第 3 讲（09-14）：矩阵范数与高斯消去

课堂实录精编。前半节完成范数理论（矩阵 1-范数/∞-范数、可逆性判别定理）， 后半节进入解线性方程组的直接法：高斯消去法公式化、顺序主子式定理、计算量分析与列主元。 对应本书 1.3 向量范数与矩阵范数；直接法部分（顺序消去 2.1.1、列主元 2.1.2）为本书第 2 章先导（原书 2.1 节）。 对应学习目标：K1.6、K1.7 · S1.6、A1.3（目标清单）；高斯消去部分属后续章节目标。

课堂时间线

一、矩阵范数的计算公式（本讲推导成果）

范数的定义与四条性质已经讲清，这里先把 1-范数与 ∞-范数的计算公式推导完整。

定理（矩阵 1-范数 = 最大列和） 设 $A=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$，$\alpha_j$ 为列向量：

$$\boxed{;|A|_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^n|a_{ij}|;}$$

推导：设 $x=(x_1,\dots,x_n)^T$、$|x|_1=1$，则 $Ax=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n$。 由向量 1-范数的三角不等式与齐次性：

$$|Ax|_1\le\sum_j|x_j|,|\alpha_j|_1\le\Big(\max_j|\alpha_j|_1\Big)\sum_j|x_j|=\max_j|\alpha_j|_1 ,$$

且这个最大值能够取到（取 $x=e_k$，其中第 $k$ 列取得最大列和），故等号成立。

对偶结论（矩阵 ∞-范数 = 最大行和）：

$$|A|_\infty=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^n|a_{ij}| .$$

2-范数（最大奇异值）留作自学。老师点评：向量 p-范数的表达式本身很清晰， 矩阵范数算出来却“奇形怪状“，记住 1-范数是最大列和、∞-范数是最大行和即可。

几何直观复习（板书）：单位球面 ${x:|x|=1}$（2-范数是球面、1-范数是八面体、 ∞-范数是立方体）经 $A$ 作用后仍是封闭曲面，而 $|A|=\max|Ax|$ 就是该曲面上的点到原点的最大距离。

二、可逆性判别定理（迭代法收敛性的钥匙）

定理：若存在某个（满足四条性质的）矩阵范数使 $|A|<1$，则 $I\pm A$ 都可逆。

证明（反证法，板书完整）：设 $I-A$ 不可逆，则 $I-A$ 不满秩，齐次方程组 $(I-A)x=0$ 有非零解 $x$，即 $x=Ax,\ x\ne0$。取与该矩阵范数适配（即相容，正文 1.3.3 的术语）的向量范数：

$$|x|=|Ax|\le|A|,|x|<|x| ,$$

矛盾。故 $I-A$ 可逆；$I+A$ 同理。$\blacksquare$

例（板书原题）：

$$A=\begin{bmatrix}0.1&-0.2&-0.04\-0.1&0.3&0.1\0.5&0.2&0.1\end{bmatrix},$$

各列元素绝对值之和分别为 $0.7,,0.7,,0.24$，故 $|A|_1=0.7<1$，立得 $I+A$ 可逆—— 完全不用算行列式。（顺便看行和：各行元素绝对值之和为 $0.34,,0.5,,0.8$，故 $|A|_\infty=0.8$， 两种范数都小于 1。）

适配关系的双向总结：向量范数可以诱导出矩阵范数；反过来，满足四条性质的矩阵范数 也必定存在与之适配的向量范数。相容不等式 $|Ax|\le|A||x|$ 只对适配的范数对成立。 老师预告：讲迭代法时这条结论会反复用到。

三、数值计算守则复习（三个教训）

1. 别把很小的数放在分母上（除法误差限中含 $b^2$）；
2. 相近数相减会损失有效数字（板书原例）：计算 $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ 时， 先作有理化 $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(x+1)-x}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$， 把两个相近数相减转化为相近数相加；
3. 减少运算次数：每一步运算都产生舍入误差，“如同做实验，流程越少，误差越小”。

