实际任务很少只从一点走到另一点：拾取—放置要经过提起、放下两个中间点，避障要在障碍物周围加密路径点，高曲率路段也要多设点。点对点的方法因此不够用了，问题升级为「经过 N N N 」。最直接的解法（用一个 N − 1 N-1 N − 1
问题的提法 （1:11:44、教材 §4.2.2）：当 N N N 路径点 path points）时，要生成的轨迹要求机械手在指定的各个瞬时依次通过它们。每个关节变量因此都有 N N N 一个 ( N − 1 ) (N-1) ( N − 1 ) 一次穿过全部 N N N
为什么不用单个高阶多项式（教材 §4.2.2 的五条）
不可能指定起始速度和终点速度 ——所有自由度都被「过点」用光了；阶数增加时振动特性增加 ，可能导致机械手产生不自然的轨迹 。老师 1:13:13 的直观解释：一个 10 阶多项式经过 10 个点，其导数有 9 个极值点，「实际运动过程中就是从起点到终点，但它是有震荡的」；阶数增加时，系数计算的数值精度降低 ——方程系统的矩阵维度变大，数值求解的精度随之下降；约束方程系统求解繁难 ——方程系统一大，就要耗费大量计算资源；系数取决于所有指定的点 ——「只要其中某一个点变了，所有的量都得重新算，我之前耗费多少资源计算出的结果都需要重新计算」（1:14:57）。
出路 ：不再用单个高阶多项式，而改用一组适当数量、在路径点处彼此连续的低阶插值多项式；最低阶数是三次 ——三次多项式在满足两端位置约束后还剩两个自由度，正好可以用来施加速度的连续性 （1:15:34）。
定义 4.2.5 · 通过系列点的插值问题
对单个关节变量，寻求一个由 N − 1 N-1 N − 1 连续且具有连续一阶导数 的三阶多项式 Π k ( t ) \Pi_k(t) Π k ( t ) k = 1 , … , N − 1 k=1,\dots,N-1 k = 1 , … , N − 1 q ( t ) q(t) q ( t ) t = t k t=t_k t = t k k = 1 , … , N k=1,\dots,N k = 1 , … , N q ( t k ) = q k q(t_k)=q_k q ( t k ) = q k q 1 = q i , t 1 = 0 , q N = q f , t N = t f q_1=q_i,\ t_1=0,\ q_N=q_f,\ t_N=t_f q 1 = q i , t 1 = 0 , q N = q f , t N = t f q k q_k q k t = t k t=t_k t = t k 路径点 。
每一段三次多项式有 4 个系数，位置的两个端点值已经给出，还需要两个方程 才能把它们全部定住。补这两个方程的方式不同，就分出四条路线：
四条修正路线（课件 1:15:33 页、老师 0:17:22）
路线
补的两个约束
保证的连续性
出处
① 在路径点指定 速度
用户给出 q k q_k q k q ˙ k \dot q_k q ˙ k
位置、速度连续
4.2.2.1
② 按规则计算 速度
用相邻分段斜率定 q ˙ k \dot q_k q ˙ k
位置、速度连续
4.2.2.2
③ 要求加速度连续 （样条）
速度连续 + 加速度连续
位置、速度、加速度 连续
4.2.2.3
④ 低于三阶 的多项式 + 抛物线混合
用梯形速度曲线的做法
位置、速度连续（加速度跳跃）
4.2.2.4
小结 ：前两条路线「可以保证位置的平滑性和连续性、保证速度的连续性，但是不能保证速度的平滑性 ——加速度是有跳跃的」；只有样条能保证加速度连续（0:19:08）。
路径点指定速度的插值多项式
在连接 q k q_k q k q k + 1 q_{k+1} q k + 1 Π k ( t ) \Pi_k(t) Π k ( t )
Π k ( t k ) = q k , Π k ( t k + 1 ) = q k + 1 , Π ˙ k ( t k ) = q ˙ k , Π ˙ k ( t k + 1 ) = q ˙ k + 1 , \Pi_k(t_k)=q_k,\qquad \Pi_k(t_{k+1})=q_{k+1},\qquad \dot\Pi_k(t_k)=\dot q_k,\qquad \dot\Pi_k(t_{k+1})=\dot q_{k+1}, Π k ( t k ) = q k , Π k ( t k + 1 ) = q k + 1 , Π ˙ k ( t k ) = q ˙ k , Π ˙ k ( t k + 1 ) = q ˙ k + 1 ,
