Keyboard shortcuts

Press ← or → to navigate between chapters

Press S or / to search in the book

Press ? to show this help

Press Esc to hide this help

符号表

本页汇总全书统一的记号；页末三个方框是三条需要特别留意的约定。正文中遇到不熟悉的符号，随时回到这里查。

通用与误差

符号名称含义
xx准确值（真值）exact value参与比较的精确量，通常未知
aa近似值 approximationxx 的近似；原书记号为 aa
e(a)=x−ae(a)=x-a绝对误差 error可正可负；∣e(a)∣\lvert e(a)\rvert 是误差大小
ε(a)\varepsilon(a)绝对误差限 error bound∣e(a)∣≤ε(a)\lvert e(a)\rvert\le\varepsilon(a)；ε(a)\varepsilon(a) 恒非负，简称误差限
er(a)e_{\mathrm r}(a)，εr(a)\varepsilon_{\mathrm r}(a)相对误差 / 相对误差限实用中 er≈(x−a)/ae_{\mathrm r}\approx(x-a)/a；εr=ε(a)/∣a∣\varepsilon_{\mathrm r}=\varepsilon(a)/\lvert a\rvert
a=±0.a1a2⋯ak×10ma=\pm0.a_1a_2\cdots a_k\times10^m规格化十进制形式mm 整数，ai∈{0,…,9}a_i\in{0,\dots,9}，a1≠0a_1\neq0
β,t\beta,t浮点基与尾数位数IEEE 双精度 β=2, t=53\beta=2,\ t=53
fl⁡(x)\operatorname{fl}(x)浮点舍入 float把实数 xx 舍入到浮点集 FF 的结果
uu，eps\mathrm{eps}单位舍入误差 / 机器精度u=12β1−tu=\tfrac12\beta^{1-t}；eps=β1−t\mathrm{eps}=\beta^{1-t}；双精度 u=2−53u=2^{-53}，eps=2−52\mathrm{eps}=2^{-52}
O(g(n))O(g(n))计算量阶 big-O计算量与 g(n)g(n) 同阶增长
cond(f,x)\mathrm{cond}(f,x)函数条件数∣xf′(x)/f(x)∣\lvert xf'(x)/f(x)\rvert，1.2.6

向量与矩阵

符号名称含义
x=(x1,⋯ ,xn)T\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)^{\mathrm T}向量粗体小写；Rn\mathbb{R}^n 中列向量
xTy\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}内积∑ixiyi\sum_ix_iy_i；未特别说明时为 Euclid 内积
⟨x,y⟩\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle内积（一般记号）泛指某一给定的内积，见 2.1
x⊥y\boldsymbol{x}\perp\boldsymbol{y}正交xTy=0\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}=0
∥x∥p\lVert\boldsymbol{x}\rVert_p向量 pp-范数(∑∣xi∣p)1/p\bigl(\sum\lvert x_i\rvert^p\bigr)^{1/p}；p=1,2,∞p=1,2,\infty 最常用
∥x∥\lVert\boldsymbol{x}\rVert泛指的范数不指明用哪一种范数时的泛指记号
A=[aij]A=[a_{ij}]矩阵大写斜体；A∈Rm×nA\in\mathbb{R}^{m\times n}
ATA^{\mathrm T}转置[aji][a_{ji}]
rank⁡A\operatorname{rank}A秩 rank极大线性无关列数
∥A∥p\lVert A\rVert_p矩阵 pp-范数（从属范数）max⁡x≠0∥Ax∥p/∥x∥p\max_{\boldsymbol{x}\neq0}\lVert A\boldsymbol{x}\rVert_p/\lVert\boldsymbol{x}\rVert_p
∥A∥F\lVert A\rVert_FFrobenius 范数(∑i,jaij2)1/2\bigl(\sum_{i,j}a_{ij}^2\bigr)^{1/2}；不是算子范数
cond(A)\mathrm{cond}(A)条件数∥A∥∥A−1∥\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert；2-范数下 =σ1/σr=\sigma_1/\sigma_r
det⁡A\det A，tr⁡A\operatorname{tr}A行列式 / 迹迹 =∑iaii=∑iλi=\sum_i a_{ii}=\sum_i\lambda_i
II，OO单位矩阵 / 零矩阵阶数由上下文确定

