第一章 · 真实应用案例：GPS 定位的误差预算

本章讲了三件事：误差怎么分类、怎么传播（1.2），以及怎么用范数与条件数给「放大倍数」一个精确的名字（1.3）。这一页把三件事装进同一个真实系统——卫星定位。选 GPS 有三个理由：它是几十亿人每天都在用的技术；它的误差链条恰好把 1.2 的四类误差走了一遍；而决定定位精度的核心量（几何精度因子 GDOP）本质上就是一个条件数。读完这一页，你会看到第一章的抽象公式如何变成「今天手机定位准不准」的答案。

一、定位方程与线性化

设接收机位置为 $\boldsymbol{p}=(x,y,z)^{\mathrm T}$，钟差为 $d$——它是接收机时钟与系统时的偏差，乘以光速后就是一个未知的距离量。第 $i$ 颗卫星的位置 $\boldsymbol{s}_i$ 已知，测得的伪距为

$$\rho_i=\lVert\boldsymbol{p}-\boldsymbol{s}_i\rVert_2+d+\eta_i\qquad(i=1,2,3,4), \tag{A.1}$$

其中 $\eta_i$ 是测距噪声，来源包括电离层延迟、多径、接收机噪声等。这是一个非线性方程组，要先在近似位置 $\boldsymbol{p}_0$（例如上一次定位结果）处把它线性化：记 $\Delta\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_0$、$\boldsymbol{u}_i=\dfrac{\boldsymbol{p}_0-\boldsymbol{s}_i}{\lVert\boldsymbol{p}_0-\boldsymbol{s}_i\rVert_2}$ 为单位视线向量，则

$$\Delta\rho_i\approx\boldsymbol{u}_i^{\mathrm T}\Delta\boldsymbol{p}+d\qquad\Longrightarrow\qquad G\begin{pmatrix}\Delta\boldsymbol{p}\d\end{pmatrix}=\Delta\boldsymbol{\rho}, \tag{A.2}$$

$$G=\begin{pmatrix}u_{1x}&u_{1y}&u_{1z}&1\u_{2x}&u_{2y}&u_{2z}&1\u_{3x}&u_{3y}&u_{3z}&1\u_{4x}&u_{4y}&u_{4z}&1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times4}. \tag{A.3}$$

$G$ 称为几何矩阵：前三列记录四颗卫星在天空中的方向，最后一列全为 $1$，对应钟差。于是定位问题（A.2）化为一个 4 阶线性方程组，本章的误差传播理论立刻适用：测距误差 $\Delta\boldsymbol{\rho}$ 到定位误差 $(\Delta\boldsymbol{p},d)$ 被放大多少倍，完全由 $G$ 决定。

二、误差链条上的四类误差（对应 1.2.1）

下面用 1.2.1 的四类误差，逐环节清点 GPS 的误差来源：

关键观察： 在实际 GPS 中，$\eta_i$ 主要由观测误差支配（典型 $1\sim5$ m）；这份测距误差最终被放大多少倍，取决于几何矩阵 $G$。这句话正好对应本章两处内容：1.2.3 的「误差 × 放大倍数」框架，以及 1.2.6 对「病态问题」与「不稳定算法」的区分。卫星几何不好属于前者，是问题病态：换接收机、换算法都救不了，只有等几何变好（更好的卫星升起）才行。

三、几何放大倍数：GDOP 就是条件数

由（A.2），

$$\begin{pmatrix}\Delta\boldsymbol{p}\d\end{pmatrix}=G^{-1}\Delta\boldsymbol{\rho}\qquad\Longrightarrow\qquad\left\lVert\begin{pmatrix}\Delta\boldsymbol{p}\d\end{pmatrix}\right\rVert\le\lVert G^{-1}\rVert,\lVert\Delta\boldsymbol{\rho}\rVert .$$

注意这个界里没有 $\lVert G\rVert$ 因子：右端扰动的「分母」由伪距本身固定，完整讨论见 2.4。GPS 文献定义的几何精度因子（geometric dilution of precision）正是

$$\mathrm{GDOP}=\sqrt{\operatorname{tr}!\bigl[(G^{\mathrm T}G)^{-1}\bigr]} . \tag{A.4}$$

GDOP 把位置 3 个分量与钟差的误差按平方和合成，是 $\lVert G^{-1}\rVert$ 的一种（Frobenius 型）度量。工程上还常把它拆成分量使用：$\mathrm{PDOP}$（位置部分）、$\mathrm{TDOP}$（时间部分）。GDOP 越大，同样的测距误差造成的定位误差就越大——它和 2.4 的条件数 $\mathrm{cond}(A)$ 是同一个思想的两个工程名称。

四、误差预算：把数字算出来

取典型测距误差 $\sigma_\rho=5$ m（未校正电离层时的量级）。按上面的关系，位置误差（1σ）约为 $\mathrm{GDOP}\times\sigma_\rho$：

这就是「GPS 有时精确到几米、有时偏出几十米」的第一个原因。第二个原因是这个 $5$ m 本身也不是常数：单频接收机不开电离层模型时，测距误差可达 $5\sim10$ m；改用双频接收机则可以把它压到分米级。两个因子相乘——第一章的全部误差公式，最终就落地成这一个乘积。

import numpy as np
R = 26560e3                                    # GPS 轨道半径（m），用于还原卫星位置
def Gmat(pairs, R=R):
    S = np.array([[np.cos(np.radians(e))*np.sin(np.radians(a)),
                   np.cos(np.radians(e))*np.cos(np.radians(a)),
                   np.sin(np.radians(e))] for a, e in pairs]) * R
    U = -S / np.linalg.norm(S, axis=1)[:, None]   # 单位视线向量
    return np.hstack([U, np.ones((4, 1))])        # 末列是钟差
def report(pairs, name):
    G = Gmat(pairs)
    Q = np.linalg.inv(G.T @ G)
    gdop = np.sqrt(np.trace(Q))
    print(f"{name}: cond2(G)={np.linalg.cond(G):6.3f}  GDOP={gdop:6.3f}  "
          f"σ=5m → 定位误差 {gdop*5:5.2f} m")
report([(0,90),(120,10),(240,10),(0,10)],      "好几何")
report([(0,60),(120,60),(240,60),(0,80)],      "差几何（聚顶）")

好几何: cond2(G)= 3.249  GDOP= 1.965  σ=5m → 定位误差  9.82 m
差几何（聚顶）: cond2(G)=36.112  GDOP=13.634  σ=5m → 定位误差 68.17 m

五、历史教训：误差失控的两个真实事故

第一章反复强调「误差是公式与算法的属性」；下面两起真实事故，就是这句话最沉重的注脚——它们与 GPS 无关，却分别踩中了本章的两个主题：误差累积与浮点范围。

六、这一页用到了第一章的什么