第 2 讲（09-09）：有效数字、精度技巧与范数

课堂实录精编。前半节复习并深化第 1 讲的误差理论（有效数字、精度保护技巧）， 后半节进入范数理论：向量范数 → 矩阵范数 → 从属范数与相容关系。 对应本书 1.2 误差知识与算法知识、1.3 向量范数与矩阵范数；原书 1.2–1.3 节。 本讲投影全程停留在签到页面，内容全部为黑板板书 + 口述。 对应学习目标：K1.3、K1.4、K1.6 · S1.1、S1.2、S1.3、S1.6（目标清单）。

课堂时间线

下面按课堂时间顺序展开：先复习误差理论与有效数字，归纳四条精度保护技巧，再从距离引出向量范数，经范数等价性过渡到矩阵范数与从属范数，最后证明相容关系与乘积不等式。

一、有效数字（板书：数轴半单位区间图示）

定义：若近似数 $a$ 的绝对误差限不超过其某一位的半个单位，则从最高位第一个 非零数字起到该位为止，所有数字都是有效数字 (significant digits)。

例 1（有效数字判定） 近似值 $a=3.1579$（板书原记号为 $x^*$，即正文中的 $a$）。

• 误差限为 $0.0004$ 时，浮动区间 $[3.1575,,3.1583]$ 落在 $3.158$ 的半单位区间 $[3.1575,,3.1585]$ 内 ⟹ 有 4 位有效数字，记作 $3.158$；
• 误差限增大到 $0.0008$ 时，区间 $[3.1571,,3.1587]$ 已超出该半单位区间 （可能读成 3.157、3.158 或 3.159）， 千分位失效，退到百分位：区间含于 $[3.155,,3.165]$ ⟹ 只剩 3 位有效数字，记作 $3.16$。

例 2（有效数字相加） $A=2.14$、$B=3.15$ 都是百分位近似数（$\varepsilon_A=\varepsilon_B=0.005$）。

$$A+B\approx 5.29,\qquad \varepsilon_{A+B}=0.005+0.005=0.01 .$$

百分位的半单位 $0.005<0.01$，不够；十分位的半单位 $0.05\ge 0.01$，够 ⟹ $A+B=5.3$，只剩 2 位有效数字。结论：已知误差限，即可分析任意四则混合运算的误差。

二、精度保护技巧（本讲口诀）

1. 大数吃小数：机器把参加运算的数按同一科学计数法对阶后再计算，大小悬殊时，小数被截掉。 连加 $1+2+\cdots+N$ 必须从小加到大（若从大数端加，部分和迅速变大，后面的小数被吃掉）。

2. 相近大数相减：改写算式，消去相近大数之间的减法。

3. 小根用韦达定理：解 $x^2+10^4x-0.01=0$（板书原题），

   $$x=\frac{-10^4\pm\sqrt{10^8+0.04}}{2}.$$

   低精度机器算 $\sqrt{10^8+0.04}$ 时，$0.04$ 被截断，平方根仍算成 $10^4$，于是 $x_1=-10^4$（尚准）、$x_2=0$（真值约 $10^{-6}$，完全丢失）。 正确做法：先算大根 $x_1\approx-10^4$（相对误差小），再由韦达定理 $x_2=\dfrac{-0.01}{x_1}$（两根之积 $c/a=-0.01$），小根的相对误差可控。 （同一例在正文 1.2.4 原则 (2) 中两根编号相反——那里 $x_1$ 记小根；对照阅读时以「大根/小根」称呼为准。）

4. 小数不放分母 / 避免大数除以小数：$\varepsilon(a/b)=\dfrac{|a|\varepsilon_b+|b|\varepsilon_a}{b^2}$， $b$ 极小时相对误差爆炸。

三、向量范数 (vector norm)

动机：为了度量“两个向量的差别“，范数就是距离/长度的推广—— “不要被这个词吓住，它实际上就是距离/长度”。

定义（三公理） $|\cdot|:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 满足：

1. 正定性 (positive definiteness)：$|x|\ge 0$，且 $|x|=0\iff x=0$；
2. 齐次性 (homogeneity)：$|kx|=|k|,|x|$；
3. 三角不等式 (triangle inequality)：$|x+y|\le|x|+|y|$。