子空间、投影与正交分解（补充篇）

符号名称含义
C(A)C(A)，Ran⁡A\operatorname{Ran}A列空间{Ax:x∈Rn}{A\boldsymbol{x}:\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n}
N(A)N(A)，Null⁡A\operatorname{Null}A零空间{Ax=0}{A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}
C(AT)C(A^{\mathrm T})，R(A)R(A)行空间与零空间互为正交补
N(AT)N(A^{\mathrm T})左零空间与列空间互为正交补
S⊥\mathcal{S}^{\perp}正交补与 S\mathcal{S} 中每个向量都正交的向量全体
PP正交投影矩阵P=A(ATA)−1ATP=A(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}；对称、幂等
QQ正交矩阵 / 正交基矩阵QTQ=IQ^{\mathrm T}Q=I（方阵时 Q−1=QTQ^{-1}=Q^{\mathrm T}）
A=QRA=QRQR 分解QQ 列正交，RR 上三角
HH，GGHouseholder 反射 / Givens 旋转H=I−2vvT/vTvH=I-2\boldsymbol v\boldsymbol v^{\mathrm T}/\boldsymbol{v}^{\mathrm T}\boldsymbol v
rr，r\boldsymbol r秩 / 残差向量r=b−Ax\boldsymbol r=\boldsymbol b-A\boldsymbol x

谱与奇异值（补充篇）

符号名称含义
λi(A)\lambda_i(A)特征值det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 的根
ρ(A)\rho(A)谱半径max⁡i∣λi∣\max_i\lvert\lambda_i\rvert
σi(A)\sigma_i(A)奇异值λi(ATA)\sqrt{\lambda_i(A^{\mathrm T}A)}，降序记为 σ1≥⋯≥σr>0\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r\gt0
λmax⁡(ATA)\lambda_{\max}(A^{\mathrm T}A)最大特征值ATAA^{\mathrm T}A 对称半正定
A=UΣVTA=U\Sigma V^{\mathrm T}奇异值分解 SVDU,VU,V 正交，Σ\Sigma 非负对角
A+A^{+}Moore–Penrose 伪逆VΣ+UTV\Sigma^{+}U^{\mathrm T}
q(x)\boldsymbol q(\boldsymbol{x})，R(x)R(\boldsymbol{x})Rayleigh 商xTAx/xTx\boldsymbol{x}^{\mathrm T}A\boldsymbol{x}/\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}（对称阵）
κ(A)\kappa(A)，cond2(A)\mathrm{cond}_2(A)谱条件数σ1/σr\sigma_1/\sigma_r
ρ≤∥A∥\rho\le\lVert A\rVert谱半径与范数任一相容矩阵范数下成立，见 2.5

记号约定一（误差限 ε\varepsilon）：与原书一致：四则运算的误差公式一律写成误差限 ε≥0\varepsilon\ge0 的形式（如 ε(a±b)=ε(a)+ε(b)\varepsilon(a\pm b)=\varepsilon(a)+\varepsilon(b)），不使用带符号的误差 ee。带符号的版本只在 1.2.3 的思考题 与 习题 B5 里讨论。

记号约定二（向量加粗）：向量一律用粗体（本教程排为粗斜体）x\boldsymbol{x}，分量用小写 xix_i；矩阵用大写斜体 AA。原书有些地方把向量排成粗斜体、有些排成正体，本教程统一取粗斜体。

记号约定三（谱与从属）：小写下标 pp 既用于向量范数，也用于矩阵范数；用在矩阵范数上时，默认它是从属于同名向量范数的算子范数（1.3.3）。∥A∥\lVert A\rVert 不带下标时，泛指任一满足四公理的相容矩阵范数。此外，2-范数也叫谱范数，它的条件数 cond2\mathrm{cond}_2 也叫谱条件数。