得到 N − 1 N-1 N − 1 每个系统都可以单独求解，不必与其他系统联立 （1:19:47）。通常的做法是把轨迹的起始速度和终点速度设为零 （q ˙ 1 = q ˙ N = 0 \dot q_1=\dot q_N=0 q ˙ 1 = q ˙ N = 0
Π ˙ k ( t k + 1 ) = Π ˙ k + 1 ( t k + 1 ) , k = 1 , … , N − 2 \dot\Pi_k(t_{k+1})=\dot\Pi_{k+1}(t_{k+1}),\qquad k=1,\dots,N-2 Π ˙ k ( t k + 1 ) = Π ˙ k + 1 ( t k + 1 ) , k = 1 , … , N − 2
确保路径点处速度的连续性。老师强调这条式子不能写反 （1:20:25）：「一定要保证左端点的速度和右端点的速度相等 ——左侧多项式的右端点速度等于右侧多项式的左端点速度，这样速度才能连续」。
例 4.2.E（原书图 4.5）· 指定速度下的超调
取 q 1 = 0 , q 2 = 2 π , q 3 = π / 2 , q 4 = π q_1=0,\ q_2=2\pi,\ q_3=\pi/2,\ q_4=\pi q 1 = 0 , q 2 = 2 π , q 3 = π /2 , q 4 = π t 1 = 0 , t 2 = 2 , t 3 = 3 , t 4 = 5 t_1=0,\ t_2=2,\ t_3=3,\ t_4=5 t 1 = 0 , t 2 = 2 , t 3 = 3 , t 4 = 5 q ˙ 1 = 0 , q ˙ 2 = π , q ˙ 3 = − π , q ˙ 4 = 0 \dot q_1=0,\ \dot q_2=\pi,\ \dot q_3=-\pi,\ \dot q_4=0 q ˙ 1 = 0 , q ˙ 2 = π , q ˙ 3 = − π , q ˙ 4 = 0 不平滑 （加速度有跳跃）。
关键观察 （1:21:40）：中间点 q 2 = 2 π q_2=2\pi q 2 = 2 π 速度不为零 （被指定为 π \pi π 超调 ——「这点可能超过 2 π 2\pi 2 π
换一条思路：不指定速度，而是把路径点速度算 出来，这样就能避免路线①中指定速度的任意性（1:22:25）。最常用的规则用的是线性分段的斜率 ：
线性分段斜率定速度（教材式 4.12）
令 v k = q k − q k − 1 t k − t k − 1 v_k=\dfrac{q_k-q_{k-1}}{t_k-t_{k-1}} v k = t k − t k − 1 q k − q k − 1 [ t k − 1 , t k ] [t_{k-1},t_k] [ t k − 1 , t k ]
q ˙ 1 = 0 , q ˙ k = { 0 , sgn ( v k ) ≠ sgn ( v k + 1 ) v k + v k + 1 2 , sgn ( v k ) = sgn ( v k + 1 ) q ˙ N = 0. (4.12) \dot q_1=0,\qquad \dot q_k=\begin{cases}0, & \operatorname{sgn}(v_k)\neq\operatorname{sgn}(v_{k+1})\\[1mm] \dfrac{v_k+v_{k+1}}{2}, & \operatorname{sgn}(v_k)=\operatorname{sgn}(v_{k+1})\end{cases}\qquad \dot q_N=0. \tag{4.12} q ˙ 1 = 0 , q ˙ k = ⎩ ⎨ ⎧ 0 , 2 v k + v k + 1 , sgn ( v k ) = sgn ( v k + 1 ) sgn ( v k ) = sgn ( v k + 1 ) q ˙ N = 0. ( 4.12 )
即：前后两段斜率异号 （该点是极值点，路径在此折返）⇒ 该点速度取 0 ；同号 （路径继续朝一个方向走）⇒ 取两段斜率的平均 。全部速度确定之后，插值多项式的求解与路线①完全相同。
