课堂精编 · 导览

本部分是 2026–2027 学年第一学期《数值分析 I》课堂实录的总结与归纳，也是各讲讲座页的总入口：主讲：庞刚老师（北航数学科学学院），学院路校区主 M402。内容由课程录播平台的 AI 语音转写与板书/PPT 截图整理而成，已对照颜庆津《数值分析》（第 4 版）与本书第一、二章订正术语、补全公式。每讲开头都标注了对应的原书小节与正文先导关系，便于配合正文章节复习。

每讲分两层读

页首是「10 分钟复习版」（method[core] 盒）：一句话 + 必记结论表 + 老师强调的考点 + 对应正文小节——复习时只读这一段即可。

页身是实录体：课堂时间线（带板书时间戳）、逐段板书推导、老师原意与点评（引号内为据转写顺句的整理稿，非逐字实录）、AI 转写错词对照表——跟课者对照回放时用。页身里的「板书 13:59–21:19」这类时间戳指向录播进度，复习时可忽略。

课堂内容与教材的逐条对照见课堂 vs 教材 · 对齐审计；它标出 ✅ 对齐 / ➕ 课堂补充 / ⚠️ 表述差异 / ⏳ 待核。

正文对照 · 快速跳转

从正文出发找对应课堂，查下表直接跳转。表中「第 N 章」指本教程课堂主线的章号；主线第 1–7 章与原书第 1–7 章同号，不再错位；原书章号仍带「原书」二字。矩阵工具箱不在主线，见补充篇。

正文位置	对应讲次	课堂核心内容
1.1 数值分析的研究对象	第 1 讲	科学计算链条、四类误差、 $(\sqrt2-1)^6$ 六公式
1.2 误差、有效数字与条件数	第 1 讲 + 第 2 讲	误差传播/有效数字定义（第 1 讲）；精度保护技巧（第 2 讲）
1.3 范数与条件数	第 2 讲 + 第 3 讲	向量/矩阵范数（第 2 讲）； $\lVert A\rVert<1$ 可逆、条件数应用（第 3 讲）
第 2 章线性方程组的解法	第 3 讲–第 6 讲	高斯消去、列主元、LU 分解、追赶法、迭代法、Jacobi / Gauss–Seidel、SOR
第 3 章矩阵特征值与特征向量	第 6 讲（开篇）+ 第 7 讲	薛定谔方程动机、能级 = 特征值、规范化幂法、2-范数提取、反幂法与位移反幂法
第 4 章非线性方程	第 7 讲（开篇）+ 第 8 讲（占位）+ 第 9 讲	$f(x)=0\iff x=\varphi(x)$ 、二分法、不动点、收敛阶、牛顿法、全局收敛、割线族
第 5 章插值与逼近	第 9 讲（开篇）	采样恢复曲线、范德蒙德矩阵、拉格朗日插值；误差余项留待下一讲
第 6 章数值积分与数值微分	未讲	待补
第 7 章常微分方程数值解	未讲	待补
补充篇 2.1–2.3	课堂未讲	内积、正交、投影、QR；后续最小二乘/特征值的扩展
补充篇 2.4–2.6	部分作为工具	条件数（第 3 讲点到）、谱半径（第 5–6 讲用到）、SVD（未讲）

主线与原书同号：第 1–7 章 = 原书第 1–7 章。原书第 8 章（偏微分方程）不在老师七章范围内，暂不列入主线。补充篇是原书 §1.3 的扩充，不占主线章号。

