(a) 模型误差（建模假设偏离实际）。(b) 观测误差（测量仪器精度）。(c) 截断误差（Taylor 展开扔掉 $\frac{x^4}{24}$，数值约 $4\times10^{-6}$）。(d) 舍入误差（$0.1$ 与 $0.2$ 都无法精确存入二进制浮点）。

危险的是相对误差限：$\varepsilon_{\mathrm r}(a-b)=\dfrac{\varepsilon(a)+\varepsilon(b)}{\lvert a-b\rvert}$。当 $a,b$ 相近（$\lvert a-b\rvert$ 远小于 $\lvert a\rvert,\lvert b\rvert$）时分母极小，相对误差爆炸、有效数字大量丢失（极端例子见例 1.2.7：两个 4 位有效数字的数相减后连 1 位都不剩）。加法的分母 $\lvert a+b\rvert$ 通常不小于较大的操作数，故无此问题。危险条件：两数近似相等。绝对误差限公式对加减一视同仁，危险来自相对化。

(a) $2.1400$：5 位有效数字，$\varepsilon=\tfrac12\times10^{-4}$；$2.14$：3 位，$\varepsilon=\tfrac12\times10^{-2}$。前者更精确。写出的尾零是有效数字声明，不能随意省略。 (b) 准确值自身的有效数字可视为无限多位（误差恒为零）。 (c) $a=-0.100031\times10^{1}$：$\tfrac12\times10^{1-n}=0.0005=\tfrac12\times10^{-3}\Rightarrow n=4\ (\le6$ 位写出$)$，4 位；$b=0.42\times10^{-1}$：$\tfrac12\times10^{-1-n}=\tfrac12\times10^{-3}\Rightarrow n=2$，2 位（$4,2$）；$c=-0.32\times10^{-3}$：需 $\tfrac12\times10^{-3-n}=\tfrac12\times10^{-3}\Rightarrow n=0$，没有有效数字（误差限 $0.0005$ 已是首位有效数字 $10^{-4}$ 位半单位的 10 倍，连第一位都保不住，写法与误差限不匹配）。 (d) $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx=0.74682413\cdots$，4 位有效数字意味着 $a=0.7468=0.7468\times10^0$，$\varepsilon(a)=\tfrac12\times10^{0-4}=0.00005$。

(a) 对。取 $B=A^{\mathrm T}$：$\lVert A A^{\mathrm T}\rVert_2=\lambda_{\max}(AA^{\mathrm T})=\sigma_{\max}(A)^2=\lVert A\rVert_2^2$；或平凡地取 $B=I$。 (b) 错。$\lVert I\rVert_F=\sqrt n\neq1$，而任何算子范数必有 $\lVert I\rVert=1$（见 1.3.3 推论）。 (c) 对。$A$ 对称正定时 $A^{\mathrm T}A=A^2$，特征值为 $\lambda_i^2$，$\sqrt{\lambda_{\max}(A^2)}=\lambda_{\max}(A)$。 (d) 错。这正是范数等价定理（定理 1.3.3）：$m\lVert\boldsymbol{u}_k\rVert_\beta\le\lVert\boldsymbol{u}_k\rVert_\alpha\le M\lVert\boldsymbol{u}_k\rVert_\beta$，一侧趋于零则另一侧必趋于零。会变的是误差界的大小与停机步数，不是收敛与否。

设 $A$ 非奇异。(1) 正定：$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_A\ge0$；$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_A=0\iff A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\iff\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$（$A$ 非奇异，齐次方程组只有零解）。(2) 齐次：$\lVert k\boldsymbol{x}\rVert_A=\lVert A(k\boldsymbol{x})\rVert=\lvert k\rvert\lVert A\boldsymbol{x}\rVert$。(3) 三角不等式：$\lVert\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\rVert_A=\lVert A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}\rVert\le\lVert A\boldsymbol{x}\rVert+\lVert A\boldsymbol{y}\rVert=\lVert\boldsymbol{x}\rVert_A+\lVert\boldsymbol{y}\rVert_A$。

设 $A$ 奇异，则存在 $\boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{0}$ 使 $A\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$，于是 $\lVert\boldsymbol{v}\rVert_A=\lVert\boldsymbol{0}\rVert=0$，正定性被破坏，不是范数。∎

