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3.6 分析雅可比矩阵

同一个角速度，既可以投影到基坐标系的三根正交轴（几何雅可比），也可以「投影」到欧拉角的三根非正交瞬时轴（分析雅可比）。两者之间只差一个由欧拉角决定的   6×6;6\times6 变换矩阵 TAT_A。本节就把这个差别的物理来源讲清楚——它正是上一章 ZYZ 欧拉角（2.4）与本章几何雅可比的接缝。录播 2:17:32–2:24:12。

3.6.1 定义与对比

定义 3.6.1 · 几何雅可比 vs 分析雅可比
  • 几何雅可比（3.1 的 JJ）：用几何方法（DH + 正运动学）算出，逐列给出每个关节速度对末端线速度与角速度的贡献；它的角速度部分 ωe\omega_e 是末端角速度在基坐标系三根轴上的分量，物理意义直观（2:17:44–2:18:20）。
  • 分析雅可比 JAJ_A：把正运动学 xe=k(q)x_e=k(q) 对关节变量直接微分得到；姿态部分改用欧拉角 φe=[φ,ϑ,ψ]T\varphi_e=[\varphi,\vartheta,\psi]^{\mathrm T}（ZYZ）的时间导数 φ˙e\dot\varphi_e，即绕欧拉角所定义转轴的旋转速度，直观性差不少（2:18:26–2:19:08）。

两者都描述 v=[p˙e; φ˙e]v=[\dot p_e;\ \dot\varphi_e] 与 q˙\dot q 的关系，只是姿态部分选了不同的速度表示：

x˙e=[p˙eφ˙e]=JA(q) q˙,p˙e=∑i=1n∂pe∂qiq˙i (前三个分量与 JP 相同)\dot x_e=\begin{bmatrix}\dot p_e\\ \dot\varphi_e\end{bmatrix}=J_A(q)\,\dot q,\qquad \dot p_e=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial p_e}{\partial q_i}\dot q_i\ (\text{前三个分量与 } J_P \text{ 相同})

差异的关键在后三个分量（0:14:53–0:15:53，老师在开篇就点明了这一点）：「它俩都是同一个角速度，只是投影到不同的空间：一个投影到基坐标系（正交），一个投影到非正交的三个欧拉角轴。」

3.6.2 ωe\omega_e 与 φ˙e\dot\varphi_e 的关系：矩阵 TT

先搭一座 ωe\omega_e 与 φ˙e\dot\varphi_e 之间的桥梁。要问的第一个问题是：ZYZ 序列（2.4.2，绕当前轴右乘）合成时，三个角速度各绕哪根轴转？答案分别是三根瞬时轴：φ˙\dot\varphi 绕基系 zz 轴、ϑ˙\dot\vartheta 绕转完 φ\varphi 之后的 y′y' 轴、ψ˙\dot\psi 绕再转完 ϑ\vartheta 之后的 z′′z'' 轴。角速度可以叠加（牵连转动合成，3.1.2(d)），故

ωe=φ˙ z+ϑ˙ y′+ψ˙ z′′.\omega_e=\dot\varphi,\boldsymbol z+\dot\vartheta,\boldsymbol y'+\dot\psi,\boldsymbol z'' .

注意，这三个方向必须先表达在同一坐标系（基系）才能相加（3.1.2(a) 的纪律）。于是就逐个用基本旋转把它们算到基系里——依据是「转过去的向量 = 左乘对应矩阵」（定理 2.2.B 旋转算子身份）：

z=[001],y′=Rz(φ) y=[−sφcφ0],z′′=Rz(φ)Ry(ϑ) z=[sϑcφsϑsφcϑ].\boldsymbol z=\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol y'=R_z(\varphi),\boldsymbol y=\begin{bmatrix}-s_\varphi\ c_\varphi\ 0\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol z''=R_z(\varphi)R_y(\vartheta),\boldsymbol z=\begin{bmatrix}s_\vartheta c_\varphi\ s_\vartheta s_\varphi\ c_\vartheta\end{bmatrix}.

