2.9 典型机械手结构运动学

本节把 DH 流水线放到工业机器人最常见的结构上跑一遍，一共九种——七种是课程重点，两种是教材补充（2.9.2、2.9.9）。目标不是背结果，而是看清两件事：参数表里的 0 从哪来；「球形腕旋转块 = ZYZ 欧拉角」这类结构性发现，又是如何为逆运动学铺路的。对应的录播片段为 1:13:00–1:35:10。

怎么读这一节：九张参数表都是 2.8.2 四步流水线（定轴线 → 放系 → 判关系 → 填表）在不同骨架上的重复。建议对每个结构先遮住表格，问三个问题——轴线两两什么关系？原点放在哪？$\alpha$ 怎么判号？——再对表验证；发现自己填出的符号与书上一致时，DH 法才算真正学会。

开始逐节填表之前，先看下面这张总览图：本节各位主角的「关节签名」一目了然。只要看清每种构形的 R / P 排列，从 2.9.1 起的 DH 表就不再是一堆数字，而是对这幅骨架的逐段描述。

2.9.1 三连杆平面臂

这是最简单的构形：三个关节的转轴全部平行，都沿 $z_0$。把所有 $x_i$ 都取在连杆方向上，整个机构便落在 $(x_0,y_0)$ 平面内；于是 $d_i=\alpha_i=0$ 对全表成立，而关节变量就是相邻两条 $x_i$ 轴之间的夹角。录播 1:13:43 逐列填出了这张表。

三行参数完全同构；代入 $A_i^{i-1}$：从建系几何直接读出两步分解 的通式（取 $\alpha_i=0,d_i=0$），得到的关节变换自然也完全相同（原书式 2.62）：

$$A_i^{i-1}(\vartheta_i)=\begin{bmatrix}c_i & -s_i & 0 & a_ic_i\ s_i & c_i & 0 & a_is_i\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},\qquad i=1,2,3,$$

三者依次连乘，得（原书式 2.63）：

$$T_3^0(\boldsymbol q)=A_1^0A_2^1A_3^2=\begin{bmatrix} c_{123} & -s_{123} & 0 & a_1c_1+a_2c_{12}+a_3c_{123}\ s_{123} & c_{123} & 0 & a_1s_1+a_2s_{12}+a_3s_{123}\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

（其中 $s_{12}=\sin(\vartheta_1+\vartheta_2)$，其余类推。）结构性观察（原书）有两点：其一，$z_3^0=[0\ 0\ 1]^T$ 与 $z_0$ 一致（三轴全平行），所以三个关节只决定末端在平面内的位置；其二，$x_3^0$ 的方向（接近向量）与末端执行器的约定不一致，需要补一个常值变换

$$T_e^3=\begin{bmatrix}0&0&1&0\ 0&1&0&0\ -1&0&0&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix}.$$

这个例子也为 2.12.2 的逆解（取 $\boldsymbol x_e=[p_x\ p_y\ \phi]^T$）预先铺好了路。

2.9.2 平行四边形臂（教材补充 · 课程未授）

这一节做一个变化：把平面臂的第二、三杆改成平行四边形。前两个关节分别把连杆 $1'$ 与连杆 $1''$ 接到连杆 0 上，由此构成一个闭链——正好用 2.8.3 讲过的方法（闭链的 DH 处理）来处理：选关节 4 为断开关节，建系后即得下面的 DH 参数表（原书表 2.2）：

由平行四边形的几何关系可得 $a_1'=a_3'$、$a_2'=a_1''$。约束方程进一步给出（原书式 2.64 前）：

$$\vartheta_2'=\vartheta_1''-\vartheta_1',\qquad \vartheta_3'=\pi-\vartheta_2'=\pi-\vartheta_1''+\vartheta_1' .$$