（应用：加权残差 $\lVert\boldsymbol{r}\rVert_{D^{-1/2}}$、椭圆范数 $\lVert\boldsymbol{x}\rVert_{A^{1/2}}$ 都是本题特例，第 2 章迭代法用它们度量误差。）

左半：$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2^2=\sum_i x_i^2\le\sum_i x_i^2+\sum_{i\neq j}\lvert x_ix_j\rvert=\Bigl(\sum_i\lvert x_i\rvert\Bigr)^2=\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1^2$（交叉项 $\ge0$）。 右半：$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1=\sum_i\lvert x_i\rvert\cdot1\le\Bigl(\sum_i x_i^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_i1^2\Bigr)^{1/2}=\sqrt n\,\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2$（Cauchy–Schwarz，取 $\boldsymbol{y}=(1,\cdots,1)^{\mathrm T}$）。

另两行：$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1$（最大不超过总和）；$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1\le n\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty$（每项不超过最大值，共 $n$ 项）；$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\le\sqrt n\,\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty$（$\max^2\le\sum x_i^2$ 与 $\sum x_i^2\le n\max^2$）。∎

由 $\lVert I\rVert=\lVert I\cdot I\rVert\le\lVert I\rVert^2$ 得 $\lVert I\rVert(\lVert I\rVert-1)\ge0$；又 $\lVert I\rVert=\lVert I\cdot I\rVert\ge0$ 且 $I\neq O$ 给出 $\lVert I\rVert\gt0$，故 $\lVert I\rVert\ge1$。再由次可乘性：

$$1=\text{(数 1)}\le\lVert I\rVert=\lVert A\,A^{-1}\rVert\le\lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert,$$

（利用 $A$ 非奇异）即 $\lVert A^{-1}\rVert\lVert A\rVert\ge1$。∎

（对照：当 $\lVert A\rVert\lt1$ 时，定理 1.3.6 的界 $\lVert(I-A)^{-1}\rVert\le(1-\lVert A\rVert)^{-1}$ 可以任意接近 1；而本题表明 $\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$ 永远不小于 1——这正是条件数（1.3.6）的下界。）

取定任一非零向量 $\boldsymbol{b}$（例如 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_1$），定义

$$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_*:=N\bigl(\boldsymbol{x}\,\boldsymbol{b}^{\mathrm T}\bigr),\qquad\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n .$$

（$\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T}$ 是把 $\boldsymbol{x}$ 复制到列方向的秩 1 矩阵，$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\iff$ 该矩阵为零矩阵。）验证三条向量范数公理：

(1) $\lVert\boldsymbol{x}\rVert_*\ge0$；$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_*=0\iff\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T}=O\iff\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$（因 $\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$）。 (2) $N(k\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})=N\bigl(k(\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})\bigr)=\lvert k\rvert N(\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})$。 (3) $N\bigl((\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\boldsymbol{b}^{\mathrm T}\bigr)=N(\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T}+\boldsymbol{y}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})\le N(\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})+N(\boldsymbol{y}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})$。

相容性：对任意 $A,\boldsymbol{x}$，用矩阵范数的次可乘性，

$$\lVert A\boldsymbol{x}\rVert_*=N\bigl(A\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T}\bigr)=N\bigl(A\,(\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})\bigr)\le N(A)\,N(\boldsymbol{x}\boldsymbol{b}^{\mathrm T})=N(A)\,\lVert\boldsymbol{x}\rVert_* .$$

∎

先约定带符号相对误差的记法：$e_{\mathrm r}(a)=\dfrac{x-a}{a}$（即 $x=a(1+e_{\mathrm r}(a))$）。则

$$xy=a(1+e_{\mathrm r}(a))\,b(1+e_{\mathrm r}(b))=ab\bigl(1+e_{\mathrm r}(a)+e_{\mathrm r}(b)+e_{\mathrm r}(a)e_{\mathrm r}(b)\bigr),$$

对照 $xy=ab\,(1+e_{\mathrm r}(ab))$ 即得第一式。除法：

$$\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\cdot\frac{1+e_{\mathrm r}(a)}{1+e_{\mathrm r}(b)}=\frac ab\left(1+\frac{e_{\mathrm r}(a)-e_{\mathrm r}(b)}{1+e_{\mathrm r}(b)}\right),$$