（这里 Ry(ϑ)z=[sϑ,0,cϑ]TR_y(\vartheta)\boldsymbol z=[s_\vartheta,0,c_\vartheta]^{\mathrm T}，再左乘 Rz(φ)R_z(\varphi) 就得到第三式。）把这三个方向按各自的系数排成矩阵的列：

ωe=T(φe) φ˙e,T(φ)=[0−sφsϑcφ0cφsϑsφ10cϑ](ZYZ)\omega_e=T(\varphi_e),\dot\varphi_e,\qquad T(\varphi)=\begin{bmatrix}0&-s_\varphi&s_\vartheta c_\varphi\ 0&c_\varphi&s_\vartheta s_\varphi\ 1&0&c_\vartheta\end{bmatrix}\quad(\text{ZYZ})

——TT 的三列就是三根瞬时转轴在基系中的方向；整个推导的本质，就是把斜轴上的角速度贡献投影回基系再合成。

念法（2:21:05）：把 TT 读作「三根瞬时转轴在基系中的方向排成的矩阵」——这三列未必正交；其中 zz 与 z′′z'' 的夹角恰为 ϑ\vartheta（ϑ→0\vartheta\to0 时这两列共线，正是 3.6.3 的奇异来源）。

把三根轴与合成出的 ωe\omega_e 画出来，就得到下图：φ˙\dot\varphi 的读法是「沿 z0,y′,z′′z_0,y',z'' 三根斜轴各转多少」，与正交基上的读数相比差一个换基——这个换基矩阵正是 T(φ)T(\varphi)。

欧拉角的三根非正交转轴与角速度合成 原点处三根转轴：竖直的 z 轴、转 φ 后的 y′ 轴、再转 ϑ 后的 z″ 轴；三个角速度贡献首尾相接合成总角速度 ω；z 与 z″ 的夹角标为 ϑ，ϑ 趋于零时两轴共线、T 奇异。 ω 的合成（ZYZ，示例 φ=40° ϑ=55°） ϑ z0·φ′ y′·ϑ′ z″·ψ′ ωe y′（第 2 列） z″（第 3 列） 实线 = 三个贡献首尾相接；黑 = 合成的 ω；虚线 = 三根轴的全长 同一个 ω，两套读数 正交基 x0 y0 z0 读数 → 几何雅可比的后三行 斜轴 z0 y′ z″ 读数 → 欧拉角速率 φ′（可积分） 两套读数的换基矩阵 = T(φ)，JA = TA−1J z0 与 z″ 的夹角恰为 ϑ：ϑ → 0 时两列共线， T 奇异、JA 失效——与 ZYZ 表示奇点同源
ωe=T(φ)φ˙e\omega_e=T(\varphi)\dot\varphi_e 的几何（本教程绘）：TT 的三列就是三根瞬时转轴的方向，三个角速度贡献首尾相接合成 ωe\omega_e。三根轴一般不构成正交基——这正是「分析雅可比后三行 ≠ 几何雅可比后三行」的来源；退化发生在 ϑ=0\vartheta=0：z0z_0 与 z′′z'' 共线，TT 不可逆（定理 3.6.A）。
一个向量、两组「坐标」

「就是线代里同一个向量可以表示在不同坐标系——空间可以正交也可以不正交，三根轴只要不共线就能表示三维所有的（角速度）向量」（2:21:05）。ωe\omega_e 就是那个向量：在正交基（x0,y0,z0x_0,y_0,z_0）里读数，得到几何雅可比的后三行；在非正交基（z,y′,z′′z,y',z''）里读数，得到 φ˙\dot\varphi——连接这两套读数的换基矩阵，就是 TT。

换基矩阵一确定，两种雅可比之间的关系就随之确定（2:22:00）：

定理 3.6.A · 两种雅可比的关系

JA=TA−1(φe) J,TA(φe)=[I300T(φe)]J_A=T_A^{-1}(\varphi_e)\,J,\qquad T_A(\varphi_e)=\begin{bmatrix}I_3&0\\ 0&T(\varphi_e)\end{bmatrix}