例 4.2.F（原书图 4.6）· 中间点零速度
用与 例 4.2.E 相同的路径点数据，但速度改为按 (4.12) 计算。结果是：这组路径点使中间点处的速度为零 ——在 q 2 = 2 π q_2=2\pi q 2 = 2 π 不再超调 ，「到这点的情况下它就是 2 π 2\pi 2 π 2 π 2\pi 2 π
前两条路线都无法保证加速度 的连续性（1:24:12）。如果连速度也要平滑，加速度就必须连续——把这一层要求补上，就得到样条 。
定义 4.2.6 · 三次样条 spline
给定一个由 N N N 两个位置约束 ，并施加保证速度连续性 与加速度连续性 的两个约束，则除首末两点（其速度、加速度由边界条件指定）之外，在每一个路径点 t k t_k t k
满足的方程（k = 2 , … , N − 1 k=2,\dots,N-1 k = 2 , … , N − 1
Π k − 1 ( t k ) = q k , Π k − 1 ( t k ) = Π k ( t k ) , Π ˙ k − 1 ( t k ) = Π ˙ k ( t k ) , Π ¨ k − 1 ( t k ) = Π ¨ k ( t k ) . \Pi_{k-1}(t_k)=q_k,\qquad \Pi_{k-1}(t_k)=\Pi_k(t_k),\qquad \dot\Pi_{k-1}(t_k)=\dot\Pi_k(t_k),\qquad \ddot\Pi_{k-1}(t_k)=\ddot\Pi_k(t_k). Π k − 1 ( t k ) = q k , Π k − 1 ( t k ) = Π k ( t k ) , Π ˙ k − 1 ( t k ) = Π ˙ k ( t k ) , Π ¨ k − 1 ( t k ) = Π ¨ k ( t k ) .
这样的三次多项式序列称为样条 ，表示「插入一个给定点序列以确保函数及其导数连续性的光滑函数」（1:47:34）。
定理 4.2.G · 方程计数与两个虚拟点
先把方程数一数，问题就来了。 中间点贡献 4 ( N − 2 ) 4(N-2) 4 ( N − 2 ) 4 N − 2 4N-2 4 N − 2 N − 1 N-1 N − 1 4 ( N − 1 ) 4(N-1) 4 ( N − 1 ) 方程比未知数多 2 ，系统不能直接求解（教材 §4.2.2）。多出来的这两个，正是「初始与最终加速度 」这两个可以任意指定的条件。
三种出路 ：
让第一段和最后一段改用四阶多项式 （5 个系数容纳 5 个约束）——但算法通常要求各段形式一致，不理想；
只要求在部分时间 内保持轨迹一致（工程近似）；
引入两个虚拟点 （virtual points）：对它们施加位置、速度和加速度的连续性约束 ，但不指定其实际位置 。由于位置约束只考虑连续性，虚拟点定位在何处无关紧要。
把两个虚拟点引入之后，要确定的是 N + 1 N+1 N + 1 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) k = 3 , … , N k=3,\dots,N k = 3 , … , N 4 ( N − 2 ) 4(N-2) 4 ( N − 2 ) 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) 未知数与方程数相等，解存在且唯一 （1:29:55）。
降维：从 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) N N N 直接解 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) N N N
定理 4.2.H · 降维与三对角系统
第一步：写出二阶导数。 对一般多项式 Π k ( t ) \Pi_k(t) Π k ( t ) k = 1 , … , N + 1 k=1,\dots,N+1 k = 1 , … , N + 1