得第二式。当 $\lvert e_{\mathrm r}(a)\rvert,\lvert e_{\mathrm r}(b)\rvert\ll1$ 时，乘积项与 $\dfrac{e_{\mathrm r}(b)}{1+e_{\mathrm r}(b)}\approx e_{\mathrm r}(b)$ 的修正都是高阶小量，故近似为 $\varepsilon_{\mathrm r}$ 相加。∎

证明。分三步。

第一步：$\lVert A\rVert_F\le\sqrt n\,\lVert A\rVert_1$。把 $A$ 按列分块，第 $j$ 列记 $\boldsymbol{c}_j$，则 $\lVert A\rVert_F^2=\sum_j\lVert\boldsymbol{c}_j\rVert_2^2\le\sum_j\lVert\boldsymbol{c}_j\rVert_1^2\le n\max_j\lVert\boldsymbol{c}_j\rVert_1^2=n\,\lVert A\rVert_1^2$（每列的 2-范数不超过其 1-范数——B2 的向量不等式用于列向量；再 $n$ 项相加不超过最大值的 $n$ 倍）。

第二步：$\lVert\cdot\rVert_F$ 与 $\lVert\cdot\rVert_2$ 相容（正文 1.3.4 的结论 (b)）：$\lVert A\boldsymbol{x}\rVert_2\le\lVert A\rVert_F\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2$。

串联：$\lVert A\boldsymbol{x}\rVert_2\le\lVert A\rVert_F\,\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\le\sqrt n\,\lVert A\rVert_1\,\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2$。∎

数值检验（原书习题 12）。$\boldsymbol{x}=(4,-8,2)^{\mathrm T}$：$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1=14$，$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2=2\sqrt{21}\approx9.165$，$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty=8$。矩阵 $A$：列和 $(7,7,9)\Rightarrow\lVert A\rVert_1=9$；行和 $(11,4,8)\Rightarrow\lVert A\rVert_\infty=11$；$\lVert A\rVert_F=\sqrt{79}\approx8.888$；$A^{\mathrm T}A=\begin{pmatrix}21&-2&-3\\-2&29&-24\\-3&-24&29\end{pmatrix}$ 的最大特征值 $\approx53.016\Rightarrow\lVert A\rVert_2\approx7.281$。逐条核对：

$$\lVert A\boldsymbol{x}\rVert_2=56.18\ \le\ \sqrt3\times9\times9.165=142.87\ \checkmark,$$

$$\lVert A\rVert_2=7.281\le\sqrt{\lVert A\rVert_1\lVert A\rVert_\infty}=\sqrt{99}\approx9.950,\qquad \lVert A\rVert_2=7.281\le\lVert A\rVert_F=8.888\ \checkmark .$$

（第二个界的一行来历：$\lVert A\rVert_2^2=\lambda_{\max}(A^{\mathrm T}A)\le\lVert A^{\mathrm T}A\rVert_\infty\le\lVert A^{\mathrm T}\rVert_\infty\lVert A\rVert_\infty=\lVert A\rVert_1\lVert A\rVert_\infty$，其中 $\lVert A^{\mathrm T}\rVert_\infty=\lVert A\rVert_1$，且 $\lambda_{\max}\le$ 谱半径（spectral radius）$\le$ 任一算子范数——后者见补充篇 2.5，此处可当引理用。）这两个界与 $\lVert A\rVert_F$ 互不控制，本题中 $9.950\gt8.888$。所有实测值与理论一致。

(1) 四位有效数字意味着误差限恰是末位的半个单位：

$$\varepsilon(a)=\tfrac12\times10^{-5}=0.000005,\quad \varepsilon_{\mathrm r}(a)=\frac{0.000005}{0.01347}\approx0.037\%;$$

$$\varepsilon(b)=\tfrac12\times10^{-3}=0.0005,\quad \varepsilon_{\mathrm r}(b)=\frac{0.0005}{12.341}\approx0.0041\%;$$

$$\varepsilon(c)=\tfrac12\times10^{-3}=0.0005,\quad \varepsilon_{\mathrm r}(c)=\frac{0.0005}{1.200}\approx0.042\%.$$