四、高斯消去法 (Gaussian elimination)

复习结束，课堂从这里进入正题：解线性方程组的直接法。

设定：解 $Ax=b$，$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 非奇异。对增广矩阵 $[A,|,b]$ 只做“某行乘常数加到另一行“的初等行变换（不改变方程组的解）。

第 1 步（设 $a_{11}\ne0$）：第 $i$ 行加上第一行的 $-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}$ 倍 （$i=2,\dots,n$），消去第一列；消元乘数记 $m_{i1}=-a_{i1}/a_{11}$， 更新后的元素记上标 $(1)$。

第 $k$ 步：用主元 $a_{kk}^{(k-1)}$ 消去其下方的元素， $m_{ik}=-a_{ik}^{(k-1)}/a_{kk}^{(k-1)}$。如此共 $n-1$ 步，方程组化为上三角， 再回代 (backward substitution) 逐个解出 $x_n,x_{n-1},\dots,x_1$。

核心定理（充要条件）：不用行交换的高斯消去能进行到底（化成上三角）

$$\iff\ \text{消去过程中主元 } a_{11},a_{22}^{(1)},\dots,a_{n-1,n-1}^{(n-2)}\ \text{均非零} \iff\ A\ \text{的前 } n-1\ \text{个顺序主子式 } \Delta_1,\dots,\Delta_{n-1}\ne0 .$$

证明思路：倍加型初等行变换不改变各阶顺序主子式；而在最终的上三角阵中 $\Delta_k$ 恰等于前 $k$ 个主元之积，故 $\Delta_k\ne0\iff$ 第 $k$ 步主元非零。

注意：最后一个主元 $a_{nn}^{(n-1)}$ 是否为零不影响“能否消成上三角“， 只影响方程组是否可解；若要唯一解，还需 $\Delta_n\ne0$（即 $A$ 非奇异）。

计算量分析：第 1 步要消去 $n-1$ 行、每行约 $2n$ 次乘加……总运算量与 $\sum_{k=1}^n k^2\sim n^3/3$ 同量级，即 $O(n^3)$（乘加合计约 $\frac{2}{3}n^3$）。 三维问题若每个方向取 100 个网格，则 $n=10^6$，运算量达 $10^{18}$ 次—— 笔记本电脑根本算不动。

工程现实（老师反复强调）：实际软件包（包括 MATLAB，其名意为“矩阵实验室“） 里都没有人用朴素高斯消去，内部全是迭代法与各种分解。高斯消去的价值在于它是理论基石， 并给出了“能消“的条件。

板书反例（顺序主子式条件的必要性）：$A=\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix}$ 非奇异，但 $a_{11}=0$——不换行，消去法第一步就无法进行（$\Delta_1=0$）。

五、列主元高斯消去法 (Gaussian elimination with partial pivoting)

动机：主元 $a_{kk}^{(k-1)}$ 特别小时，乘数 $m_{ik}=-a_{ik}^{(k-1)}/a_{kk}^{(k-1)}$ 巨大，舍入误差被放大、精度骤降——这正是“不让小数当分母“的直接体现。

算法：每步消元前，先在当前列（第 $k$ 步为第 $k$ 列的第 $k$ 至 $n$ 行）中选出 绝对值最大的元素，把该行与第 $k$ 行交换，然后再消元。这样 $|m_{ik}|\le 1$， 误差不会被放大。

六、老师强调

• “适配“是本讲关键词，相容不等式只能对适配的范数对使用。
• $|A|<1\Rightarrow I\pm A$ 可逆：找到一个范数即可，不用算行列式。
• 顺序主子式结论是充要条件；最后一个主元管“能不能解“，前面 $n-1$ 个管“能不能消“。
• 高斯消去要掌握，但实际大规模问题靠迭代法（第 2 章后半/后续课程）。
• 数值守则：小数不放分母、相近数不相减、能少算就少算。

七、课堂口述与标准术语对照（节选）