Π ¨ k ( t ) = Π ¨ k ( t k + 1 ) Δ t k ( t k + 1 − t ) + Π ¨ k ( t k ) Δ t k ( t − t k ) , Δ t k = t k + 1 − t k . (4.26) \ddot\Pi_k(t)=\frac{\ddot\Pi_k(t_{k+1})}{\Delta t_k}(t_{k+1}-t)+\frac{\ddot\Pi_k(t_k)}{\Delta t_k}(t-t_k),\qquad \Delta t_k=t_{k+1}-t_k . \tag{4.26} Π ¨ k ( t ) = Δ t k Π ¨ k ( t k + 1 ) ( t k + 1 − t ) + Δ t k Π ¨ k ( t k ) ( t − t k ) , Δ t k = t k + 1 − t k . ( 4.26 )
对时间两次积分 ，就得到 Π k ( t ) \Pi_k(t) Π k ( t ) 4 个未知数 ：Π ¨ k ( t k ) , Π ¨ k ( t k + 1 ) , Π k ( t k ) , Π k ( t k + 1 ) \ddot\Pi_k(t_k),\ \ddot\Pi_k(t_{k+1}),\ \Pi_k(t_k),\ \Pi_k(t_{k+1}) Π ¨ k ( t k ) , Π ¨ k ( t k + 1 ) , Π k ( t k ) , Π k ( t k + 1 )
第二步：逐层消元。 借助 (4.13) 的 N N N 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) 2 ( N + 1 ) 2(N+1) 2 ( N + 1 ) N N N q 2 q_2 q 2 q N + 1 q_{N+1} q N + 1 Π 1 ( t 1 ) \Pi_1(t_1) Π 1 ( t 1 ) Π N + 1 ( t N + 2 ) \Pi_{N+1}(t_{N+2}) Π N + 1 ( t N + 2 )
第三步：用速度连续性补齐。 到这一步唯一没用上的条件是速度连续性 （1:44:02）：左侧多项式右端点的速度等于右侧多项式左端点的速度，k = 1 , … , N k=1,\dots,N k = 1 , … , N N N N
A [ Π ¨ 2 ( t 2 ) ⋯ Π ¨ N + 1 ( t N + 1 ) ] T = b (4.28) A\,\big[\ddot\Pi_2(t_2)\ \cdots\ \ddot\Pi_{N+1}(t_{N+1})\big]^{\mathrm T}=b \tag{4.28} A [ Π ¨ 2 ( t 2 ) ⋯ Π ¨ N + 1 ( t N + 1 ) ] T = b ( 4.28 )
其中 b b b A A A 非奇异 系数矩阵，解存在且唯一。A A A
A = [ a 11 a 12 0 a 21 a 22 a 23 ⋱ ⋱ ⋱ a N − 1 , N − 1 a N − 1 , N 0 a N , N − 1 a N N ] , A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&&\mathbf 0\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ &&a_{N-1,N-1}&a_{N-1,N}\\ \mathbf 0&&a_{N,N-1}&a_{NN} \end{bmatrix}, A = a 11 a 21 0 a 12 a 22 ⋱ a 23 ⋱ a N − 1 , N − 1 a N , N − 1 0 ⋱ a N − 1 , N a NN ,
这大大简化了求解（见习题 4.4）：前向计算 + 后向计算即可。关键性质 ：A A A 对所有关节都一样 ——因为它只依赖指定的时间间隔 Δ t k \Delta t_k Δ t k b b b
样条降维：从 4(N+1) 个未知数到 N 个未知数的三对角系统
上方一行表示原始系统 4(N+1) 个未知数；中间箭头标出三步消元：位置指定值与连续性、加速度连续性、虚拟点位置表达；下方是最终的 N×N 三对角矩阵 A 与右端向量 b，并注明 A 只依赖时间间隔、对所有关节相同。
原始：N + 1 N+1 N + 1 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 )
