令 $p_e=f(s)$ 为路径 $\Gamma$ 作为弧长 $s$ 的函数的参数表达式（$(3\times1)$ 向量）；末端执行器坐标系的原点在时间 $t_f$ 内从 $p_i$ 移动到 $p_f$。为简单起见，假设弧长的起点为 $p_i$，且 $\Gamma$ 上导出的指向为从 $p_i$ 到 $p_f$。于是弧长的值从 $t=0$ 时的 $s=0$，变到 $t=t_f$ 时的 $s=s_f$（路径长度）。

沿路径的时间律由函数 $s(t)$ 描述。要找 $s(t)$ 的解析表达式，上述针对关节轨迹的生成技术全部可以使用——特别地，可以把三次多项式或混合抛物线的线性分段序列直接选作 $s(t)$（2:15:53）。

点 $p_e$ 的速度由 $p_e$ 对时间求导给出：

$$\dot p_e=\frac{\mathrm dp_e}{\mathrm ds}\,\dot s=\dot s\,t ,$$

其中 $t$ 为路径在点 $p$ 的切向量。因此 $\dot s$ 表示与点 $p$ 有关的速度向量的数量（模），其正负号取决于 $p$ 沿 $t$ 的方向。$\dot s$ 从 $t=0$ 时的零值开始，按抛物线或梯形曲线变化，到 $t=t_f$ 时再回归到零。

考虑由 $N+1$ 个点 $p_0,p_1,\dots,p_N$ 的序列组成的路径，相邻两点由 $N$ 个分段连接。一个切实可行的整体路径参数表达式为

$$p_e=p_0+\sum_{j=1}^{N}\frac{s_j}{\|p_j-p_{j-1}\|}\,(p_j-p_{j-1}), \tag{4.46}$$

其中 $s_j$ 为与第 $j$ 个分段相关联、将 $p_{j-1}$ 连接到 $p_j$ 的弧长：

$$s_j(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t\le t_{j-1}\\ s'_j(t), & t_{j-1}<t<t_j\\ \|p_j-p_{j-1}\|, & t_j\le t\le t_f \end{cases} \tag{4.47}$$

$t_0=0$、$t_N=t_f$ 分别为轨迹的初始与最终时刻。$s'_j(t)$ 可以是三次多项式型的分析函数，也可以是混合抛物线的线性型函数——它从 $t=t_{j-1}$ 时刻的 $s'_j=0$ 连续变化，在 $t=t_j$ 时刻取 $s_j=\|p_j-p_{j-1}\|$。对 (4.46) 微分得

$$\dot p_e=\sum_{j=1}^{N}\dot s_j\,t_j,\qquad \ddot p_e=\sum_{j=1}^{N}\ddot s_j\,t_j , \tag{4.48,4.49}$$

其中 $t_j$ 为第 $j$ 条分段的单位切线向量。

问题与「经由点」。 因为两条不共线分段之间，路径点处一阶导数不连续，机械手将不得不停下来，然后再沿下一个分段的方向前进（2:20:27）。如果在通过这些路径点时允许一个松弛的约束条件，把路径点附近的分段连接起来，就有可能避免机械手停下来——这样的点称为操作空间经由点（via point），至少保证一阶导数的连续性。