第 1 讲（09-07）：数值分析对象与误差理论

课堂实录精编。本讲对应本书 1.1 数值分析的研究对象 与 1.2 误差知识与算法知识；原书 1.1–1.2 节。 引例与误差分类部分取自 PPT，四个数值例题全程板书推导。 对应学习目标：K1.1、K1.2、K1.5 · S1.4、S1.5（目标清单）。

课堂时间线

下面按课堂时间顺序展开：先看课程的定位与三个引例，再谈算法评价标准和误差分类，最后是四道板书例题与误差的基本概念。

一、数值分析是做什么的（PPT 原文）

1. 构造求解科学与工程计算问题的数值方法；
2. 在计算机上实现所构造的算法并求得数值解；
3. 对构造的数值方法进行评估（误差、稳定性）。

数值计算基本流程：现实世界（研究对象 + 测量数据）→ 数学模型 → 数值计算方法 → 程序设计 → 上机计算 → 返回验证。三件要紧事：设计算法、编程求解、误差分析。

老师特别提醒：网格加密不一定更准——“有可能网格越密偏得越大”，所以必须对误差有数量级的概念。

二、三个引例（为什么需要数值方法）

引例 1（非线性方程求根） Kepler 方程

$$x-\varepsilon\sin x-t=0,\qquad 0<\varepsilon<1 .$$

这是超越方程，$x$ 隐含在方程中，没有解析解，只能数值求解。

引例 2（插值） 某处海洋不同深度测得水温

我们希望由此合理估计其它深度（500 m、600 m、1000 m…）的水温，也就是由离散采样还原连续趋势。 老师点评：神经网络本质上就是一种更高级的非线性插值。

引例 3（数值积分） 波纹瓦长 48 英寸、波形 $f(x)=\sin(x)/2$，所需铝板长度就是弧长

$$L=\int_0^{48}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2},dx =\int_0^{48}\sqrt{1+\frac{\cos^2 x}{4}},dx,$$

这是第二类椭圆积分，不能表示为初等函数，只能借助无穷级数或数值方法求解。

三、算法评价三要素（PPT：衡量数值算法的几个标准）

• 算得准——数值稳定性（误差是否受控、会不会被逐步放大）与收敛性 （即 $x_{n+1}=f(x_n)$，$n\to\infty$ 时 $x_n\to x^*$）；
• 算得快——计算时间 / 复杂度（例如卷积直接计算需 $O(N^2)$，FFT 把它降到 $O(N\log N)$）；
• 用得省——内存、CPU、硬盘（例如高维张量的 QTT 存储把 $N^D$ 级的存储量降为与 $D$ 成线性）。

三者一般不可兼得；要同时做好，必须对问题本身有深入的理解——用老师的话说：“你多算点，计算机就少算点”。

四、误差的来源与分类（PPT：误差的分类 1/4–4/4）

按计算流程，误差可分为四类：

五、板书例题详解（本讲精华）

例 1　幂级数逐项积分求 $\displaystyle I=\int_0^1 e^{-x^2}dx$

$e^{-x^2}$ 没有初等原函数，于是用麦克劳林公式展开、取前四项（截断到 $-x^6/3!$ 项）：

$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots$$

$$I\approx\int_0^1\Big(1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}\Big)dx =1-\frac13+\frac1{10}-\frac1{42}=\frac{26}{35}\approx 0.7429 .$$

余项估计（拉格朗日型余项）：$R=\displaystyle\int_0^1\frac{e^{-\theta x^2}x^8}{4!},dx$， 由 $0<\theta<1$、$e^{-\theta x^2}\le 1$ 得

$$|R|\le\int_0^1\frac{x^8}{4!},dx=\frac{1}{4!\times 9}=\frac{1}{216}\approx 0.0046 .$$

阶数取得越高，误差就越小——截断误差可以靠提高阶数来控制。

例 2　分部积分构造渐近展开求 $\displaystyle J=\int_5^{\infty}e^{-x^2}dx$

无穷区间上不能再用幂级数逐项积分，改由 $e^{-x^2}dx=-\dfrac{1}{2x},d(e^{-x^2})$ 作分部积分：

$$J=\frac{e^{-25}}{10}-\int_5^{\infty}\frac{e^{-x^2}}{2x^2},dx ,$$

对剩余积分继续分部积分，又分出 $e^{-25}/500$ 等项。每分一次，被积函数就多出一个 $1/(2x^2)$ 型因子而迅速变小；前面各项都能精确计算，余项越来越小，直到满足精度要求。 老师点评：“分析学的问题多一半靠分部积分。”