于是关节变量向量只剩 $\boldsymbol q=[\vartheta_1'\ \ \vartheta_1'']^T$——注意，两个驱动关节都装在基座上。把 $\vartheta_2',\vartheta_3'$ 的两式代入后，沿 $1'2'3'$ 分支连乘，再补上末杆的常值变换 $A_4^{3'}$，就得到正运动学（原书式 2.64）：

$$T_4^0(\boldsymbol q)=A_{3'}^0(\boldsymbol q),A_4^{3'}=\begin{bmatrix} -c_1' & s_1' & 0 & a_1''c_1''-a_4c_1'\ -s_1' & -c_1' & 0 & a_1''s_1''-a_4s_1'\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$$

这里有一个值得注意的细节：$a_1'$ 的两项贡献 $a_1'[c_1'\ \ s_1']^T$ 与 $a_3'[c_{123}'\ \ s_{123}']^T$ 恰好相消（后者 $=-a_1'[c_1'\ \ s_1']^T$，因为 $a_3'=a_1'$、$\vartheta_1'+\vartheta_2'+\vartheta_3'=\pi+\vartheta_1'$）。也就是说，连杆 $1'$ 的长度根本不进末端位置——位置只由 $a_1''$ 与 $a_4$ 决定。

（注：约束方程不能分别反解出 $\vartheta_2'$ 与 $\vartheta_3'$ 的值——两者被同一条约束绑定在一起，真正的独立变量只有 $\boldsymbol q=[\vartheta_1'\ \ \vartheta_1'']^T$ 这两个。）

2.9.3 球形臂

这是第一个引入移动关节的结构：两转动 + 一移动（伸缩）。三个 $a_i$ 全为零，原因就在轴间关系里——$z_0$ 与 $z_1$ 相交（$a_1=0$）、$z_1$ 与 $z_2$ 相交（$a_2=0$）、$z_2\parallel z_3$（$a_3=0$）。接下来要留意符号：$z_0\to z_1$ 沿 $x_0$ 转的是负向 $\pi/2$，故 $\alpha_1=-\pi/2$——录播 1:21:17 演示了这个判号过程，并提醒「正负号容易错」。

注意第三关节是移动型：它的变量 $d_3$ 进 $d$ 列，而 $\vartheta_3=0$（常数）。代入通式得三个 $A_i$（原书 §2.9.3），再连乘（原书式 2.65）：

$$T_3^0=\begin{bmatrix} c_1c_2 & -s_1 & c_1s_2 & c_1s_2d_3-s_1d_2\ s_1c_2 & c_1 & s_1s_2 & s_1s_2d_3+c_1d_2\ -s_2 & 0 & c_2 & c_2d_3\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol q=[\vartheta_1\ \vartheta_2\ d_3]^T .$$

结构性观察（录播 1:23:34；原书）：移动关节 $d_3$ 不影响旋转块——伸缩不改变姿态；单位向量 $\boldsymbol y_3^0=[-s_1\ \ c_1\ \ 0]^T$ 的方向仅由第一关节决定——第二关节的转轴 $z_1$ 恰与 $y_3$ 平行，绕它转动不会改变 $y_3$ 的指向。作为对比，$\boldsymbol z_3^0=[c_1s_2\ \ s_1s_2\ \ c_2]^T$ 就同时依赖两个转角。另外，与平面臂不同，此结构 $T_e^3=I$，无需补常值变换。

2.9.4 拟人臂

三个都是转动关节，几何上相当于「把两连杆平面臂绕肩轴转出平面」：$o_0$ 取在 $z_0\cap z_1$（$d_1=0$），$z_1\parallel z_2$，$x$、$y$ 的取法与平面臂一致（录播 1:26:52 带着填表）。这张表不用背——它就是 2.8.2 例解分步建出来的那张表，建系全过程（四格分镜 + 交互实验）见该节。

连乘（原书式 2.66）：

$$T_3^0=\begin{bmatrix} c_1c_{23} & -c_1s_{23} & s_1 & c_1(a_2c_2+a_3c_{23})\ s_1c_{23} & -s_1s_{23} & -c_1 & s_1(a_2c_2+a_3c_{23})\ s_{23} & c_{23} & 0 & a_2s_2+a_3s_{23}\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