左上角的 I3I_3 说明线速度部分两式一致；右下角的 TT 说明角速度部分需要换算。

（TT 奇异时逆不存在——具体见 3.6.3 的欧拉角歧义。）

3.6.3 歧义与积分意义

针对这一页，老师给出了两条「使用注意」（2:22:37–2:23:53）：

  1. 欧拉角歧义：ϑ=0\vartheta=0 或 π\pi 时（进动轴与自转轴重合），φ\varphi 与 ψ\psi 之间存在歧义，不能相互表达——此时 TT 奇异（sϑ=0s_\vartheta=0，第 1、3 列共线），JAJ_A 也随之失效。这正是 定理 2.4.B 的 ZYZ 奇点在雅可比上的表现；
  2. 积分意义：欧拉角速率 φ˙\dot\varphi 可以积分（积出来就是欧拉角本身，有物理意义）；而 ω\omega 各分量的时间积分，只有在无穷小旋转意义下才有意义（角速度不是某个「角度向量」的导数——旋转不可交换，2.3）。
一致的特例（2:23:53）

某些场合 JJ 与 JAJ_A 可以完全一致：例如平面臂，姿态角 φ\varphi 本身就能直接表示为关节变量的函数（φ=ϑ1+…\varphi=\vartheta_1+\dots），把它对关节变量直接微分，得到的就是相应的雅可比行——几何与分析在这里重合。原因在于差异本就只出在「角速度用什么表示」上，而平面情形中欧拉角轴与固定轴重合，根本不存在换基问题。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

先合上正文与速查卡，把下面几条写出来，再展开核对；写不出来，就说明这一节还没「拿走」。

  1. JJ 与 JAJ_A 哪几行相同、哪几行不同？为什么？
  2. 写出 TAT_A 的分块结构，并说明 T(φ)T(\varphi) 三列的含义。
  3. JAJ_A 在什么条件下失效？为什么与 ZYZ 的表示奇点同源？
核对

前三行（线速度）相同——p˙e\dot{\boldsymbol p}_e 对 qq 直接求偏导的结果，与逐列构造的结果一致；后三行不同——ωe\boldsymbol\omega_e 用基系正交轴读数，φ˙e\dot{\boldsymbol\varphi}_e 用欧拉角的三根非正交瞬时轴读数，两者差一个换基。

TA=[I300T(φ)]T_A=\begin{bmatrix}I_3&0\\ 0&T(\varphi)\end{bmatrix}。TT 的第 1 列是 zz 轴、第 2 列是转 φ\varphi 后的 y′y' 轴、第 3 列是再转 ϑ\vartheta 后的 z′′z'' 轴（即 sϑcφ, sϑsφ, cϑs_\vartheta c_\varphi,\ s_\vartheta s_\varphi,\ c_\vartheta）。

sϑ=0s_\vartheta=0（ϑ=0,π\vartheta=0,\pi）时 TT 第 1、3 列共线、不可逆 ⇒ JAJ_A 失效。这正是 ZYZ 表示奇点（φ\varphi 与 ψ\psi 有歧义）在雅可比上的表现。

3.6 小结与常见错误

  • 一条主线：同一角速度 → 两种表示（正交基 vs 欧拉角轴）→ ωe=T(φ)φ˙\omega_e=T(\varphi)\dot\varphi → JA=TA−1JJ_A=T_A^{-1}J（左上 I3I_3、右下 TT）→ 欧拉角歧义处 TT 奇异、JAJ_A 失效。
  • 一句口诀：位置部分同、姿态部分异；几何看得见（ω\omega 有分量）、分析可积分（φ˙\dot\varphi 可积分）。
常见错误清单 · 自查三条
  1. 把 JAJ_A 与 JJ 的差别当成「笔误」——两者角速度行不同是本质差异（换基），相同的只有线速度行；
  2. 直接用 φ˙\dot\varphi 积分做姿态更新却没有配套的数值积分——φ\varphi 可积但方程非线性，工程上通常仍走旋转矩阵 / 四元数（2.6）；
  3. 在 ZYZ 奇点只怪欧拉角「反解跳变」——JAJ_A 本身也在此失效（TT 不可逆），二者同源。