综合自测卷 · 补充篇（100 分 · 建议 100 分钟）

本页属“补充篇 · 数值线性代数工具箱”，不是课堂第 2 章；课堂第 2 章见线性方程组的解法。

闭卷、计时、独立完成——查书或看解答做出来的分数没有意义。做完先按文末评分标准自评，再按漏点定位表回查。范围：第二章 2.1–2.8 与数值实验。本卷题目全部为新增（与习题集、考场模拟卷不重叠），覆盖同样的知识点。

时间分配建议：第一部分 $22$ 分钟（每题约 $2$ 分钟，写「判断 + 一句话理由」）→ 第二部分 $18$ 分钟 → 第三部分 $42$ 分钟（每题约 $14$ 分钟，手算题宁慢勿跳步）→ 第四部分 $16$ 分钟（每题约 $8$ 分钟，写清四件套）→ 留最后 $2$ 分钟检查第一部分有没有只写对错的题。

阅卷口径（先读，能省不少分）

判断必须带机制词：写「错」不给分，写「错，因为范数为 $1$ 只保证『标准』，正交要逐个验证内积」才拿满。常用机制词：平行四边形恒等式、列满秩、cond 平方、正交性损失量级、对称 + 幂等、截断阈值。
公式要说前提：正态方程要写「 $A$ 列满秩」；QR 唯一要写「 $R$ 对角元全为正」；系数扰动界要写「 $\mathrm{cond}\cdot\rho_A\lt1$ 」。
手算题先摆中间量、报误差要注明范数： $A^{\mathrm T}A$ 、 $Q^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 、残差、 $\lVert\cdot\rVert$ 都要落在卷面上（只给最终答案最多得 $3$ 分）；「能信几位」要说清是 $u$ 还是 $\mathrm{cond}\cdot u$ 量级。
开放题四件套：方案 / 理由 / 失败判据 / 验证计划，缺一项扣 $2$ 分（第四部分每题 $10$ 分）。

第一部分 · 概念判断（10 题 × 3 分 = 30 分）

判断对错，并给出一句话理由或反例。只写「对 / 错」不得分。

1. 若 $\mathbb R^3$ 中三个向量两两不同、范数都为 $1$ ，则它们构成 $\mathbb R^3$ 的一组标准正交基。

解答

1. 错。 范数为 $1$ 只保证「标准」，「正交」必须逐个验证两两内积为零。教材例 2.1.3 的 $\boldsymbol r$ 组三个向量范数全对，但 $\boldsymbol r_2^{\mathrm T}\boldsymbol r_3=-2/\sqrt{18}\neq0$ ——此时坐标公式与 Parseval 同时静默失效（2.1.4 错误 1）。

2. 向量 $\lVert\cdot\rVert_1$ 满足平行四边形恒等式，因此可以用它定义正交、投影与 SVD。

解答

2. 错。 平行四边形恒等式恰好不成立：取 $\boldsymbol x=(1,0)^{\mathrm T}$ 、 $\boldsymbol y=(0,1)^{\mathrm T}$ ， $\lVert\boldsymbol x+\boldsymbol y\rVert_1^2+\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rVert_1^2=8\neq4=2\lVert\boldsymbol x\rVert_1^2+2\lVert\boldsymbol y\rVert_1^2$ ，故 $\lVert\cdot\rVert_1$ 不来自任何内积，没有正交 / 投影 / SVD 这套结构（例 2.1.2、定理 2.1.2）。

3. 设 $A\in\mathbb R^{m\times n}$ 、 $\operatorname{rank}A=r$ ，则 $\dim C(A)=\dim C(A^{\mathrm T})=r$ ，且 $\dim N(A)=n-r$ 、 $\dim N(A^{\mathrm T})=m-r$ 。

解答

3. 对。 这就是秩定理（行秩＝列秩）与两个维数公式： $\dim C(A)=\dim C(A^{\mathrm T})=r$ 、 $\dim N(A)=n-r$ 、 $\dim N(A^{\mathrm T})=m-r$ （定理 2.2.1）。给分：判断 $1$ 分，写出 $r$ 与两个 $n-r,m-r$ 得 $2$ 分。

4. 设长方阵 $Q\in\mathbb R^{m\times n}$ （ $m\gt n$ ）满足 $Q^{\mathrm T}Q=I_n$ ，则必有 $QQ^{\mathrm T}=I_m$ 。

解答

4. 错。 $Q^{\mathrm T}Q=I_n$ 只说明列标准正交； $QQ^{\mathrm T}$ 是 $\mathbb R^m$ 上到 $C(Q)$ 的投影矩阵， $\operatorname{tr}(QQ^{\mathrm T})=n\lt m$ ，故 $QQ^{\mathrm T}\neq I_m$ 。「逆等于转置」只对方阵成立（定理 2.2.5、2.1.4 错误 4）。

5. 实矩阵 $P$ 满足 $P^2=P$ ，则 $P$ 是某个子空间上的正交投影矩阵。

解答

5. 错。 正交投影要求对称 + 幂等；只幂等的是斜投影，其余项不垂直于子空间。反例 $S=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ ： $S^2=S$ 但 $S^{\mathrm T}\neq S$ （2.2.6 错误 5）。

6. 最小二乘解总是存在；当 $A$ 列满秩时它唯一，并可由正态方程 $A^{\mathrm T}A\boldsymbol x=A^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 解出。

解答

6. 对。 存在性： $\boldsymbol{b}$ 总可正交分解为 $\boldsymbol p\in C(A)$ 与 $\boldsymbol e\in N(A^{\mathrm T})$ ， $\boldsymbol p$ 的原像即最小二乘解；唯一性等价于 $A$ 列满秩（此时 $A^{\mathrm T}A$ 非奇异）；正态方程正是 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ 的代数写法（定理 2.2.6）。

7. 经典 Gram–Schmidt（CGS）与修正 Gram–Schmidt（MGS）数学上等价，因此浮点下算出的 $Q,R$ 也相同。

解答

7. 错。 精确算术下两者结果相同，浮点下差一个 $\mathrm{cond}$ ：CGS 的正交性损失是 $\mathrm{cond}^2u$ 、MGS 是 $\mathrm{cond}\,u$ 。实测 $n=16$ 时 CGS 的 $\lVert Q^{\mathrm T}Q-I\rVert_2=6.55$ （完全不正交），MGS 为 $4.7\times10^{-4}$ ，Householder 为 $3.0\times10^{-15}$ （2.3.3 实测表）。

