $i$」的路线规定成了四段各含一个参数的路程。站在 $o_{i-1}$、以系 $i-1$ 的姿态起步，依次做四个动作（每个都绕 / 沿当前轴）：

1. 绕 $z_{i-1}$ 转 $\vartheta_i$——把 $x$ 轴从 $x_{i-1}$ 方向转到公垂线方向 $x_i$（$\vartheta_i$ 的定义）；
2. 沿 $z_{i-1}$ 移 $d_i$——原点落到垂足 $o_i'$（$d_i$ 的定义；与动作 1 都在 $z_{i-1}$ 上、互不干扰，可并成一步）；
3. 沿新 $x$（已对准 $x_i$）移 $a_i$——原点从 $o_i'$ 走到新轴线上的 $o_i$（$a_i$ 的定义）；
4. 绕 $x_i$ 转 $\alpha_i$——把 $z$ 轴从 $z_{i-1}$ 方向拧到 $z_i$ 方向（$\alpha_i$ 的定义）。

四段走完，恰好到达系 $i$；不多不少，每段恰好消费一个参数。按「当前轴右乘」（原理 2.3.A）把这段路线记成矩阵，就得到原书的两步分解：

1. 动作 1+2 合并为绕 $z_{i-1}$ 转 $\vartheta_i$、沿 $z_{i-1}$ 移 $d_i$ → 中间系 $i'$（原点 $o_i'$，$z$ 轴仍沿 $z_{i-1}$，$x$ 轴已对准 $x_i$）：

$$A_{i'}^{i-1}=\begin{bmatrix}c_{\vartheta_i} & -s_{\vartheta_i} & 0 & 0\\ s_{\vartheta_i} & c_{\vartheta_i} & 0 & 0\\ 0&0&1&d_i\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}$$

2. 动作 3+4 合并为沿 $x_{i'}$ 移 $a_i$、绕 $x_{i'}$ 转 $\alpha_i$ → 系 $i$：

$$A_i^{i'}=\begin{bmatrix}1&0&0&a_i\\ 0&c_{\alpha_i} & -s_{\alpha_i} & 0\\ 0&s_{\alpha_i} & c_{\alpha_i} & 0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}$$

右乘合成（先发生的在左边——原理 2.3.A）：

$$A_i^{i-1}(q_i)=A_{i'}^{i-1}A_i^{i'}=\begin{bmatrix} c_{\vartheta_i} & -s_{\vartheta_i}c_{\alpha_i} & s_{\vartheta_i}s_{\alpha_i} & a_ic_{\vartheta_i}\\ s_{\vartheta_i} & c_{\vartheta_i}c_{\alpha_i} & -c_{\vartheta_i}s_{\alpha_i} & a_is_{\vartheta_i}\\ 0 & s_{\alpha_i} & c_{\alpha_i} & d_i\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

DH 十步操作流程（原书）

1. 给关节轴编号，定出 $z_0,\dots,z_{n-1}$ 的方向；
2. 选取系 0（$o_0$ 在轴 $z_0$ 上；可行时与基坐标系重合）；
3. 对 $i=1,\dots,n-1$ 逐个处理：把 $o_i$ 放到 $z_i$ 与公垂线的交点（平行轴 + 转动关节取 $d_i=0$；移动关节取机械参考点）；
4. 沿公垂线取 $x_i$（方向由关节 $i$ 指向关节 $i+1$）；
5. 右手系补 $y_i$；
6. 选取系 $n$（转动关节取 $z_n\parallel z_{n-1}$；移动关节 $z_n$ 任意；$x_n$ 按步骤 4）；
7. 列出 $4n$ 个参数的参数表；
8. 逐个算出 $A_i^{i-1}(q_i)$；
9. 连乘得到 $T_n^0(q)$；
10. 串接常值变换 $T_b^0,T_e^n$，得到 $T_e^b(q)$。 录播 1:11:13 的口诀：「编号、建系（能零则零）、列参数表、代入、连乘」——参数表写对，剩下的就是机械代入。

闭链的 DH 处理（原书 §2.8.3）

设闭链有 $n+1$ 个连杆、关节数 $l>n$（于是闭环数 = $l-n$）。

1. 虚拟断开：在某个非驱动关节处把闭环「剪开」（设为连接连杆 $j$ 与 $k$ 的关节 $j+1$），得到一个树状开链；连杆 $0\cdots i$ 位于两分支之前（公共段），连杆 $j+1\cdots n$ 则被排除；
2. 按 DH 建系：对树上各分支分别建连杆坐标系（开链流程照用）；
3. 写约束：断点两侧坐标系 $j$ 与 $k$ 必须满足原闭环的几何一致条件。当关节 $j+1$ 为转动型时约束为

$$\boldsymbol z_j^i(\boldsymbol q')=\boldsymbol z_k^i(\boldsymbol q''),\qquad R_i^j(\boldsymbol q')\big(\boldsymbol p_j^i(\boldsymbol q')-\boldsymbol p_k^i(\boldsymbol q'')\big)=\begin{bmatrix}0&0&d_{jk}\end{bmatrix}^T$$

（$R_i^j=(R_j^i)^T$，把系 $i$ 中表达的向量投到系 $j$；原书式 2.55–2.57）——它说的就是「两 $z$ 轴共线 + 相对位置只剩沿轴向的固定偏移」。若关节 $j+1$ 为移动型，则 $d_{jk}$ 变为变量，位置约束只保留前两个分量，并追加方向约束 $\boldsymbol x_j^{iT}\boldsymbol x_k^i=\cos\vartheta_{jk}$（原书式 2.58–2.60）；两种情形下都恰有 6 个约束方程； 4. 求独立变量：由这 6 个方程解出数目较少的独立关节变量——它们就是驱动关节的自然候选，链中其余关节（含断开关节）通常不作为驱动关节； 5. 连乘出正运动学：$T_e^b(\boldsymbol q)=A_1^0A_2^1\cdots A_n^{n-1}$，链路闭合后，变换序列通常从坐标系 $j$ 重新开始（原书式 2.61）。