对称性 $\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle=\langle\boldsymbol y,\boldsymbol x\rangle$；对第一变元线性（对第二变元由对称性同理）；正定性 $\langle\boldsymbol x,\boldsymbol x\rangle\ge0$ 且为零当且仅当 $\boldsymbol x=\boldsymbol 0$。诱导范数 $\lVert\boldsymbol x\rVert=\sqrt{\langle\boldsymbol x,\boldsymbol x\rangle}$、距离 $d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rVert$。族：加权内积 $\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle_D=\boldsymbol x^{\mathrm T}D\boldsymbol y$（$D$ 对称正定；对角正权只是特例）（定义 2.1.1、例 2.1.1）。（✓ / △ / ×）

正交组＝非零向量组且两两内积为零；标准正交组＝正交组中每个向量范数为 $1$；标准正交基＝含 $\dim V$ 个向量的标准正交组。零向量与任何向量约定为正交（定义 2.1.2）。（✓ / △ / ×）

方阵 $Q$ 满足 $Q^{\mathrm T}Q=I$ 称正交矩阵；长方阵 $Q\in\mathbb R^{m\times n}$（$m\ge n$）满足 $Q^{\mathrm T}Q=I_n$ 只称列正交矩阵——此时 $QQ^{\mathrm T}\neq I_m$，它是一个投影矩阵（QR 里的 $Q$ 就是这一类）（定义 2.1.3）。（✓ / △ / ×）

列空间 $C(A)=\{A\boldsymbol x\}\subseteq\mathbb R^m$；零空间 $N(A)=\{\boldsymbol x:A\boldsymbol x=\boldsymbol 0\}\subseteq\mathbb R^n$；行空间 $C(A^{\mathrm T})\subseteq\mathbb R^n$；左零空间 $N(A^{\mathrm T})\subseteq\mathbb R^m$（定义 2.2.1）。（✓ / △ / ×）

$\mathcal S^{\perp}=\{\boldsymbol x:\langle\boldsymbol x,\boldsymbol s\rangle=0\ \forall\boldsymbol s\in\mathcal S\}$——与 $\mathcal S$ 中每个向量都正交的向量全体。实际只需查 $\mathcal S$ 的一组基：内积对第二变元线性，基上为零则全体为零（定义 2.2.2）。（✓ / △ / ×）

$\hat{\boldsymbol x}$ 最小化 $\lVert A\boldsymbol x-\boldsymbol b\rVert_2$ 时称最小二乘解；$\boldsymbol r=\boldsymbol b-A\hat{\boldsymbol x}$ 称残差。残差可以算（$\boldsymbol b$ 与 $\hat{\boldsymbol x}$ 都在手上），真解与误差 $\boldsymbol x-\hat{\boldsymbol x}$ 一般算不出来（定义 2.2.3）。（✓ / △ / ×）

$H=I-\dfrac{2}{\boldsymbol v^{\mathrm T}\boldsymbol v}\boldsymbol v\boldsymbol v^{\mathrm T}$：关于超平面 $\boldsymbol v^{\perp}$ 的镜像——$\boldsymbol v$ 方向翻转（$H\boldsymbol v=-\boldsymbol v$），$\boldsymbol v^{\perp}$ 上不动（定义 2.3.1、定理 2.3.3）。（✓ / △ / ×）

单位阵基础上把 $(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)$ 四个位置换成 $c,s,-s,c$（$c^2+s^2=1$）。它只作用在两个坐标上、一次消一个元素、$\det G=+1$（保定向）；Householder 一次改动整个子块、$\det H=-1$（反定向）（定义 2.3.2、2.3.5）。（✓ / △ / ×）

$\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert$（依赖所选范数，报告必须注明）；$\mathrm{cond}_2(A)=\sigma_{\max}/\sigma_{\min}=\sigma_1/\sigma_r$。它量的是离奇异有多远（行列向量之间的接近平行程度），对整体缩放免疫：$\mathrm{cond}(cA)=\mathrm{cond}(A)$（定义 2.4.1、定理 2.4.1）。（✓ / △ / ×）

$A\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v$（$\boldsymbol v\neq\boldsymbol 0$）时 $\lambda$ 为特征值，$\lambda\iff\det(A-\lambda I)=0$；全部特征值（含重数）构成谱 $\sigma(A)$；$\rho(A)=\max\lvert\lambda_i\rvert$。实矩阵也可以有复特征值（旋转矩阵即例）；只有对称矩阵保证全实（定义 2.5.1、定理 2.5.1）。（✓ / △ / ×）