8. 对任意非奇异方阵 $A,B$ 与任意矩阵范数，都有 $\mathrm{cond}(AB)=\mathrm{cond}(A)\mathrm{cond}(B)$ ，且 $\mathrm{cond}(A)\ge1$ 。

解答

8. 错（两处都不严谨）。 ① 次可乘性只给出 $\mathrm{cond}(AB)\le\mathrm{cond}(A)\mathrm{cond}(B)$ ，一般不是等式（ $A=\mathrm{diag}(1,10)$ 、 $B=\mathrm{diag}(10,1)$ 时 $AB=I$ 、左端 $=1$ 、右端 $=100$ ）。② $\mathrm{cond}(A)\ge1$ 需要 $\lVert I\rVert=1$ ，即算子范数；F-范数下只有 $\mathrm{cond}_F\ge\sqrt n$ （定理 2.4.1）。

9. 求解器报告的残差很小（例如 $\lVert\boldsymbol r\rVert_2/\lVert\boldsymbol b\rVert_2\approx10^{-14}$ ）就说明解的前向误差也很小。

解答

9. 错。 残差与误差之间隔着条件数： $\boldsymbol e=A^{-1}\boldsymbol r$ ，故 $\dfrac{\lVert\boldsymbol e\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\mathrm{cond}(A)\dfrac{\lVert\boldsymbol r\rVert}{\lVert\boldsymbol b\rVert}$ 。教材实测：残差相对量 $2.5\times10^{-12}$ 、相对误差 $50\%$ 。求解器能保证的是残差（后向误差），用户要的是误差（前向误差）（定理 2.4.4、例 2.4.4）。

10. (a) 对任何实方阵都有 $\sigma_i(A)=\lvert\lambda_i(A)\rvert$ ；(b) 对任何矩阵都有 $\rho(A)\le\lVert A\rVert_2$ 。

解答

10. (a) 错、(b) 对。 (a) 奇异值总非负、共 $\min(m,n)$ 个，特征值可负可复；反例 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ： $\lambda_i=0$ 而 $\sigma_1=1$ 。(b) 对：取特征向量 $\boldsymbol v$ 得 $\lvert\lambda\rvert\lVert\boldsymbol v\rVert=\lVert A\boldsymbol v\rVert\le\lVert A\rVert_2\lVert\boldsymbol v\rVert$ ，取最大即得 $\rho\le\lVert A\rVert_2$ （2.5.1 三者关系框）。给分：(a)(b) 各 $1.5$ 分。

第二部分 · 填空与简答（5 题 × 4 分 = 20 分）

11. 判断 $\boldsymbol r_1=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\1\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol r_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\-1\0\end{pmatrix},\quad \boldsymbol r_3=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}1\1\-2\end{pmatrix}$ 是否为 $\mathbb R^3$ 的标准正交基；若是，写出 $\boldsymbol x=(1,2,3)^{\mathrm T}$ 在这组基下的坐标，并核对 Parseval 恒等式。

解答

11. 是标准正交基。 逐个验证（这是唯一正确的流程）： $\boldsymbol r_1^{\mathrm T}\boldsymbol r_2=\frac{1-1+0}{\sqrt6}=0,\quad \boldsymbol r_1^{\mathrm T}\boldsymbol r_3=\frac{1+1-2}{\sqrt{18}}=0,\quad \boldsymbol r_2^{\mathrm T}\boldsymbol r_3=\frac{1-1+0}{\sqrt{12}}=0,$ 范数： $\lVert\boldsymbol r_1\rVert^2=\frac{1+1+1}{3}=1$ 、 $\lVert\boldsymbol r_2\rVert^2=\frac{1+1}{2}=1$ 、 $\lVert\boldsymbol r_3\rVert^2=\frac{1+1+4}{6}=1$ ；三个两两正交的非零向量线性无关（定理 2.1.3），故是标准正交基。坐标（内积即可）： $\alpha_1=\boldsymbol r_1^{\mathrm T}\boldsymbol x=\frac{1+2+3}{\sqrt3}=2\sqrt3$ 、 $\alpha_2=\boldsymbol r_2^{\mathrm T}\boldsymbol x=\frac{1-2+0}{\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}$ 、 $\alpha_3=\boldsymbol r_3^{\mathrm T}\boldsymbol x=\frac{1+2-6}{\sqrt6}=-\frac{\sqrt6}{2}$ 。 Parseval 核对： $12+\frac12+\frac32=14=\lVert\boldsymbol x\rVert_2^2=1+4+9$ ✓。给分：正交性核实 $2$ 分（漏查任一对扣 $1$ ）、坐标 $1$ 分、Parseval $1$ 分。

12. 用 Givens 旋转把 $\boldsymbol x=(5,-12)^{\mathrm T}$ 化为 $(r,0)^{\mathrm T}$ ：写出 $r$ 、 $c$ 、 $s$ 与旋转矩阵 $G$ ，验证 $G\boldsymbol x=(r,0)^{\mathrm T}$ ，并说明计算 $r$ 时为什么必须用 hypot。

解答

12. $r=\sqrt{5^2+(-12)^2}=13$ ， $c=\dfrac{x_1}{r}=\dfrac{5}{13}$ ， $s=\dfrac{x_2}{r}=-\dfrac{12}{13}$ ， $G=\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5/13&-12/13\\12/13&5/13\end{pmatrix}.$ 验证： $G\boldsymbol x=\Bigl(\frac{25+144}{13},\ \frac{60-60}{13}\Bigr)^{\mathrm T}=(13,0)^{\mathrm T}$ ✓； $c^2+s^2=\frac{25+144}{169}=1$ 故 $G$ 正交、 $\det G=1$ （保定向，与 Householder 的 $-1$ 相反）。 为什么用 hypot：直接算 $x_1^2+x_2^2$ 在分量接近 $10^{154}$ 时上溢、接近 $10^{-160}$ 时下溢成零；hypot 先按量级缩放再开方（定理 2.3.4 后的注、2.3.5）。给分： $r,c,s,G$ 各 $0.5$ 分、验证 $1$ 分、hypot 理由 $1$ 分。