讲次总览与知识地图

讲次	日期	主题	对应本书/原书位置
第 1 讲	09-07	数值分析对象、误差来源与分类、误差限运算、四大数值例题	本书 1.1–1.2；原书 1.1–1.2
第 2 讲	09-09	有效数字、精度保护技巧、向量范数、矩阵范数与从属范数	本书 1.2–1.3；原书 1.2–1.3
第 3 讲	09-14	矩阵范数计算、 $\lVert A\rVert<1\Rightarrow I\pm A$ 可逆、高斯消去与列主元	本书 1.3 + 第 2 章先导；原书 1.3、2.1
第 4 讲	09-16	LU 分解（Doolittle）、三对角追赶法、迭代法引论与收敛定理	第 2 章先导；原书 2.2、2.4.1
第 5 讲	09-21	收敛充要条件 $\rho(G)<1$ （对角化解耦自证）、先验/后验误差估计、Jacobi、行对角占优、Gauss–Seidel	第 2 章先导；原书 2.4.1–2.4.3
第 6 讲	09-23	SOR 构造与显示化、必要条件 $\omega\in(0,2)$ 、对角占优可逆引理与 $0<\omega\le1$ 收敛定理（反证全证）、Ostrowski 定理、特征值问题开篇	第 2 章收尾 + 第 3 章开篇；原书 2.4.4、3.1
第 7 讲	09-28	$\lambda_1$ 必为实数的共轭反证、规范化幂法（先单位化再乘 $A$ ）与回推推导、2-范数下 $y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$ 、反幂法（每步解 $Au_{k+1}=y_k$ ）、位移反幂法、二分法、不动点迭代收敛定理与存在性证明	第 3 章 + 第 4 章开篇；原书 3.1–3.2、4.1（Rayleigh 商见补充篇 2.5）
第 8 讲（材料已归，页面待补）	10-12	不动点迭代的唯一性与压缩条件下的收敛、收敛阶定理、牛顿法与二阶收敛（转写与板书关键帧已归档于 `_sources/numerical/transcripts/lec08-20261012-*`，占位页已建）	第 4 章；原书 4.1.2–4.1.5
第 9 讲	10-14	不动点迭代三定理复盘与收敛阶定理；牛顿法全局收敛定理（四条条件）与第一种情形的完整证明；割线法（差商代导、阶 $1.618$ ）与单点割线法（一阶）；插值法引论——采样恢复曲线、范德蒙德矩阵的存在唯一性与病态、拉格朗日插值与换基避病态	第 4 章收尾、第 5 章开篇；原书 4.1、5.1

误差理论(第1讲) ──精度技巧(第2讲)──┐
向量范数(第2讲) → 矩阵范数(第2-3讲) → ‖·‖<1 ⇒ I±A 可逆(第3讲) → 迭代收敛定理(第4讲)
                                    └→ 高斯消去(第3讲) → LU 分解(第4讲) → 追赶法(第4讲)
                                                                  └→ 迭代法引论(第4讲)
                                                        ρ(G)<1 充要条件(第5讲) → 误差估计(第5讲)
                                                        → Jacobi / 对角占优(第5讲) → Gauss–Seidel(第5讲)
                                                        → SOR 与收敛定理(第6讲) → 特征值问题引入(第6讲)
                                                        → 幂法：单位化 + 回推极限(第7讲) → 特征值的 2-范数提取(第7讲)
                                                        → 反幂法 A⁻¹(第7讲) → 位移反幂法 A−pI(第7讲)
非线性方程(第7讲) → f(x)=0 ⟺ x=φ(x) → 二分法(第7讲) → 不动点迭代收敛定理(第7讲)
             → 唯一性 / 收敛 / 收敛阶定理(第8讲) → 牛顿法二阶收敛(第8讲)
             → 牛顿法全局收敛定理：四条条件(第9讲) → 割线法：差商代导, 阶 1.618(第9讲)
             → 单点割线法：一阶(第9讲) → Steffensen(第9讲, 自阅)
插值与逼近(第9讲) → 多项式插值 → 范德蒙德矩阵：存在唯一但病态(第9讲)
             → 换基 → 拉格朗日插值 L_n(x)=Σ f(x_i)l_i(x)(第9讲) → 误差余项(下一讲)