例 3　递推算法的稳定性：$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+5},dx$

由 $x^n=x^{n-1}(x+5)-5x^{n-1}$ 得递推式与初值：

$$I_n=\frac1n-5I_{n-1},\qquad I_0=\ln\frac65 .$$

设某一步带有舍入误差 $\varepsilon_{n-1}$，两式相减便得到误差的传播规律

$$\varepsilon_n=-5\varepsilon_{n-1}\quad(|5|>1,\ \text{误差逐步放大}\Rightarrow\text{不稳定}) .$$

反解改写为

$$I_{n-1}=\frac{1/n-I_n}{5},\qquad \varepsilon_{n-1}=-\frac15\varepsilon_n \quad(|{-1/5}|<1,\ \text{误差逐步衰减}\Rightarrow\text{稳定}) ,$$

于是从较大的 $n$ 出发（此时 $I_n$ 很小、近似值好），倒推回 $I_1$。 判断标准：只看舍入误差在递推中的放大因子是否超过 1。 课下实验：正向递推斐波那契数列，递推到几十乃至一百多项就会“算飞“。

例 4　大数吃小数：$10^7-1$

计算机先把两数统一成同一种科学计数法，再对尾数运算： $1.0\times 10^7$ 与 $0.0000001\times 10^7$。若机器尾数只保留 5 位， 后者在对阶时就已经被截为 0——减都不用减，结果仍是“一千万“。 结论：不要把大小悬殊的两个数直接相加减。

六、误差的基本概念（板书推导）

设 $x$ 为精确值，$a$ 为其近似值。

绝对误差与绝对误差限：误差 $e=x-a$；若 $|x-a|\le\varepsilon$，则称 $\varepsilon$ 为绝对误差限， 记作 $x=a\pm\varepsilon$（与物理实验写法一致）。

相对误差与相对误差限：

$$e_r=\frac{x-a}{x},\qquad \varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{|x|}\approx\frac{\varepsilon}{|a|} \quad(\text{前提 } |e|\ll|a|) ,$$

理论上，定义式分母用精确值 $|x|$；实际计算中与正文一致，改取 $|a|$——分母用 $x$ 在计算中不可行（见正文 1.2.2 常见错误 2）。

四则运算的误差限（推导思想：把误差当作“微分“处理，略去高阶小量 $e_xe_y$，再用三角不等式）：

$$\varepsilon(x\pm y)=\varepsilon_x+\varepsilon_y,\qquad \varepsilon(xy)\approx|b|\varepsilon_x+|a|\varepsilon_y,\qquad \varepsilon\Big(\frac{x}{y}\Big)\approx\frac{|b|\varepsilon_x+|a|\varepsilon_y}{b^2},$$

其中 $a,b$ 分别是 $x,y$ 的近似值。除法的误差限含 $b^2$——分母小时误差会暴涨， 这直接引出第 2 讲的“小数不放分母“守则。

七、课程信息与老师强调

• 考核：期末闭卷 70%（侧重算法理论与分析）+ 平时 15%（作业、课堂表现、章节自测）+ 综合大作业 15%；课程约两个月结课，考试统一安排在期末。
• 程序大作业：学期末提交，要求用所学算法解决一个问题，可以组队。
• 先修复习：线性代数——特征值、矩阵的秩、矩阵的逆。
• 怎么学：证明是为了帮助理解，不要求背；公式要每步亲手推导，只看 PPT 不行；带着自己课题中的问题来学；对每类问题形成自己的一套程序库。
• 答疑：周一下午沙河图书馆；办公室沙河主楼 E501-5。
• 教材：颜庆津《数值分析》（北航出版社）+ 课程组讲义；参考书特别推荐 Burden & Faires《数值分析》（第 7 版影印）。
• 七章地图：①概述与误差 → ②线性方程组解法 → ③矩阵特征值与特征向量 → ④非线性方程（组）求解 → ⑤函数插值、逼近与正交多项式 → ⑥数值积分 → ⑦数值微分与常微分方程数值解。离散化问题“八成最终变成线性方程组“，所以第 2、3 章是核心。（这是课堂 PPT 的课程划分，属第三套章号；本教程正文里的「第 N 章」指本书路线图的 12 章体系，提到颜庆津原书时一律带「原书」二字，三套编号不要混。）

八、课堂口述与标准术语对照（节选）