13. 对 $A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$ 、初值 $\boldsymbol x_0=(1,0)^{\mathrm T}$ ：做一步幂法（先乘 $A$ 、再单位化），写出 $\boldsymbol x_1$ ，并用 Rayleigh 商给出 $\lambda_1$ 的估计；与真主特征值比较，指出理论误差量级 $\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^2$ 是多少。

解答

13. $\boldsymbol y=A\boldsymbol x_0=(2,1)^{\mathrm T}$ ， $\lVert\boldsymbol y\rVert_2=\sqrt5$ ，故 $\boldsymbol x_1=\dfrac{1}{\sqrt5}(2,1)^{\mathrm T}$ 。 $A\boldsymbol x_1=\dfrac{1}{\sqrt5}(5,4)^{\mathrm T}$ ， $R(\boldsymbol x_1)=\boldsymbol x_1^{\mathrm T}A\boldsymbol x_1=\frac{2\times5+1\times4}{5}=\frac{14}{5}=2.8 .$ 真特征值 $\lambda=1,3$ ，故 $\lambda_1=3$ ，估计误差 $0.2$ 。理论量级： $\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert=1/3$ ，Rayleigh 商误差 $O((1/3)^2)\approx0.11$ ——与实测 $0.2$ 同量级（若改用 $\lVert A\boldsymbol x\rVert/\lVert\boldsymbol x\rVert$ 一阶估计，误差量级是 $1/3\approx0.33$ ，同样精度要多花一倍步数）（定理 2.5.3）。给分： $\boldsymbol x_1$ $1.5$ 分、Rayleigh 商 $1.5$ 分、量级说明 $1$ 分。

14. 对 $A=\begin{pmatrix}9&1&2\0&4&1\1&0&3\end{pmatrix}$ 写出全部 Gerschgorin 行圆盘与列圆盘，给出由两个并集取交集得到的最紧围栏，并说明为什么 $A$ 非奇异。

解答

14. 行圆盘（第 $i$ 行非对角绝对值和为半径）：

$i$	中心 $a_{ii}$	半径 $r_i$	区间
1	$9$	$\lvert1\rvert+\lvert2\rvert=3$	$[6,12]$
2	$4$	$0+1=1$	$[3,5]$
3	$3$	$1+0=1$	$[2,4]$

列圆盘（半径换成该列非对角绝对值和）：第 $1$ 列 $0+1=1\Rightarrow[8,10]$ ；第 $2$ 列 $1+0=1\Rightarrow[3,5]$ ；第 $3$ 列 $2+1=3\Rightarrow[0,6]$ 。 最紧围栏：行并集 $=[2,12]$ ，列并集 $=[0,10]$ ，取交集得 $\sigma(A)\subseteq[2,12]\cap[0,10]=[2,10].$ 结构信息：行圆盘里 $[6,12]$ 与其余两个不相交，故其中恰含 $1$ 个特征值； $[3,5]$ 与 $[2,4]$ 连通，该连通区恰含 $2$ 个特征值（定理 2.5.2 包含性与连通性条款）。 非奇异： $A$ 严格对角占优（ $9\gt3$ 、 $4\gt1$ 、 $3\gt1$ ），故 $0$ 不属于任何圆盘、 $A$ 可逆（数值核对：特征值 $\approx9.3447,\ 3.8424,\ 2.8129$ ，全部落在 $[2,10]$ 内 ✓）。给分：行圆盘 $1.5$ 分、列圆盘 $1$ 分、交集 $0.5$ 分、非奇异依据 $1$ 分。

15. 某对称正定矩阵在 2-范数下 $\mathrm{cond}_2(A)=4\times10^9$ ，双精度下 $u\approx1.1\times10^{-16}$ ： (1) 解 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 时大约丢几位有效数字、还剩几位（按双精度约有 $16$ 位计）？ (2) 若把同一问题改写成最小二乘并用正态方程求解，等效问题的条件数变成多少、还剩几位？（提示： $\mathrm{cond}(A^{\mathrm T}A)=\mathrm{cond}(A)^2$ 。） (3) 条件数大到什么量级时，双精度任何算法都救不了？

解答

15. (1) 丢失位数 $k\approx\log_{10}\mathrm{cond}=9.6\approx10$ 位，双精度下只剩约 6 位（ $\mathrm{cond}\cdot u\approx4\times10^{-7}$ ）。 (2) 正态方程显式形成 $A^{\mathrm T}A$ ，条件数被平方： $\mathrm{cond}(A^{\mathrm T}A)=1.6\times10^{19}$ ， $k\approx19.2\gt16$ ——有效数字全部丢光，结果不可用（实证： $\mathrm{cond}=6\times10^{10}$ 时正态方程误差 $28$ ，真值 $1$ ）。 (3) $\mathrm{cond}\gtrsim10^{16}=u^{-1}$ 时，任何双精度算法都救不了（只能重述问题、正则化或提高精度）。顺带记住分水岭： $\mathrm{cond}\gtrsim10^{8}=u^{-1/2}$ 时就必须弃用正态方程改用 QR / SVD（定理 2.3.5、2.4.2 判据表）。给分：(1) $1.5$ 分；(2) $1.5$ 分；(3) $1$ 分。

第三部分 · 推导计算（3 题 × 10 分 = 30 分）

16.（10 分） 设 $A=\begin{pmatrix}1&1&2&1\1&2&3&0\1&3&4&-1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\1\0\end{pmatrix}.$

(1) 求 $r$ 与四个基本子空间的一组基（列空间的基必须取 $A$ 的原始列），并核对两对正交补（基对基核对即可）； (2) 记 $A_2$ 为 $A$ 的前两列，求到 $C(A_2)=C(A)$ 上的正交投影矩阵 $P$ ，并验证 $P^{\mathrm T}=P$ 、 $P^2=P$ 、 $\operatorname{tr}P=\operatorname{rank}A$ ； (3) 求 $\boldsymbol b$ 在 $C(A)$ 上的正交投影、相应的最小二乘解 $\hat{\boldsymbol x}$ 、残差 $\boldsymbol r$ 与 $\lVert\boldsymbol r\rVert_2$ ，并核对 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ 。