位置指定值 (4.13) + 位置连续性 + 加速度连续性 ⇒ 降到 2 ( N + 1 ) 2(N+1) 2 ( N + 1 ) N N N
虚拟点位置 q 2 , q N + 1 q_2,q_{N+1} q 2 , q N + 1 Π 1 , Π N + 1 \Pi_1,\Pi_{N+1} Π 1 , Π N + 1
最后用速度连续性（唯一未用条件）补 N N N
A A A N × N N\times N N × N A Π = b A\,\boldsymbol\Pi=b A Π = b A A A Δ t k \Delta t_k Δ t k ⇒ 所有关节共用同一个 A A A
b b b ⇒ 换关节只换右端项
样条降维（本教程绘）：把 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) N N N 速度连续性 写成三对角系统 (4.28)。A A A
例 4.2.I（原书图 4.7）· 两组虚拟点的对比
数据 q 1 = 0 , q 3 = 2 π , q 4 = π / 2 , q 6 = π q_1=0,\ q_3=2\pi,\ q_4=\pi/2,\ q_6=\pi q 1 = 0 , q 3 = 2 π , q 4 = π /2 , q 6 = π t 1 = 0 , t 3 = 2 , t 4 = 3 , t 6 = 5 t_1=0,\ t_3=2,\ t_4=3,\ t_6=5 t 1 = 0 , t 3 = 2 , t 4 = 3 , t 6 = 5 q ˙ 1 = q ˙ 6 = 0 \dot q_1=\dot q_6=0 q ˙ 1 = q ˙ 6 = 0 t 2 = 0.5 , t 5 = 4.5 t_2=0.5,\ t_5=4.5 t 2 = 0.5 , t 5 = 4.5 t 2 = 1.5 , t 5 = 3.5 t_2=1.5,\ t_5=3.5 t 2 = 1.5 , t 5 = 3.5
读图要点 （1:48:16）：加速度是连续 的（线性、无跳跃）；第二组虚拟点更接近两个中间点的时刻，得到的加速度值更大 ——「因为它离这个点近，在很短的时间内就需要完成从这点到这点的过渡，所以加速度和速度值就会比较大」（1:49:09）。此时速度曲线也平滑了，代价是计算量更高。
最后一条路线采用最简化的做法：用线性分段 插值 N N N 抛物线 过渡，以免速度跳跃（1:50:13）。这样整条轨迹就由「线性多项式 + 二次多项式」交替拼接而成——代价是容忍加速度的不连续 。
定义 4.2.7 · 抛物线混合的线性内插
令 Δ t k = t k − t k − 1 \Delta t_k=t_k-t_{k-1} Δ t k = t k − t k − 1 q k − 1 q_{k-1} q k − 1 q k q_k q k Δ t k ′ \Delta t'_k Δ t k ′ q k − 1 , k q_{k-1,k} q k − 1 , k q k − 1 q_{k-1} q k − 1 q k q_k q k 常值速度 （即线性段斜率）；q ¨ k \ddot q_k q ¨ k q k q_k q k Δ t k ′ \Delta t'_k Δ t k ′ q k , Δ t k , Δ t k ′ q_k,\Delta t_k,\Delta t'_k q k , Δ t k , Δ t k ′
q k − 1 , k = q k − q k − 1 Δ t k , q ¨ k = q k , k + 1 − q k − 1 , k Δ t k ′ . (4.29,4.30) q_{k-1,k}=\frac{q_k-q_{k-1}}{\Delta t_k},\qquad \ddot q_k=\frac{q_{k,k+1}-q_{k-1,k}}{\Delta t'_k}. \tag{4.29,4.30} q k − 1 , k = Δ t k q k − q k − 1 , q ¨ k = Δ t k ′ q k , k + 1 − q k − 1 , k . ( 4.29,4.30 )
这里有两个必须注意的点 ：