注意 $c=-1.200$ 的两个尾零使其误差限比 $-1.2$ 写法小 10 倍。 (2) 验收标准：程序对区间内任意真值输出 $\lvert x-a\rvert\le5\times10^{-6}$，并按规格化形式自动判定有效位数为 4；参考判据：$a=0.01347=0.1347\times10^{-1}$ 即 $m=-1$，直接检验 $\lvert x-a\rvert\le\tfrac12\times10^{m-4}=\tfrac12\times10^{-5}=5\times10^{-6}$。

(1) 记 $f(x)=\sqrt x$，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$。由定理 1.2.2：

$$\varepsilon(\tilde u_1)\approx\frac{\varepsilon(x)}{2\sqrt{2.14}}=\frac{0.005}{2\times1.46287}\approx0.00171,\qquad \varepsilon_{\mathrm r}=\frac{0.00171}{1.46287}\approx0.12\% .$$

$\tilde u_1=1.46287\cdots=0.146\times10^1$（$m=1$）：$n=3$ 时 $\tfrac12\times10^{-2}=0.005\ge0.00171$ ✓，$n=4$ 时 $0.0005\lt0.00171$ ✗，故 $\tilde u_1$ 能有 3 位有效数字（$\tilde u_1\approx1.46$）。

(2) $u_2=xy-\dfrac xy$，$\tilde u_2=2.14\times(-1.231)+\dfrac{2.14}{1.231}=-2.63434+1.73842=-0.89592$。由 (1.1)，

$$\frac{\partial u_2}{\partial x}=y-\frac1y=-1.231+\frac{1}{1.231}=-0.41865,\qquad \frac{\partial u_2}{\partial y}=x+\frac{x}{y^2}=2.14+\frac{2.14}{1.231^2}=3.55220 .$$

（注意此处的 $y$ 为负；两个偏导数已按链式法则合并：$\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(xy-\dfrac xy\bigr)=x+\dfrac{x}{y^2}$。）误差限按绝对值求和：

$$\varepsilon(\tilde u_2)\approx\lvert-0.41865\rvert\times0.005+\lvert3.55220\rvert\times0.0005\approx0.00209+0.00178=0.00387,$$

$$\varepsilon_{\mathrm r}(\tilde u_2)=\frac{0.00387}{0.89592}\approx0.43\% .$$

$\tilde u_2=-0.89592\times10^0$（$m=0$）：$n=2$ 时 $0.005\ge0.00387$ ✓，$n=3$ 时 $0.0005\lt$ ✗，故 $\tilde u_2$ 能有 2 位有效数字（$\tilde u_2\approx-0.90$）。验收标准：程序复算全部 8 个中间值，与教材数字逐位一致（误差 $\lt10^{-6}$）。

$u_1=\sqrt x-\sqrt y$。直接算：$\sqrt{3.214}\approx1.793$，$\sqrt{3.213}\approx1.792$（四位），相减得 $0.001$，而真值 $u_1=0.00027892\cdots$——结果是真值的 3.6 倍（误差达到真值的 2.6 倍），一位有效数字都没有。改写（有理化）：

$$u_1=\frac{x-y}{\sqrt x+\sqrt y}=\frac{0.001}{\sqrt{3.214}+\sqrt{3.213}} .$$

四位算术：分母 $1.793+1.792=3.585$，$u_1=0.001/3.585=0.0002789$，与真值 $0.000278921$ 相对误差 $\approx10^{-4}$——4 位有效数字。

$u_2=\tan x-\tan y$。直接算：$\tan 3.214=0.07253$，$\tan 3.213=0.07153$，相减 $0.0010$（真值 $0.00100519$，2 位）。改写（和差化积）：

$$u_2=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}=\frac{\sin 0.001}{\cos 3.214\cdot\cos 3.213}=\frac{0.001000}{0.9974\times0.9975}=\frac{0.001000}{0.9949}=0.001005,$$

与真值 $0.00100519$ 相对误差 $\approx2\times10^{-4}$——4 位。验收标准：用 decimal（prec=4）模拟四位机复现两个结果；打印直接法与改写法的实测相对误差表。