第 16 题答案与评分要点

(1) 行关系： $r_3=2r_2-r_1$ （核对： $2(1,2,3,0)-(1,1,2,1)=(1,3,4,-1)$ ✓），故 $\operatorname{rank}A=r=2$ 。

子空间	维数	一组基	取法
$C(A)\subseteq\mathbb R^3$	$2$	$(1,1,1)^{\mathrm T},\ (1,2,3)^{\mathrm T}$	主元列（第 $1,2$ 列）的原始列
$N(A^{\mathrm T})\subseteq\mathbb R^3$	$1$	$(1,-2,1)^{\mathrm T}$	行关系 $r_1-2r_2+r_3=\boldsymbol 0$
$C(A^{\mathrm T})\subseteq\mathbb R^4$	$2$	$(1,1,2,1)^{\mathrm T},\ (1,2,3,0)^{\mathrm T}$	原始前两行（化简后的非零行亦可）
$N(A)\subseteq\mathbb R^4$	$2$	$(-1,-1,1,0)^{\mathrm T},\ (-2,1,0,1)^{\mathrm T}$	解 $x_1+x_3+2x_4=0$ 、 $x_2+x_3-x_4=0$

正交性核对（ $C(A^{\mathrm T})=N(A)^{\perp}$ ）： $(-1,-1,1,0)\cdot(1,1,2,1)=-1-1+2=0$ ✓； $(-1,-1,1,0)\cdot(1,2,3,0)=-1-2+3=0$ ✓； $(-2,1,0,1)\cdot(1,1,2,1)=-2+1+1=0$ ✓； $(-2,1,0,1)\cdot(1,2,3,0)=-2+2=0$ ✓。 （ $C(A)=N(A^{\mathrm T})^{\perp}$ ）： $(1,-2,1)\cdot(1,1,1)=0$ ✓； $(1,-2,1)\cdot(1,2,3)=1-4+3=0$ ✓。

(2) $A_2=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix}$ ， $A_2^{\mathrm T}A_2=\begin{pmatrix}3&6\\6&14\end{pmatrix},\qquad (A_2^{\mathrm T}A_2)^{-1}=\frac16\begin{pmatrix}14&-6\\-6&3\end{pmatrix},$ $P=A_2(A_2^{\mathrm T}A_2)^{-1}A_2^{\mathrm T}=\frac16\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}.$ 验证： $P^{\mathrm T}=P$ ✓（矩阵对称）； $P^2=\frac1{36}\begin{pmatrix}30&12&-6\\12&12&12\\-6&12&30\end{pmatrix}=\frac16\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}=P$ ✓； $\operatorname{tr}P=\frac{5+2+5}{6}=2=\operatorname{rank}A$ ✓（另外 $\lVert P\rVert_2=1$ ，特征值为 $1,1,0$ ）。

(3) $\boldsymbol p=P\boldsymbol b=\frac16\begin{pmatrix}5+2\\2+2\\-1+2\end{pmatrix}=\Bigl(\frac76,\ \frac23,\ \frac16\Bigr)^{\mathrm T}.$ 最小二乘解由 $(A_2^{\mathrm T}A_2)\hat{\boldsymbol x}=A_2^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 给出， $A_2^{\mathrm T}\boldsymbol b=(2,3)^{\mathrm T}$ ： $\hat{\boldsymbol x}=\frac16\begin{pmatrix}14&-6\\-6&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\frac16\begin{pmatrix}10\\-3\end{pmatrix}=\Bigl(\frac53,\ -\frac12\Bigr)^{\mathrm T},\qquad A_2\hat{\boldsymbol x}=\Bigl(\frac76,\frac23,\frac16\Bigr)^{\mathrm T}=\boldsymbol p\ \checkmark$ $\boldsymbol r=\boldsymbol b-\boldsymbol p=\Bigl(-\frac16,\ \frac13,\ -\frac16\Bigr)^{\mathrm T},\qquad \lVert\boldsymbol r\rVert_2=\sqrt{\frac1{36}+\frac19+\frac1{36}}=\frac{1}{\sqrt6}\approx0.4082 .$ 核对 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ ： $A_2^{\mathrm T}\boldsymbol r=\Bigl(-\frac16+\frac13-\frac16,\ -\frac16+\frac23-\frac12\Bigr)^{\mathrm T}=(0,0)^{\mathrm T}$ ✓（另外两列由前两列线性组合而来，故同样为零）。勾股核对： $\lVert\boldsymbol p\rVert^2=\frac{11}{6}$ 、 $\lVert\boldsymbol r\rVert^2=\frac16$ 、和 $=2=\lVert\boldsymbol b\rVert^2$ ✓。

评分：(1) $4$ 分（ $r$ $0.5$ ；四个基各 $0.5$ ；两对正交性核对 $1.5$ ）；(2) $3$ 分（ $A_2^{\mathrm T}A_2$ 与逆 $1$ 、 $P$ $1.5$ 、三条性质 $0.5$ ）；(3) $3$ 分（ $\boldsymbol p$ $0.75$ 、 $\hat{\boldsymbol x}$ $0.75$ 、 $\boldsymbol r,\lVert\boldsymbol r\rVert$ $0.75$ 、 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ 核对 $0.75$ ）。用行变换后的列当列空间基，(1) 该基不得分（行变换不保持列空间）。

17.（10 分） 设 $A=\begin{pmatrix}1&1\1&1\1&0\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}.$

(1) 手算 Gram–Schmidt 正交化，写出 $Q$ （列标准正交）与 $R$ （上三角、对角元为正，保留根号形式）； (2) 用 QR 解最小二乘：写出 $Q^{\mathrm T}\boldsymbol b$ ，回代 $R\hat{\boldsymbol x}=Q^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 求出 $\hat{\boldsymbol x}$ ，再给出投影 $\boldsymbol p=A\hat{\boldsymbol x}$ 、残差 $\boldsymbol r$ 、 $\lVert\boldsymbol r\rVert_2$ ，并核对 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ ； (3) 用正态方程 $A^{\mathrm T}A\boldsymbol x=A^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 重算 $\hat{\boldsymbol x}$ ，与 (2) 对照； (4) 若 $A$ 换成条件数 $\mathrm{cond}(A)\approx6.03\times10^{10}$ 的病态 Vandermonde 设计矩阵（ $m=20,n=15$ ，相容右端），说明两条路线的误差量级与数字，并指出「何时必须弃用正态方程」。