这里 $z_3$ 与 $z_2$ 一致，坐标系 3 与末端执行器的约定不一致，同样需要补一个适当的常值变换（与平面臂是同一类收尾）。拟人臂的逆运动学（2.12.5）将给出 4 组解——肩左 / 右 × 肘上 / 下。

2.9.5 球形腕

这是一种三转动轴交于一点的腕，正是 1.2.3 解耦原理的运动学落点。它的关节变量从 4 开始编号——因为腕要装在 3 自由度臂之后（录播 1:29:06：「腕从四开始，四五六」）。三轴共点，所以 $a_4=a_5=d_5=0$，只留下工具长度 $d_6$：

把三个 $A_i$ 连乘（原书式 2.67）。本节最重要的发现就在结果里：旋转块 $R_6^3$ 与 ZYZ 合成矩阵（式 2.18）完全一致——$(\vartheta_4,\vartheta_5,\vartheta_6)$ 恰是相对系 3 的 ZYZ 角。这正是 2.12.6「腕逆解 = ZYZ 反解」的全部伏笔。

2.9.6 斯坦福机械手

斯坦福机械手就是球形臂 + 球形腕，而且两者的坐标系 3 一致——接口对齐，可以直接连乘（原书式 2.68–2.69；录播 1:30:39：「把这两个乘起来」）：

$$T_6^0=T_3^0,T_6^3=\begin{bmatrix}\boldsymbol n_6^0 & \boldsymbol s_6^0 & \boldsymbol a_6^0 & \boldsymbol p_6^0\ 0&0&0&1\end{bmatrix},$$

其中位置部分

$$\boldsymbol p_6^0=\begin{bmatrix} c_1s_2d_3-s_1d_2+\big(c_1(c_2c_4s_5+s_2c_5)-s_1s_4s_5\big)d_6\ s_1s_2d_3+c_1d_2+\big(s_1(c_2c_4s_5+s_2c_5)+c_1s_4s_5\big)d_6\ c_2d_3+(-s_2c_4s_5+c_2c_5)d_6 \end{bmatrix}.$$

把上式与单一球形臂的位置比较：多出的项全部来自「末端原点沿 $\boldsymbol a_6^0$ 方向外移 $d_6$」——若 $d_6=0$，两者位置向量相同（原书）。这一点对 2.12.2 节的解耦逆解至关重要。

方向部分见原书式 2.69。下面 $\boldsymbol n_6^0$ 的转录以英文原版为准——课堂幻灯片右缘被平台工具栏遮挡，被挡住的下标已与原书逐项核对补齐：

$$\boldsymbol n_6^0=\begin{bmatrix} c_1\big(c_2(c_4c_5c_6-s_4s_6)-s_2s_5c_6\big)-s_1(s_4c_5c_6+c_4s_6)\ s_1\big(c_2(c_4c_5c_6-s_4s_6)-s_2s_5c_6\big)+c_1(s_4c_5c_6+c_4s_6)\ -s_2(c_4c_5c_6-s_4s_6)-c_2s_5c_6 \end{bmatrix}$$

（此式可以由 $\boldsymbol n_6^0=R_3^0\cdot$ZYZ 矩阵的首列直接复核：ZYZ 首列第三分量为 $-s_5c_6$；$\boldsymbol s_6^0$ 与 $\boldsymbol a_6^0$ 的对应表达式见原书式 2.69。）

2.9.7 带球形腕的拟人臂

拟人臂的坐标系 3 与球形腕的坐标系 3 不一致（$x_3$ 相差 $\pi/2$、原点相差 $a_3$），因此不能直接连乘。出路有两条：插入常值变换把接口对齐，或者整体重建系（原书走的是这条路）。按后者重建，参数表为

（注意第 3、4 行与前面两个单一结构的表都不同：原拟人臂的 $a_3$ 消失了，它化入 $d_4$ 的参考方向；$\alpha_3$ 也变为 $\pi/2$。）连乘得到位置（原书式 2.70–2.71）

$$\boldsymbol p_6^0=\begin{bmatrix} a_2c_1c_2+d_4c_1s_{23}+d_6\big(c_1(c_{23}c_4s_5+s_{23}c_5)+s_1s_4s_5\big)\ a_2s_1c_2+d_4s_1s_{23}+d_6\big(s_1(c_{23}c_4s_5+s_{23}c_5)-c_1s_4s_5\big)\ a_2s_2-d_4c_{23}+d_6(s_{23}c_4s_5-c_{23}c_5) \end{bmatrix}$$