自第 1 讲起的推进线索是：误差与精度（第 1–2 讲）→ 范数与线性方程组（第 2–4 讲）→ 迭代法（第 4–6 讲）→ 特征值（第 6–7 讲）→ 非线性方程（第 7–9 讲）→ 插值（第 9 讲起）。其中，第 3–9 讲的 高斯消去、LU 分解、追赶法、迭代法、幂法、非线性方程与插值 对应本书第 2–5 章（与原书第 2–5 章同号），目前由讲座页承载，尚未写成完整正文；后续写作时再升级为正文并回填链接。

记号说明（与正文符号表的差异）

讲座页忠实还原课堂板书与口述，记号沿用课堂风格，与正文符号表有三处差异：

向量一律写作斜体 $x$ （正文为粗体 $\boldsymbol{x}$ ）；
误差限用下标记号 $\varepsilon_x$ 、 $\varepsilon_{A+B}$ （正文为函数式 $\varepsilon(a)$ 、 $\varepsilon(a+b)$ ），范数源码简写 \| 与正文 \lVert 渲染相同；
$P$ 与 $D$ 在讲座页内部撞名（板书原样保留，阅读时请留意）：
- $P$ 既是矩阵分裂的剩余（ $A=N-P$ ），又是可对角化时的特征向量矩阵（ $G=P^{-1}\Lambda P$ ，见第 5 讲解耦一段）——本编在该处改记为 $T$ ，以免歧义；
- $D$ 既是 $A=L+D+U$ 里的对角块，又是解耦后的常数向量（ $D=Pd$ ）——本编在该处改记为 $\tilde d$ 。
正文符号表里 $P$ 只有一个含义：正交投影矩阵（符号表）。跨部分阅读时，以本页写明的是哪个 $P$ 为准。

其余记号（ $a$ 近似值 / $x$ 精确值、 $|\cdot|$ 范数、 $L$ / $U$ 三角因子等）与正文一致；遇板书原记号（如近似值记 $x^*$ ）时，页内会注明。

定理编号的第三套：讲座页的收敛性定理沿用原书编号（如「原书定理 2.8」「原书定理 2.9」，见第 5 讲），以便与板书、原书对照；板书未念出原书编号的（第 6 讲、第 7 讲、第 9 讲的各定理）不注原书编号，改以内容对照（第 9 讲板书另用课堂自编的「定理一/二/三」，属板书内部序号）。正文则一律用节级编号——两者不要混。

老师课堂反复强调的主线

误差红线：模型误差、观测误差无法消除；截断误差是本课程能控制、也要研究的对象；舍入误差由机器决定，但其传播可以控制。
算法评价三要素：算得准（稳定性、收敛性）、算得快（复杂度）、用得省（存储）；三者一般不可兼得。
工程现实：朴素高斯消去是 $O(n^3)$ ，而实际软件（MATLAB 等）内部全靠分解与迭代方法；三对角等稀疏结构的 $O(n)$ 方法才是工程主流。
自己动手：每类问题都要形成「一套自己的程序代码」；证明帮助理解，但不必背，公式必须亲手推导。

把「老师强调」练成条件反射 → [必考点竞技场](../training/arena.md)

上面这些主线、以及每讲页首「老师强调的考点」，已按模块归并成一张必考点总表，并做成 5 关限时答题：计分、连击倍率、段位、错题本，答错的题自动进错题本直到清空。想整卷模拟就做考场模拟卷（100 分制，含评分标准与真实场景题）。

后续讲次

本课程每周两讲（周一、周三第 1、2 节）；后续讲次的回放生成后，会按同样的流程追加整理。 第 4 周（09-28–10-04）只排了周一第 1、2 节一讲——周三（09-30）无课，第 5 周整周停课，故第 7 讲之后直接进入第 6 周（10-12 起）。

待补一讲：第 6 周周一（10-12，第 8 讲）的转写稿、板书关键帧与交叉校验稿已归档于 _sources/numerical/transcripts/；目前已建占位页，内容仍待补。其内容（不动点迭代的唯一性、收敛与收敛阶、牛顿法与二阶收敛）在第 9 讲开头被回扣复盘，可先据第 9 讲理解，待该页补齐后再回填链接。