第 17 题答案与评分要点

(1) 第一列 $\boldsymbol a_1=(1,1,1)^{\mathrm T}$ ： $\lVert\boldsymbol a_1\rVert=\sqrt3$ ，故 $r_{11}=\sqrt3,\qquad \boldsymbol q_1=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^{\mathrm T}.$ 第二列 $\boldsymbol a_2=(1,1,0)^{\mathrm T}$ ： $r_{12}=\boldsymbol q_1^{\mathrm T}\boldsymbol a_2=\dfrac{1+1+0}{\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3}$ ， $\boldsymbol v=\boldsymbol a_2-r_{12}\boldsymbol q_1=(1,1,0)^{\mathrm T}-\frac23(1,1,1)^{\mathrm T}=\Bigl(\frac13,\frac13,-\frac23\Bigr)^{\mathrm T},$ $\lVert\boldsymbol v\rVert=\sqrt{\tfrac19+\tfrac19+\tfrac49}=\frac{\sqrt6}{3}=:r_{22},\qquad \boldsymbol q_2=\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)^{\mathrm T}.$ $Q=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt6}\\[2pt]\frac{1}{\sqrt3}&\frac{1}{\sqrt6}\\[2pt]\frac{1}{\sqrt3}&-\frac{2}{\sqrt6}\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\sqrt3&\frac{2}{\sqrt3}\\[4pt]0&\frac{\sqrt6}{3}\end{pmatrix}.$

(2) $Q^{\mathrm T}\boldsymbol b=\Bigl(\dfrac{1}{\sqrt3},\ \dfrac{1}{\sqrt6}\Bigr)^{\mathrm T}$ 。回代： $\frac{\sqrt6}{3}x_2=\frac{1}{\sqrt6}\ \Longrightarrow\ x_2=\frac{1}{\sqrt6}\cdot\frac{3}{\sqrt6}=\frac12;\qquad \sqrt3x_1+\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac12=\frac{1}{\sqrt3}\ \Longrightarrow\ x_1=0 .$ $\hat{\boldsymbol x}=\Bigl(0,\ \frac12\Bigr)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol p=A\hat{\boldsymbol x}=\frac12(1,1,0)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol r=\Bigl(\frac12,-\frac12,0\Bigr)^{\mathrm T},\qquad \lVert\boldsymbol r\rVert_2=\frac{1}{\sqrt2}\approx0.7071 .$ 核对： $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\bigl(\frac12-\frac12+0,\ \frac12-\frac12+0\bigr)^{\mathrm T}=(0,0)^{\mathrm T}$ ✓（且 $\boldsymbol r\perp C(A)$ 、 $\boldsymbol r\in N(A^{\mathrm T})=\operatorname{span}\{(1,-1,0)^{\mathrm T}\}$ ✓）。

(3) $A^{\mathrm T}A=\begin{pmatrix}3&2\\2&2\end{pmatrix}$ （ $\det=2$ ）， $(A^{\mathrm T}A)^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}2&-2\\-2&3\end{pmatrix}$ ， $A^{\mathrm T}\boldsymbol b=(1,1)^{\mathrm T}$ ： $\hat{\boldsymbol x}=\frac12\begin{pmatrix}2&-2\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\Bigl(0,\frac12\Bigr)^{\mathrm T}\ \checkmark$ 两条路线结果完全一致——本例条件数很小（ $\mathrm{cond}_2(A)\approx3.23$ ），差异被舍入掩盖。

(4) 两条路线的误差量级相差一个条件数：

路线	误差量级	代入 $\mathrm{cond}=6.03\times10^{10}$ 、 $u=1.11\times10^{-16}$	教材实测（ $m=20,n=15$ ）
正态方程	$\mathrm{cond}^2u$	$\approx4.0\times10^{5}$	$28$ （真值 $1$ ，完全失效）
QR	$\mathrm{cond}\,u$	$\approx6.7\times10^{-6}$	$2.2\times10^{-6}$ ✓

分水岭： $\mathrm{cond}(A)\gtrsim u^{-1/2}\approx10^{8}$ 时必须弃用正态方程，改用 QR；秩亏或需要判断数值秩时用 SVD（定理 2.3.5、2.3.6 实测表）。

评分：(1) $\boldsymbol q_1,r_{11}$ $1$ 分、 $r_{12}$ 与 $\boldsymbol v$ $1.5$ 分、 $r_{22},\boldsymbol q_2,Q,R$ $1.5$ 分；(2) $Q^{\mathrm T}\boldsymbol b$ $1$ 分、回代求 $\hat{\boldsymbol x}$ $1.5$ 分、 $\boldsymbol p,\boldsymbol r,\lVert\boldsymbol r\rVert$ 与核对 $1.5$ 分；(3) $0.5$ 分（含「两路线一致」的判断）；(4) $1.5$ 分（两个量级 + 分水岭）。忘记 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ 自检，从 (2) 扣 $0.5$ 分。

18.（10 分） 设 $A=\begin{pmatrix}4&0\3&5\end{pmatrix}.$

(1) 求 $A^{\mathrm T}A$ 的特征值与 $A$ 的奇异值 $\sigma_1\ge\sigma_2$ ，写出 $V$ 的两列； (2) 由 $\boldsymbol u_i=A\boldsymbol v_i/\sigma_i$ 求出 $U$ ，并用外积形式核算 $\sigma_1\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^{\mathrm T}+\sigma_2\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^{\mathrm T}=A$ （写出两项各自的结果）； (3) 写出秩 $1$ 截断 $A_1$ ，验证 $\lVert A-A_1\rVert_2=\sigma_2$ 与 $\lVert A-A_1\rVert_F=\sqrt{\sigma_2^2}$ （Eckart–Young）； (4) 由此读出 $\lVert A\rVert_2$ 、 $\lVert A\rVert_F$ 、 $\mathrm{cond}_2(A)$ 、 $\lvert\det A\rvert$ ，并按 $k\approx\log_{10}\mathrm{cond}$ 预测「用双精度解 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 会丢几位有效数字」。