真值 $(\sqrt2-1)^6=0.00505063388\cdots$，输入误差 $\delta=1.4-\sqrt2=-0.01421356$。六个公式都可视为 $\sqrt2$ 的函数 $g$；按其导数在近似值处取值（定理 1.2.2），放大因子 $G=\lvert g'(1.4)\rvert$。各式的 $G$ 与实测误差如下：

公式	$\lvert g'\rvert$	误差估计 $G\delta$	实测结果	实测误差
$(\sqrt2-1)^6$	$0.0614$	$8.7\times10^{-4}$	$0.004096$	$9.6\times10^{-4}$
$(3-2\sqrt2)^3$	$0.240$	$3.4\times10^{-3}$	$0.008$	$3.0\times10^{-3}$
$99-70\sqrt2$	$70$	$1.0$	$1.000$	$9.9\times10^{-1}$
$1/(\sqrt2+1)^6$	$0.0131$	$1.9\times10^{-4}$	$0.0052328$	$1.8\times10^{-4}$
$1/(3+2\sqrt2)^3$	$0.0053$	$7.5\times10^{-5}$	$0.0051253$	$7.5\times10^{-5}$
$1/(99+70\sqrt2)$	$0.0018$	$2.6\times10^{-5}$	$0.0050761$	$\mathbf{2.6\times10^{-5}}$

结论：第 6 式 $1/(99+70\sqrt2)$ 的误差最小（比第 3 式好近 5 个数量级）。道理在于：第 3 式是两个相近的大数 $99$ 与 $70\sqrt2\approx98$ 相减（放大因子 70）；第 6 式把同样两个数放进分母相加再取倒数——相近数由相减改为相加，除法又把误差进一步压低。验收标准：复现表中的实测列，并画出六个误差随 $\delta$ 变化的对数图（斜率应都为 1，截距差即放大因子之差）。

(1) 真值 $134000+240=134240$。原序（累加器先取 $0.1340\times10^6$）：按对阶规则，$40,50$ 小于累加器末位的半单位 $50$，$60,90$ 也过不了对阶，故在截断模型下全部丢失，结果停在 $0.1340\times10^6$，误差 $-240$；四舍五入模型下 60、90 会部分存活，见实验三。精确度最高的算法：先把小数加在一起——$40+50+60+90=240$（精确），再 $134000+240=134240$，最后舍入得 $0.1342\times10^6$，误差仅 $-40$。 (2) 实测（教材运行环境，n=5000）：逐项幂 279 ms，秦九韶 0.39 ms，比值约 700。验收标准：你的实测比值应在数百量级；若接近 1，检查是否把「幂每次从 1 重乘」写成了「复用上一轮的 $x^k$」（那也是 $O(n)$，见1.2.4 的代码注释）。

建立递推：$y_n+\dfrac14y_{n-1}=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n+\frac14x^{n-1}}{1+4x}dx=\int_0^1\frac{x^{n-1}(x+\frac14)}{1+4x}dx=\frac14\int_0^1x^{n-1}dx=\frac{1}{4n}\ (n\ge1)$，且

$$y_0=\int_0^1\frac{dx}{1+4x}=\frac{\ln 5}{4}\approx0.4024 .$$

判断方向：两式中，正向 $y_n=\dfrac{1}{4n}-\dfrac14y_{n-1}$ 的系数是 $-\dfrac14$——误差每步缩小 4 倍，正向稳定（与1.2.4 原则 (1) 的 $-5$ 恰好相反！）；反向 $y_{n-1}=\dfrac1n-4y_n$ 的系数是 $-4$，误差被放大，不可用。所以直接正向递推即可（关键是把方向判断做对）。

四位十进制下的计算结果（「真值」列为 scipy 求积结果，供对照）：

$n$	四位递推值	真值	误差
0	0.4024	0.4023595	$+4.0\times10^{-5}$
1	0.1494	0.1494101	$-1.0\times10^{-5}$
2	0.08765	0.0876475	$+2.5\times10^{-6}$
3	0.06142	0.0614215	$-1.5\times10^{-6}$
4	0.04714	0.0471446	$-4.6\times10^{-6}$
5	0.03821	0.0382138	$-3.8\times10^{-6}$
6	0.03212	0.0321132	$+6.8\times10^{-6}$
7	0.02768	0.0276860	$-6.0\times10^{-6}$
8	0.02433	0.0243285	$+1.5\times10^{-6}$