常用向量范数：

$$|x|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|\quad(\text{各分量绝对值之和}),\qquad |x|_2=\Big(\sum_{i=1}^n x_i^2\Big)^{1/2}\quad(\text{欧氏距离}),\qquad |x|_p=\Big(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\Big)^{1/p}\ (p\ge1) .$$

1-范数验证三公理（课堂完整演算）：正定性显然；齐次性 $\sum|kx_i|=|k|\sum|x_i|$；三角不等式则对每个分量用 $|x_i+y_i|\le|x_i|+|y_i|$ 再求和。故得名“一范数/一距离/一长度“。

范数等价性 (equivalence)：对任意两种范数 $p,q$，存在与 $x$ 无关的常数 $a_{pq},b_{pq}>0$，使

$$a_{pq}|x|_p\le|x|_q\le b_{pq}|x|_p .$$

直观：用一米尺和用两米尺去量同一个物体，结果只差一个常数倍。有限维成立，无限维不成立。 老师点评：“换个距离，这事就简单”——死磕欧氏距离，很多问题解决不了； 换一种范数，是数值分析的常用手段。

四、矩阵范数 (matrix norm) 与从属范数

动机：最终目标是度量两个矩阵之间的差异（为求逆、迭代法、误差分析做铺垫）。

定义（矩阵范数，完整四条公理见正文 定义 1.3.2）：

1. $|A|\ge0$，$|A|=0\iff A=0$；
2. $|kA|=|k|,|A|$；
3. $|A+B|\le|A|+|B|$；
4. （次可乘性）$|AB|\le|A|,|B|$——对从属范数这是可证的定理（本讲末尾证明）， 对一般矩阵范数则作为公理要求；四公理的完整表述见正文 1.3.3 节。

从属范数 / 算子范数 (subordinate / operator norm)：给定一个向量范数，定义如下：

$$|A|=\max_{|x|=1}|Ax| .$$

分子分母必须用同一个向量范数：向量取几范数，诱导出的就是矩阵的几范数。

几何意义（板书）：$|x|=1$ 的点集是封闭曲面——2-范数是球面，1-范数（三维）是 正八面体，∞-范数是立方体（盒子）。矩阵 $A$ 的作用是旋转加伸缩，封闭曲面仍映为 封闭曲面；该曲面上必有离原点最远的点，故 max 可达且有限。

公理验证要点（板书）：$|A|=0$ ⟹ 所有单位向量被 $A$ 作用为零 ⟹ 任意向量 （缩放成单位向量后）作用也为零 ⟹ $A=0$；三角不等式则用两次向量三角不等式： $|(A+B)x|\le|Ax|+|Bx|\le\max|Ax|+\max|Bx|$。

五、相容关系（本讲最重要的定理）

定理（相容/适配）：由向量范数 $|\cdot|$ 诱导的矩阵范数满足

$$\boxed{;|Ax|\le|A|,|x|;}$$

证明：$x\ne0$ 时 $x/|x|$ 是单位向量，由齐次性

$$|Ax|=|x|\cdot\Big|A\frac{x}{|x|}\Big| \le|x|\cdot\max_{|z|=1}|Az|=|A|,|x|. \qquad\blacksquare$$

老师强调：“这个关系后面会经常用。”（第 3 讲的 $|A|<1\Rightarrow I\pm A$ 可逆、 第 4 讲的迭代法收敛定理都要靠它。）

乘积不等式：$|AB|\le|A|,|B|$。证明思路：对单位向量 $x$，

$$|ABx|=|A(Bx)|\le|A|,|Bx|\le|A|,|B|,|x|,$$

再对单位向量取 max 即得（本讲证明在下课铃中收尾）。

六、老师强调

• 范数就是距离/长度；公理想不通时，就对照欧氏距离去直观理解（长度非负、乘 2 倍翻倍、三角形两边之和大于第三边）。
• 引入一堆向量范数是“为了造矩阵范数“；矩阵范数才是后面求解线性方程组的工具。
• 从属范数定义中分子分母范数必须同一种。
• 相容关系与乘积不等式是后续一切收敛性分析的基石。
• 范数等价性只在有限维空间成立。

七、课堂口述与标准术语对照（节选）