第 2 章 线性方程组的解法
本章按老师授课顺序组织：高斯消去 → 列主元 → LU / 追赶法 → 迭代法引论 → Jacobi / Gauss–Seidel → SOR。 对应庞刚老师第 3–6 讲；对应颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 2 章 2.1–2.4。 本章是完整正文：教材的每个小节、定理、例题、习题都在覆盖矩阵里有落点；课堂实录另见各讲链接。
本章定位
这是老师课程的主线第 2 章，也是原书第 2 章。老师默认线性代数（内积、正交、投影、QR、SVD）已学，不再单独讲；本教程把那些内容放进补充篇，只在需要时从本章链过去。
本章学习目标
学完本章，你应该能：
- 根据矩阵结构（稠密 / 三对角 / 稀疏 / 病态）选择直接法或迭代法，并说明理由；
- 写出高斯消去、LU 分解、追赶法的复杂度与适用条件；
- 判断 Jacobi / Gauss–Seidel / SOR 的收敛性，分清 、、对角占优、对称正定四条判据；
- 用条件数解释「残差小 ≠ 误差小」，知道什么时候要换提法而不是换算法。
本章结构
| 节 | 内容 | 教材 | 老师 |
|---|---|---|---|
| 2.1 | 高斯消去与列主元 | 2.1.1–2.1.2；定理 2.1–2.2；例 1 | 第 3 讲 §一、§四、§五 |
| 2.2 | 直接三角分解：LU、选主元、带状、追赶法、拟三对角 | 2.2.1–2.2.5；定理 2.3–2.5；例 2–3 | 第 4 讲 §二–§四 |
| 2.3 | 条件数与病态方程组 | 2.3.1–2.3.2；定理 2.6；例 4–5 | 第 3 讲 §一（点到） |
| 2.4.1 | 迭代法引论与收敛定理 | 2.4.1；定理 2.7–2.9 | 第 4 讲 §五、第 5 讲 §一–§三 |
| 2.4.2–2.4.4 | Jacobi、Gauss–Seidel、SOR | 2.4.2–2.4.4；定理 2.10–2.21；例 6–11 | 第 5 讲 §四–§五、第 6 讲 §二–§八 |
| 习题 | 教材习题 1–24 + 课堂补充 | p.45–47 | 各讲练习 |
覆盖核对：第 2 章覆盖矩阵。章节/定理/例题标 ✅ 表示“有正文落点”；习题标 🟡 表示“题面摘要 + 答案/提示已给，具体数值解待逐题复算”。
老师讲次对照
- 第 3 讲：矩阵范数、可逆性判据、高斯消去、列主元。
- 第 4 讲：LU 分解、Doolittle、追赶法、迭代法引论。
- 第 5 讲：、误差估计、Jacobi、Gauss–Seidel。
- 第 6 讲：SOR 构造、必要条件、主定理、Ostrowski、特征值开篇。
三句话带走
- 结构决定算法：稠密小规模用列主元/LU，三对角用追赶法，大规模稀疏用迭代法。
- 直接法的核心是分解：一次 LU，反复前代/回代；稠密 ，三对角 。
- 迭代法先过谱半径： 是充要条件， 是好算的充分条件。
本章状态
- 正文：2.1–2.4.4 已铺；教材 24 题已给题面摘要与答案/数值。
- 例题：例 6–11 已补逐次迭代表；本章覆盖矩阵全部 ✅。
- 下一章：第 3 章 矩阵特征值与特征向量的计算。