第 18 题答案与评分要点

(1) $A^{\mathrm T}A=\begin{pmatrix}4&3\\0&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&0\\3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25&15\\15&25\end{pmatrix}.$ 特征方程 $(25-\lambda)^2-225=0\Rightarrow 25-\lambda=\pm15$ ，故 $\lambda_1=40,\ \lambda_2=10$ ： $\sigma_1=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx6.3246,\qquad \sigma_2=\sqrt{10}\approx3.1623 .$ 特征向量： $\lambda_1=40$ 时 $-15v_1+15v_2=0\Rightarrow v_1=v_2$ ，取 $\boldsymbol v_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^{\mathrm T}$ ； $\lambda_2=10$ 时 $15v_1+15v_2=0\Rightarrow v_2=-v_1$ ，取 $\boldsymbol v_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^{\mathrm T}$ ， $V=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$ （核对： $V$ 正交、 $\operatorname{tr}(A^{\mathrm T}A)=50=\lambda_1+\lambda_2$ 、 $\det(A^{\mathrm T}A)=400=\lambda_1\lambda_2$ ✓。）

(2) $\boldsymbol u_1=\frac{A\boldsymbol v_1}{\sigma_1}=\frac{1}{2\sqrt{10}}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol u_2=\frac{A\boldsymbol v_2}{\sigma_2}=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix},$ $U=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1&2\\2&-1\end{pmatrix}$ （两列正交、范数 $1$ ，故是正交阵；注意不同库可能给出整体差一个符号的解）。 外积核算： $\sigma_1\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^{\mathrm T}=2\sqrt{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix},$ $\sigma_2\boldsymbol u_2\boldsymbol v_2^{\mathrm T}=\sqrt{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix},$ 两者相加 $=\begin{pmatrix}4&0\\3&5\end{pmatrix}=A$ ✓。

(3) $A_1=\sigma_1\boldsymbol u_1\boldsymbol v_1^{\mathrm T}=\begin{pmatrix}2&2\\4&4\end{pmatrix}$ ，于是 $A-A_1=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}.$ 两条算法都该写出来： ① 由 Eckart–Young 直接读出 $\lVert A-A_1\rVert_2=\sigma_2=\sqrt{10}\approx3.1623$ ；② 独立核对： $A-A_1=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}$ 是秩 $1$ 矩阵，秩 $1$ 矩阵 $\boldsymbol a\boldsymbol b^{\mathrm T}$ 的 2-范数 $=\lVert\boldsymbol a\rVert_2\lVert\boldsymbol b\rVert_2$ ，故 $\lVert A-A_1\rVert_2=\sqrt5\cdot\sqrt2=\sqrt{10}$ ✓ —— 两者一致。Frobenius 版： $\lVert A-A_1\rVert_F=\sqrt{4+4+1+1}=\sqrt{10}=\sqrt{\sigma_2^2}$ ✓（只残留一个非零奇异值）。

(4) $\lVert A\rVert_2=\sigma_1=2\sqrt{10}\approx6.3246,\qquad \lVert A\rVert_F=\sqrt{16+9+25}=\sqrt{50}\approx7.0711=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\ \checkmark$ $\mathrm{cond}_2(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=2,\qquad \lvert\det A\rvert=20=\sigma_1\sigma_2=2\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\ \checkmark$ 丢失位数 $k\approx\log_{10}2\approx0.3$ ，即几乎不丢位数（剩约 $15\sim16$ 位）—— $\mathrm{cond}=2$ 是良态。

评分：(1) $A^{\mathrm T}A$ 与特征值 $1.5$ 分、奇异值 $1$ 分、 $V$ $1$ 分；(2) $U$ $2$ 分（两列各 $1$ ）、外积核算 $1.5$ 分；(3) $A_1$ 与外积 $1$ 分、两条 Eckart–Young 等式 $1$ 分；(4) 四个量与位数预测 $2$ 分。把 $\sigma_i$ 写成 $\lambda_i$ （本题 $\lambda_i$ 指 $A^{\mathrm T}A$ 的 $40,10$ ，或 $A$ 的 $4,5$ ）该小题不得分。

第四部分 · 开放论述（2 题 × 10 分 = 20 分）

19.（10 分） 你拿到一个实测矩阵 $X\in\mathbb R^{2000\times1500}$ （每列一个特征、每行一个样本，含测量噪声），下游任务同时需要压缩存储、去噪、降维三件事。请给出： (1) 技术方案：用哪个工具、给出核心公式与复杂度，并说明为什么不用另外两个候选（列主元 QR、正态方程）； (2) 截断点 $k$ 的确定流程：给出至少三条可操作判据（含阈值怎么取）； (3) 至少三条失败判据（必须可测量）； (4) 验证计划（含与理论对账的项）。

第 19 题参考答案与评分要点

(1) 方案：SVD 截断（np.linalg.svd / 随机化 SVD），核心公式 $X\approx X_k=\sum_{i\le k}\sigma_i\boldsymbol u_i\boldsymbol v_i^{\mathrm T},\qquad \lVert X-X_k\rVert_2=\sigma_{k+1},\qquad \text{存储 }k(m+n)\ \text{个数 vs } mn .$ 复杂度约 $O(mn\min(m,n))$ （ $2000\times1500$ 规模完全可承受；再大就用随机化 SVD）。 为什么不用另外两个：① 列主元 QR 能给出秩估计与一组正交基，但基不按「能量」排序，无法直接给出「最优 $k$ 项截断」——Eckart–Young 保证最优的是截断 SVD；② 正态方程面对的是最小二乘求解问题，而这里要做的是低秩分解，且形成 $X^{\mathrm T}X$ 会把条件数平方、还要额外算 $1500\times1500$ 的特征值分解。 关键前提：做「降维 / 方差解释」之前必须先中心化（ $X_c=X-\bar{\boldsymbol x}^{\mathrm T}$ ），否则第一主方向会指向均值方向，所谓的「解释方差」根本不是方差。