自动满足 Cauchy–Schwarz、三角不等式、正定与齐次——即确实是范数。判据是平行四边形恒等式 $\lVert\boldsymbol x+\boldsymbol y\rVert^2+\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rVert^2=2\lVert\boldsymbol x\rVert^2+2\lVert\boldsymbol y\rVert^2$：满足它才来自内积（内积由极化恒等式反算回来）。$\lVert\cdot\rVert_1$ 与 $\lVert\cdot\rVert_\infty$ 在 $\boldsymbol x=(1,0),\boldsymbol y=(0,1)$ 上立刻失败（定理 2.1.1、定理 2.1.2、例 2.1.2）。（✓ / △ / ×）

设 $\sum_ic_i\boldsymbol v_i=\boldsymbol 0$，两边与 $\boldsymbol v_j$ 作内积，其余项因正交消失，得 $c_j\lVert\boldsymbol v_j\rVert^2=0$，故 $c_j=0$。标准正交基下坐标就是内积 $\alpha_i=\langle\boldsymbol x,\boldsymbol q_i\rangle$，长度按 Parseval $\lVert\boldsymbol x\rVert^2=\sum_i\lvert\langle\boldsymbol x,\boldsymbol q_i\rangle\rvert^2$，正交向量之和满足勾股定理（定理 2.1.3、定理 2.1.4）。（✓ / △ / ×）

$Q^{\mathrm T}Q=I$；$QQ^{\mathrm T}=I$；$Q^{-1}=Q^{\mathrm T}$；列（行）向量组标准正交；保内积、保长度、保距离；$\lvert\det Q\rvert=1$；奇异值全为 $1$（$\lVert Q\rVert_2=\mathrm{cond}_2(Q)=1$）；复特征值模全为 $1$。误差层面：$\lVert QA\rVert_2=\lVert A\rVert_2$、$\lVert QA\rVert_F=\lVert AP\rVert_F=\lVert A\rVert_F$——放大因子恒为 $1$，误差与矩阵大小同比例、不随变换次数累积（定理 2.1.5、定理 2.1.6）。（✓ / △ / ×）

$\operatorname{rank}A=\dim C(A)=\dim C(A^{\mathrm T})=r$；$\dim N(A)=n-r$、$\dim N(A^{\mathrm T})=m-r$；$C(A^{\mathrm T})=N(A)^{\perp}$、$C(A)=N(A^{\mathrm T})^{\perp}$，即 $\mathbb R^n=C(A^{\mathrm T})\oplus N(A)$、$\mathbb R^m=C(A)\oplus N(A^{\mathrm T})$ 两个正交直和。由此任何 $\boldsymbol b$ 唯一分解为 $\boldsymbol b=\boldsymbol p+\boldsymbol e$（$\boldsymbol p\in C(A)$、$\boldsymbol e\in N(A^{\mathrm T})$），且 $\boldsymbol e\perp\boldsymbol p$（定理 2.2.1、定理 2.2.2）。（✓ / △ / ×）

① 每个 $\boldsymbol x$ 唯一写成 $\boldsymbol x=\boldsymbol p+\boldsymbol e$（$\boldsymbol p\in\mathcal S$、$\boldsymbol e\in\mathcal S^{\perp}$）；② 勾股 $\lVert\boldsymbol x\rVert^2=\lVert\boldsymbol p\rVert^2+\lVert\boldsymbol e\rVert^2$；③ 有标准正交基时 $\boldsymbol p=\sum_i\langle\boldsymbol x,\boldsymbol q_i\rangle\boldsymbol q_i$。最近性：$\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol s\rVert\gt\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol p\rVert$ 对任何 $\boldsymbol s\neq\boldsymbol p$ 成立——投影就是最近点，最近 ⟺ 余项垂直（定理 2.2.3、定理 2.2.4）。（✓ / △ / ×）

对称、幂等、特征值只取 $0/1$ 且 $\operatorname{tr}P=\operatorname{rank}P=\operatorname{rank}A$（$P\neq O$ 时 $\lVert P\rVert_2=1$）。反之「对称 + 幂等」就是某个子空间上的正交投影——这是最省事的指纹判据；只幂等而不对称的是斜投影，余项不再垂直于子空间（定理 2.2.5、2.2.3 指纹框）。（✓ / △ / ×）

