定义 4.3.1 · 路径的参数表示与弧长参数化

令 $p$ 为 $(3\times1)$ 向量，$f(\sigma)$ 为定义在区间 $[\sigma_i,\sigma_f]$ 上的连续向量函数。考虑方程

$$p=f(\sigma). \tag{4.31}$$

随着 $\sigma$ 在区间上变化，$p$ 的取值序列称为空间路径，$\sigma$ 称为参数。$\sigma$ 增大时，$p$ 沿给定方向在路径上移动，该方向称为由 (4.31) 导出的路径方向。若终点与起点重合，即 $p(\sigma_f)=p(\sigma_i)$，路径是闭的；否则是开的。

弧长参数化：令 $p_l$ 为方向固定的开路径 $\Gamma$ 上的一点，$s$ 为一般点 $p$ 的弧长。若 $p$ 在 $p_l$ 之后，$s$ 为 $\Gamma$ 上连接 $p$ 与 $p_l$ 的弧的长度；若 $p$ 在 $p_l$ 之前，$s$ 取相反值。$p_l$ 称为弧长的起点（$s=0$）。于是每个 $s$ 都对应着唯一的路径点，弧长也就可以充当路径的参数：

$$p=f(s). \tag{4.32}$$

一般路径用参数 $\sigma$ 表示即可；弧长 $s$ 则是更「自然」的参数——它把参数增量与几何长度绑在一起，后面规划时间律 $s(t)$ 时正要以它为落脚点。

定义 4.3.2 · 直线路径

考虑连接 $p_l$ 与 $p_f$ 的线段，路径的参数表达式为

$$p(s)=p_l+\frac{s}{\|p_f-p_l\|}\,(p_f-p_l). \tag{4.34}$$

注意 $p(0)=p_l$、$p(\|p_f-p_l\|)=p_f$，可见由 (4.34) 导出的路径方向正是从 $p_l$ 指向 $p_f$。对 $s$ 求导：

$$\frac{\mathrm dp}{\mathrm ds}=\frac{1}{\|p_f-p_l\|}(p_f-p_l), \tag{4.35}$$

$$\frac{\mathrm d^2p}{\mathrm ds^2}=\mathbf 0. \tag{4.36}$$

退化提示：二阶导数为零，法线方向便无从定义——直线路径上不能唯一地定义坐标系 $(t,n,b)$（2:10:01）。这不是推导出了错，而是直线作为路径基元的固有性质。

定义 4.3.3 · 圆形路径

参数：圆轴的单位向量 $r$、圆轴上一点的位置向量 $d$、圆上一点的位置向量 $p_l$（图 4.12）。令

$$\delta=p_l-d .$$

为使 $p_l$ 不在轴上（即圆不退化成一点），必有

$$|\delta^{\mathrm T}r|<\| \delta\| .$$

在此情形下，圆心的位置向量为

$$c=d+(\delta^{\mathrm T}r)\,r . \tag{4.37}$$

随体坐标系 $o'\!-\!x'y'z'$：原点 $o'$ 与圆心重合；轴 $z'$ 沿 $r$ 方向；轴 $x'$ 沿向量 $p_l-c$ 的方向；轴 $y'$ 按右手系选取。在参考坐标系中，圆的参数表达式为

$$p'(s)=\begin{bmatrix}\rho\cos(s/\rho)\\ \rho\sin(s/\rho)\\ 0\end{bmatrix},\qquad \rho=\|p_l-c\| \tag{4.38}$$

（已假定 $p_l$ 为弧长的起点）。换到一般参考坐标系 $o\!-\!xyz$：

$$p(s)=c+R\,p'(s),\qquad R=[\,x'\ \ y'\ \ z'\,] \tag{4.39}$$

其中 $R$ 为坐标系 $o'\!-\!x'y'z'$ 相对 $o\!-\!xyz$ 的旋转矩阵（其列为各轴单位向量在 $o\!-\!xyz$ 中的表示）。对 $s$ 求导：

$$\frac{\mathrm dp}{\mathrm ds}=R\begin{bmatrix}-\sin(s/\rho)\\ \ \ \cos(s/\rho)\\ 0\end{bmatrix},\qquad \frac{\mathrm d^2p}{\mathrm ds^2}=R\begin{bmatrix}-\cos(s/\rho)/\rho\\ -\sin(s/\rho)/\rho\\ 0\end{bmatrix}. \tag{4.40,4.41}$$