初始误差按每步约 $\tfrac14$ 衰减（$4\times10^{-5}\to10^{-6}$ 量级），总量被新舍入噪声压在 $10^{-5}$ 附近、不再增长。验收标准：程序以 y = 1/(4*n) - y/4 迭代并打印误差列，误差总体呈 $\tfrac14$ 衰减趋势且不随 $n$ 累积增长；再把递推倒过来跑一遍，观察 $n$ 回退 8 步时误差放大 $4^8\approx6.5\times10^4$ 倍。

(1) 需 $\dfrac{0.5}{L}\le0.5\%\Rightarrow L\ge100$ mm：只覆盖 $[100,1000]$ mm。(2) 需刻度 $\tfrac12\,\text{gridscale}\le0.005L$：$L=1$ mm 时刻度须 $\le0.01$ mm：0.01 mm 刻度的千分尺（=螺旋测微器）勉强够用，0.001 mm 刻度的高精度测微器则稳妥。(3) 规程要点：量具刻度 $\le0.01\times$ 被测长度下限；同一批工件按量级分三档选具；读数记录到刻度的 $\tfrac12$ 单位（与有效数字声明一致）。开放要点：讨论「估读到 1/10 格」是否合理——人的读数分辨约 1/5~1/10 格，可就此做敏感性分析。

内存：float32 减半（$10^5$ 阶三对角存 3 条带约 $3\times10^5$ 个数 → 1.2 MB vs 2.4 MB）；速度：纯算术下 float32 可快 1~2 倍，但带宽受限时收益缩小（用 NumPy 实测 np.dot / np.linalg.solvebanded）；精度：float32 的 $u\approx6\times10^{-8}$ 对应约 7 位有效数字，而追赶法的舍入误差按 $O(n)$ 放大（$10^5$ 步 → 最坏丢掉 4~5 位，只剩 2~3 位有效数字），float64 放大后仍剩 11 位以上。判据：保留位数 $\approx15.9-\log_{10}(\text{cond}\times n)$；小于任务要求位数就不能降精度。（完整的条件数分析见补充篇 2.4，此处先按 $n$ 的量级估计。）

参考骨架：

def audit(name, f, args, eps=1e-6):
    a, b = args
    u = f(*args)
    risks = []
    if abs(u) < eps * max(abs(a), abs(b)) and u != 0:
        risks.append("疑似相近数相减")
    if b != 0 and abs(b) < eps * abs(a):
        risks.append("疑似小除数")
    if a != 0 and abs(a) > 1e9 * abs(b) and b != 0:
        risks.append("疑似大数吞噬小数")
    print(f"{name:24s} u={u:+.3e}  {'; '.join(risks) or '安全'}")

验收标准：对 $(\sqrt2-1)^6$ 的公式 3（$99-70\times1.4$）应报「疑似相近数相减」，对公式 6 报「安全」；报告里解释阈值 $10^{-6}$ 的选取依据（对应损失约 6 位有效数字的临界点）。

Welford 递推：$\bar x_1=x_1$，$s_1=0$；$\bar x_k=\bar x_{k-1}+\dfrac{x_k-\bar x_{k-1}}{k}$，$s_k=s_{k-1}+\bigl(x_k-\bar x_{k-1}\bigr)\bigl(x_k-\bar x_k\bigr)$；方差 $=\dfrac{s_n}{n-1}$（样本方差）。预期现象：数据共同偏移 $\mu\gg$ 波动幅度时 (a) 失效（可复现教材实验二的 $0$ 输出，把偏移加大到 $10^{10}$），(b)(c) 稳定；Welford 的优点是单遍数据流即可用，且每一步都不构造大数。报告要点：列出偏移/波动比从 $10^0$ 扫到 $10^{10}$ 的误差曲线，标出 (a) 开始失守的临界比值并解释（$\Sigma x_i^2$ 的绝对舍入误差 $\sim n\cdot u\cdot\mu^2$ 追上方差本身）。