首末两段要加长。 为了让轨迹与第一段、最后一段至少在部分时间内保持一致，轨迹应有更长的持续时间
t N − t 1 + Δ t 1 ′ + Δ t N ′ 2 , t_N-t_1+\frac{\Delta t'_1+\Delta t'_N}{2}, t N − t 1 + 2 Δ t 1 ′ + Δ t N ′ , 轨迹不经过路径点。 q ( t ) q(t) q ( t ) 不达到 路径点 q k q_k q k 附近经过 ——此时把路径点称为经由点 （via point）更合适。混合加速度越大，通路与经由点越接近（教材 §4.2.2）。
例 4.2.J（原书图 4.9）· 混合时间越短，越贴近经由点
数据 q 1 = 0 , q 2 = 2 π , q 3 = π / 2 , q 4 = π q_1=0,\ q_2=2\pi,\ q_3=\pi/2,\ q_4=\pi q 1 = 0 , q 2 = 2 π , q 3 = π /2 , q 4 = π t 1 = 0 , t 2 = 2 , t 3 = 3 , t 4 = 5 t_1=0,\ t_2=2,\ t_3=3,\ t_4=5 t 1 = 0 , t 2 = 2 , t 3 = 3 , t 4 = 5 q ˙ 1 = q ˙ 4 = 0 \dot q_1=\dot q_4=0 q ˙ 1 = q ˙ 4 = 0 k = 1 , … , 4 k=1,\dots,4 k = 1 , … , 4 Δ t k ′ = 0.2 \Delta t'_k=0.2 Δ t k ′ = 0.2 Δ t k ′ = 0.6 \Delta t'_k=0.6 Δ t k ′ = 0.6
读图要点 （1:54:38）：第一种情形（Δ t k ′ = 0.2 \Delta t'_k=0.2 Δ t k ′ = 0.2 q ( t ) q(t) q ( t ) 更接近经由点 ，但以更高的加速度 为代价——「在更短的时间内完成从一个速度到另一个速度的过渡，就需要更大的加速度」。
工业上为什么选它？ 「采用梯形速度曲线是比较简单的、比较通用的方式，在工业上其实是比较常用的」——当不要求轨迹恰在指定瞬时从经由点附近经过时 ，用梯形速度曲线开发轨迹规划算法就很有吸引力，因为它足够简单（1:55:22）。
例 4.2.K（原书图 4.10）· 用「时间超前」省掉一次停顿
只有一个中间点的情形：数据 q i = 0 , q f = 3 π / 2 q_i=0,\ q_f=3\pi/2 q i = 0 , q f = 3 π /2 t i = 0 , t f = 2 t_i=0,\ t_f=2 t i = 0 , t f = 2 q = π q=\pi q = π t = 1 t=1 t = 1
保守做法 ：把运动分成两段，每段各生成一条梯形速度曲线。机械手关节肯定到达中间点 ，但「在继续朝向最终点运动之前，它会被强迫停在那里」——加速、匀速、减速到零、停住、再重新加速（1:56:21）。这段位移和时间的浪费相当明显。
灵活做法 ：用速度（或位置）的和作参考，在第一分段结束之前 就开始产生第二分段——也就是引入时间超前 。这样关节仍到达最终点 ，但不再保证在指定时刻穿越中间点 （π \pi π ∣ q ¨ 1 ∣ = 6 π |\ddot q_1|=6\pi ∣ q ¨ 1 ∣ = 6 π ∣ q ¨ 2 ∣ = 3 π |\ddot q_2|=3\pi ∣ q ¨ 2 ∣ = 3 π 0.18 0.18 0.18
推广到多段 （2:20:27）：时间超前量按递归关系 Δ t j = Δ t j − 1 + δ t j \Delta t_j=\Delta t_{j-1}+\delta t_j Δ t j = Δ t j − 1 + δ t j 这种规划没有考虑速度连续性 ，实际中要加抛线段做平滑过渡，或做提前预判规划。
考点 · 老师原话（录播时间点）
样条是本节的理论重点，但「主要理解思路」。 「实际过程中其实都有程序已经写好，包括已经商用的一些机械臂，这种规划都是有的……主要是理解这个思路 」（1:47:59）。
降维是样条的关键一步。 「这个方程系统很大的……对很小的一个机械臂的计算量都是非常大的，所以需要一些技巧的方法——怎么对未知数或者整个方程系统进行降维 」（1:30:25）。