(2) $k$ 的确定流程（三条判据，取交集/先到先得） ① 噪声水平判据： $k=\#\{i:\sigma_i\gt t\sigma_1\}$ ， $t\approx$ 噪声幅度 $/\sigma_1$ ——这是实践中最常用的（低噪场景等价于「谱的断层」判据）。不要用 matrix_rank 的默认阈值 $\max(m,n)u$ ：它只适合「精确矩阵数值降秩」（实测同一矩阵默认判秩 $20$ 、按噪声水平只有 $3$ ）。 ② 能量判据：取最小的 $k$ 使 $\sum_{i\le k}\sigma_i^2/\sum_i\sigma_i^2\ge99\%$ （工程常用；图像压缩里对应 PSNR 目标）。 ③ 拐点判据：画 $\log\sigma_i$ 对 $i$ 的曲线，取曲线陡降段之后的平台起始处为 $k$ ——谱断层说明「断层后是噪声子空间」。 ④ 交叉验证（下游任务）作为兜底： $k$ 变化 $10\%$ 而下游指标不变，说明选得稳。

(3) 失败判据（≥3，可测量） ① 用未截断的伪逆 / 求逆得到下游结果时，输出范数比输入大 $\mathrm{cond}(X)$ 量级（ $\ge10^{10}$ ）→ 说明噪声被放大，必须截断（未截断伪逆会放大 $1/\sigma_{\min}$ ）。 ② 截断后残差能量比 $\lVert X-X_k\rVert_F/\lVert X\rVert_F$ 明显大于噪声水平（例如噪声 $1\%$ 而残差 $8\%$ ）→ $k$ 取得太小，把信号也砍了。 ③ $k$ 增大到某处后验证损失（或下游指标）先变好再变坏，且坏的那段对应 $\sigma_{k+1}$ 已低于噪声水平 → 把噪声方向当成了信号方向。 ④ svd 返回值里出现 $\sigma_i/\sigma_1\lt10^{-15}$ 的非零「奇异值」却把它当真 ⇒ 数值秩判断被机器精度污染；或 $\mathrm{cond}(X)\ge10^{16}$ 时任何双精度结论都不可用。

(4) 验证计划 ① 理论对账：直接核对 $\lVert X-X_k\rVert_2=\sigma_{k+1}$ 与 $\lVert X-X_k\rVert_F=\sqrt{\sum_{i\gt k}\sigma_i^2}$ （应当精确到机器精度）； ② 构造对照：用指定谱（如指数衰减）合成矩阵，检查实测误差曲线与理论曲线重合，并随机生成若干秩 $k$ 矩阵证明它们的误差都 $\ge\sigma_{k+1}$ （Eckart–Young 的下界）； ③ 中心化核账：验证 $\sigma_i(X_c)=\sqrt{(n-1)\lambda_i(C)}$ （ $C$ 为样本协方差）与方差解释比之和为 $1$ ； ④ 技术路线对照：svd 与 eigh(X_cᵀX_c) 的结果比对——数值上应当一致，但在病态情形 $A^{\mathrm T}A$ 路线会明显更差（这是「不要在 $A^{\mathrm T}A$ 上做特征值分解」的活证据）； ⑤ 固定随机种子，报告 $\sigma_i$ 谱、 $k$ 、能量占比、残差与下游指标四组数字，便于复现。

评分：(1) $4$ 分（工具 + 公式 $2$ 、两条排除理由各 $0.5$ 、中心化前提 $1$ ）；(2) $3$ 分（三条判据各 $1$ ，须含阈值取法）；(3) $2$ 分（三条可测量判据）；(4) $1$ 分（至少两条对账项）。中心化没提，(1) 上限 $2$ 分。

20.（10 分） 某团队求解 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ （ $A$ 为 $3000$ 阶稀疏非对称矩阵），求解器返回「相对残差 $\lVert\boldsymbol r\rVert_2/\lVert\boldsymbol b\rVert_2=3\times10^{-15}$ 」，于是在报告里写下结论「解精确到 15 位有效数字」。请： (1) 判断这句话是否成立，写出正确的误差估计式，并逐项说明每个因子怎么得到； (2) 给出可执行的三步诊断流程（不许显式求逆）； (3) 至少三条可测量的失败判据； (4) 验证计划（含「构造已知真解」的做法与多算法对照）。

第 20 题参考答案与评分要点

(1) 结论不成立。 正确的关系是 $\boldsymbol e=\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol x=-A^{-1}\boldsymbol r\ \Longrightarrow\ \frac{\lVert\boldsymbol e\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\mathrm{cond}(A)\,\frac{\lVert\boldsymbol r\rVert}{\lVert\boldsymbol b\rVert}\quad(\text{或}\ \lVert\boldsymbol e\rVert\le\lVert A^{-1}\rVert\lVert\boldsymbol r\rVert),$ 即「能信几位」由 $\mathrm{cond}(A)\cdot\lVert\boldsymbol r\rVert/\lVert\boldsymbol b\rVert$ 决定，而不是由残差本身决定。各项来源：

$\lVert\boldsymbol r\rVert/\lVert\boldsymbol b\rVert$ ：求解器直接给出（后向误差，算法稳定的证据）；
$\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$ ：不需求逆也能估——用 cond(A,1) / cond(A,inf)（基于 LU 的逆估计， $O(n^2)$ ，LAPACK gecon）或 $1/\lVert A^{-1}\rVert$ 的估计；报告时必须注明用的哪个范数（ $\mathrm{cond}_1,\mathrm{cond}_2,\mathrm{cond}_\infty$ 数值可差 $n$ 倍量级，但「丢几位」的结论一致）；
丢失位数 $k\approx\log_{10}\mathrm{cond}$ ，本例若 $\mathrm{cond}\approx10^{10}$ ，则 $k\approx10$ ：解只剩约 $6$ 位，与「精确到 15 位」相差甚远。 一句话：求解器保证的是「某个邻近问题的精确解」（后向稳定），用户要的是「自家问题的近似解」（前向误差），两者之间隔着条件数（1.2.6、定理 2.4.4）。