令 $d_6=0$，就得到腕心位置——它是 2.12.3 解耦求逆的抓手。录播 1:32:25 有一句忠告：「这里有很多正负号……不复杂，但要细心」。

2.9.8 DLR 机械手

这是一台七自由度机械手，属于本质冗余（见 2.10.3），腕部有两种构型。它的 DH 参数表如下（原书表 2.7）——$\alpha_i=\pi/2$（$i=1,\dots,6$）、$\alpha_7=0$，全表 $a_i=0$：

通用关节变换

$$A_i^{i-1}=\begin{bmatrix}c_i & 0 & s_i & 0\ s_i & 0 & -c_i & 0\ 0 & 1 & 0 & d_i\ 0&0&0&1\end{bmatrix}\quad(i=1,\dots,6),\qquad A_7^6=\begin{bmatrix}c_7 & -s_7 & 0 & 0\ s_7 & c_7 & 0 & 0\ 0&0&1&d_7\ 0&0&0&1\end{bmatrix}.$$

连乘结果（原书式 2.72–2.76）冗长，但没有新东西——录播 1:33:52 的说法是：「多少个关节都能算……就比较长而已，方法是一样的」。若换上另一种腕，即 $\alpha_7=\pi/2$ 型（原书），参数表第 7 行随之改变——特别地，此时 $d_7=0$、$a_7\ne0$——而且还要补一个常值变换（接近向量与 $x_7$ 共线）。

2.9.9 类人机械手（教材补充 · 课程未授）

所谓「类人」，指运动学结构与人体上半身相似：躯干 + 双臂 + 类人手 + 头部（甚至还包括视觉系统）。以原书图 1.33 的类人机器人为例：双臂各由一台 7 自由度的 DLR 机械手 构成，躯干按拟人臂（3 自由度）建模，共约 17 个自由度。

两条结构性要点（原书）：

1. 有一个「非自由度」的可变关节：在躯干末端执行器与两臂基座之间，有一个保持「胸部」始终竖直的连接装置，它用躯干末端更远处的一个关节来表示；其参数 $\vartheta_4$ 不构成自由度，而是由躯干关节补偿

$$\vartheta_4=-\vartheta_2-\vartheta_3\quad\Longrightarrow\quad T_t^3=\begin{bmatrix}c_{23} & s_{23} & 0 & 0\ -s_{23} & c_{23} & 0 & 0\ 0&0&1&0\ 0&0&0&1\end{bmatrix};$$

2. 左右臂是两个并行的树状分支（图 2.28）：两条链的正运动学分别建立（原书式 2.78–2.79）

$$T_{rh}^0=T_3^0,T_t^3,T_r^t,T_{rh}^r,\qquad T_{lh}^0=T_3^0,T_t^3,T_l^t,T_{lh}^l$$

式中 $T_t^3$ 就是上面的关节 4 补偿变换（系 4 与躯干系 $t$ 重合）；$T_r^t,T_l^t$ 是把躯干末端接到两臂基座的常值变换，其元素取决于安装角 $\beta$ 与原点间距；$T_{rh}^r,T_{lh}^l$ 则是 DLR 机械手的正运动学。若手腕换成另一种构型，需相应修改 DH 参数表第 7 行（原书习题 2.14）。

2.9 小结与常见错误

九种结构排在一起看，差异与共性都更清楚。表中每一行都来自前面某一小节，可以对照回读。

整节的内容可以压成两句：

• 一个发现：球形腕的 $(\vartheta_4,\vartheta_5,\vartheta_6)$ 就是 ZYZ 欧拉角——正运动学里的一次结构观察，直接变成了逆运动学算法。
• 一条纪律：先判接口（两段的坐标系 3 是否一致），再决定是「连乘」还是「重建系」。