A A A A A A 对于所有的关节 A A A ，因为它只依赖于指定的时间间隔……你只要把某一个关节的 A A A A A A
工业上用梯形速度曲线。 「采用梯形速度曲线是比较简单、比较通用的方式，在工业上其实是比较常用的」（1:55:22）——前提是不要求指定瞬时时刻经过经由点。
多段混合要加预判。 「实际过程中对于多线段分段，一般是采用这种方法（时间超前）来进行规划的……但是要写代码还是需要仔细 」（2:21:59）。
默写点 · 合上书再写（主动回忆）
不看正文与速查卡，先写出下面几条，再展开核对。写不出来就说明这一节还没「拿走」。
说出高阶插值多项式的五个缺点（至少四条）。
写出路线②的速度计算规则 (4.12)。
样条的方程计数：中间点几个、极值点几个、未知数几个？差多少？两个虚拟点补在哪里？
写出 (4.29)(4.30)，并说明为什么叫「经由点」而不是「路径点」。
核对
① 不能指定首末速度；② 阶数高 ⇒ 振动/不自然轨迹；③ 数值精度降低；④ 方程系统求解繁难；⑤ 系数依赖全部点，改一点全重算。
q ˙ 1 = 0 \dot q_1=0 q ˙ 1 = 0 sgn ( v k ) ≠ sgn ( v k + 1 ) ⇒ q ˙ k = 0 \operatorname{sgn}(v_k)\ne\operatorname{sgn}(v_{k+1})\Rightarrow\dot q_k=0 sgn ( v k ) = sgn ( v k + 1 ) ⇒ q ˙ k = 0 ⇒ q ˙ k = ( v k + v k + 1 ) / 2 \Rightarrow\dot q_k=(v_k+v_{k+1})/2 ⇒ q ˙ k = ( v k + v k + 1 ) /2 q ˙ N = 0 \dot q_N=0 q ˙ N = 0 v k = ( q k − q k − 1 ) / ( t k − t k − 1 ) v_k=(q_k-q_{k-1})/(t_k-t_{k-1}) v k = ( q k − q k − 1 ) / ( t k − t k − 1 )
中间点 4 ( N − 2 ) 4(N-2) 4 ( N − 2 ) 4 N − 2 4N-2 4 N − 2 4 ( N − 1 ) 4(N-1) 4 ( N − 1 ) 多 2 个 （即初始与最终加速度这两个任意条件）。引入两个虚拟点后变成 N + 1 N+1 N + 1 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 )
q k − 1 , k = ( q k − q k − 1 ) / Δ t k q_{k-1,k}=(q_k-q_{k-1})/\Delta t_k q k − 1 , k = ( q k − q k − 1 ) /Δ t k q ¨ k = ( q k , k + 1 − q k − 1 , k ) / Δ t k ′ \ddot q_k=(q_{k,k+1}-q_{k-1,k})/\Delta t'_k q ¨ k = ( q k , k + 1 − q k − 1 , k ) /Δ t k ′ 从路径点附近经过而非到达 ，中间点的位置被「削角」，故改称经由点。
一条主线 ：N N N ( N − 1 ) (N-1) ( N − 1 ) N − 1 N-1 N − 1 路径点指定速度的插值多项式 / 计算速度 线性分段斜率定速度 / 样条 / 抛物线混合）。一个计数 ：样条 4 N − 2 4N-2 4 N − 2 4 ( N − 1 ) 4(N-1) 4 ( N − 1 ) 4 ( N + 1 ) 4(N+1) 4 ( N + 1 ) N N N A Π ¨ = b A\ddot\Pi=b A Π ¨ = b A A A 一句话 ：「通过系列点的运动，本质上是在每一段上重复点对点的方法 ，再补上段与段之间的连续性条件。」
常见错误清单 · 自查三条
把样条当成「光滑的插值」就完事 ——它的定义性特征是加速度连续 ；只保证速度连续的是路线①②，不是样条。虚拟点当成真实路径点 ：虚拟点不指定位置 ，只施加连续性约束；一旦给它们赋位置值，系统又变超定。经由点 = 路径点 ：抛物线混合下 q ( t ) q(t) q ( t )