(2) 三步诊断（不求逆） ① 估条件数：np.linalg.cond(A, np.inf)（或 1-范数版、或让 LAPACK 返回逆范数估计），得到 $\mathrm{cond}$ 的量级；同时做行均衡化（各行除以该行绝对值和或最大元）后再估一次——若两次数值差 $10^{10}$ 倍以上，原报告里的「病态」有一半是单位没选好。 ② 算判据：比较 $\mathrm{cond}\cdot\lVert\boldsymbol r\rVert/\lVert\boldsymbol b\rVert$ 与目标精度（例如要求相对误差 $\le10^{-6}$ ）：若该乘积远大于目标，则问题本身就给不出这么准的解，换算法无效（病态是问题的属性）；若乘积达标，则可放心使用残差结论。 ③ 可选加固：把参数、矩阵按需做迭代精化（用双精度算残差 $\boldsymbol r=\boldsymbol b-A\boldsymbol x$ ，再解 $A\delta\boldsymbol x=\boldsymbol r$ 、令 $\boldsymbol x\leftarrow\boldsymbol x+\delta\boldsymbol x$ ），或提高工作精度（float128 / double-double / MPFR）；若 $\mathrm{cond}\gtrsim10^{16}$ ，只能重述问题（正则化 / 换配方 / 换模型）。

(3) 失败判据（≥3，可测量） ① $\mathrm{cond}(A)\cdot\lVert\boldsymbol r\rVert/\lVert\boldsymbol b\rVert$ 超过目标精度 $10$ 倍以上 → 「15 位」的结论作废（本判据直接推翻原报告）。 ② 构造已知真解 $\boldsymbol x^{*}$ （取 $\boldsymbol x^{*}=\boldsymbol 1$ ，令 $\boldsymbol b=A\boldsymbol x^{*}$ ）后用同一求解器求解，实测相对误差 $\gg\mathrm{cond}\cdot u$ （例如预测 $10^{-6}$ 而实测 $10^{-2}$ ）→ 说明还有别的问题：算法不稳定、矩阵输入有误或残差计算方式不一致。 ③ 换三种算法（直接法 / 迭代法 / 高精度参考）得到的解相互差异大于预测误差 $10$ 倍 → 至少两种实现中有一种不可靠，先查残差与主元。 ④ 行均衡化前后 $\mathrm{cond}$ 相差 $10^{10}$ 倍以上 → 报告里的病态判断建立在缩放不良之上，先修单位再谈精度。 ⑤ 停机判据用「相邻迭代差」时，若 $\lVert\Delta\boldsymbol x_{k+1}\rVert/\lVert\Delta\boldsymbol x_k\rVert$ 长期 $\gt0.9$ → 迭代矩阵谱半径过于接近 $1$ ，步数不可预测，报告里的精度不可信（呼应第一章 1.3.5 的收敛判据）。

(4) 验证计划 ① 构造已知真解：取 $\boldsymbol x^{*}=\boldsymbol 1$ ，算 $\boldsymbol b=A\boldsymbol x^{*}$ ，再用待测求解器求解，报「实测相对误差 / $\mathrm{cond}\cdot u$ 」的比值（稳定在这个比值的常数倍内，说明界是紧的）； ② 多算法对照：直接法（LU + 主元）、迭代法（预条件 GMRES）、高精度参考（float128 或迭代精化到收敛）三条路线互相验证；差异超预期就回到 ① 找原因； ③ 条件数敏感性扫描：把 $\mathrm{cond}$ 从 $10^{4}$ 扫到 $10^{16}$ （例如用 Hilbert 或 Vandermonde 族），画「实测误差 vs $\mathrm{cond}\cdot u$ 」曲线，验证两者同量级、并标出误差超过 $100\%$ 的临界点； ④ 报告规范核对：结果一行必须含「值 + 残差 + $\mathrm{cond}$ 的量级与所用范数 + 预计可靠位数」；缺范数注明的报告按不合格处理（范数影响误差界的常数，见 1.3.6）。

评分：(1) $4$ 分（判断 $1$ 、估计式 $1.5$ 、两个因子的来源 $1.5$ ）；(2) $3$ 分（三步各 $1$ ，须可执行）；(3) $2$ 分（三条可测量）；(4) $1$ 分（构造真解 + 多算法对照）。不注明范数、或把残差直接当误差，(1) 得 $0$ 分。

评分标准

部分	题量	分值	给分要点
一 · 概念判断	10	30	判断 $1$ 分 + 理由 / 反例 $2$ 分；只写对错得 $1$ 分
二 · 填空与简答	5	20	结果正确 $2$ 分 + 关键说明 $2$ 分；中间量缺失扣 $1$ 分
三 · 推导计算	3	30	中间量 / 公式 $3$ 分 + 链条完整 $4$ 分 + 核对与收口 $3$ 分；只写结论最多 $3$ 分
四 · 开放论述	2	20	方案具体 $4$ 分 + 判据可测量 $4$ 分 + 验证计划 $2$ 分

段位换算： $\ge90$ 优秀（能讲清「哪个工具、为什么、代价多少」）； $75!-!89$ 良好（能独立走完 QR / SVD 全流程）； $60!-!74$ 及格（公式会算、条件记不牢）； $<60$ 回到 2.8 的八个陷阱逐条对照，再重做习题集同型题。自评纪律：① 判断理由必须包含机制词（平行四边形恒等式、列满秩、对称 + 幂等、 $\mathrm{cond}$ 平方、正交性损失量级、截断阈值），否则按半对给 $1$ 分；② 手算题凡是跳过 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ 自检或不写中间量的，从收口里扣 $1$ 分；③ 概念题把「 $\mathrm{cond}(A)$ 很小的良态问题」与「算法要不要换」混为一谈的，按概念性错误处理（该题理由不得分）。

漏点定位表

错题	回去读	立刻补做
1、2、11	2.1.2、例 2.1.2、定理 2.1.4	习题 A1、回忆卡 A2/B2
3、4、5、16	2.2.1、2.2.3 指纹框、定理 2.2.5	习题 A2、习题 B3
6、7、8、9、15、17、20	2.3.3 实测表、定理 2.3.5、2.4.2 判据表、2.4.4、2.4.6 错误 1–4	习题 A3、习题 C2、习题 B5、习题 D1
10、13、14	2.5.1 三者关系框、定理 2.5.2、定理 2.5.3	习题 C4、习题 C6
12、18、19	2.3.5、2.6.1、定理 2.6.4、2.6.4 思考（数值秩）、2.7.3 实验三	习题 C1、习题 C5、习题 D4

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