总存在（$A^{\mathrm T}\boldsymbol b\in C(A^{\mathrm T})=C(A^{\mathrm T}A)$）；唯一 ⟺ $A$ 列满秩（此时 $A^{\mathrm T}A$ 非奇异）。三件套：① $A^{\mathrm T}A\hat{\boldsymbol x}=A^{\mathrm T}\boldsymbol b\iff A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0\iff$ 最小二乘解；② $\hat{\boldsymbol x}=(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}\boldsymbol b$、$A\hat{\boldsymbol x}=P\boldsymbol b$、$\boldsymbol r\in N(A^{\mathrm T})$；③ $\lVert\boldsymbol r\rVert^2=\lVert\boldsymbol b\rVert^2-\lVert A\hat{\boldsymbol x}\rVert^2$（勾股）（定理 2.2.6）。（✓ / △ / ×）

$\hat{\boldsymbol x}=(A^{\mathrm T}WA)^{-1}A^{\mathrm T}W\boldsymbol b$，满足加权正态方程 $A^{\mathrm T}W(A\boldsymbol x-\boldsymbol b)=\boldsymbol 0$；几何上就是 $\boldsymbol b$ 在 $C(A)$ 上、按加权内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle_W$ 作正交投影的结果——公式结构不变，只换内积。又若 $W=L^{\mathrm T}L$，则加权最小二乘 ⟺ 方程两边同乘 $L$ 后做普通最小二乘（定理 2.2.7）。（✓ / △ / ×）

给出 $A=QR$：$Q=[\boldsymbol q_1,\dots,\boldsymbol q_n]$ 列正交、$R$ 上三角且 $r_{jj}=\lVert\boldsymbol v\rVert_2\gt0$；在「$R$ 对角元全为正」的规范化下分解唯一（否则可按列成对变号）。分层张成 $\operatorname{span}\{\boldsymbol q_1..\boldsymbol q_k\}=\operatorname{span}\{\boldsymbol a_1..\boldsymbol a_k\}$ 是 QR 区别于 SVD 的关键性质，也是 QR 迭代求特征值的基础；秩亏时改用列主元 QR（$AP=QR$，$|r_{11}|\ge\cdots$）（定理 2.3.1、定理 2.3.2）。（✓ / △ / ×）

CGS：$\mathrm{cond}^2u$（$\mathrm{cond}\gtrsim u^{-1/2}\approx10^8$ 后彻底失效，误差饱和在 $O(n)$——最坏情形）；MGS：$\mathrm{cond}\,u$；Householder 与 Givens：$u$（与 $\mathrm{cond}$ 无关）。选法：稠密用 Householder（LAPACK geqrf、NumPy 默认），稀疏 / 带状 / 局部修改用 Givens（一次只动两行），需要显式 $Q$ 且条件数温和时可用 MGS，CGS 只用于教学（2.3.3 对比表、定理 2.3.3、定理 2.3.4）。（✓ / △ / ×）

把 $A$ 的全 QR 代入：$\lVert A\boldsymbol x-\boldsymbol b\rVert^2=\lVert R\boldsymbol x-\boldsymbol c\rVert^2+\lVert\boldsymbol d\rVert^2$（$\boldsymbol c$ 为 $Q^{\mathrm T}\boldsymbol b$ 前 $n$ 行），故解上三角方程 $R\hat{\boldsymbol x}=\boldsymbol c$（回代 $O(n^2)$），最小残差范数 $=\lVert\boldsymbol d\rVert_2$。全程不形成 $A^{\mathrm T}A$，误差量级从正态方程的 $\mathrm{cond}^2u$ 降到 $\mathrm{cond}\,u$——$\mathrm{cond}\gtrsim10^{8}$ 时必须弃用正态方程（定理 2.3.5、2.3.6）。（✓ / △ / ×）

$\mathrm{cond}(A)\ge1$（算子范数下）；$\mathrm{cond}(A^{-1})=\mathrm{cond}(A)$；$\mathrm{cond}(cA)=\mathrm{cond}(A)$；$\mathrm{cond}_2(Q)=1$；$\mathrm{cond}(AB)\le\mathrm{cond}(A)\mathrm{cond}(B)$（一般不是等式）。右端扰动 $\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol x\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\mathrm{cond}\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol b\rVert}{\lVert\boldsymbol b\rVert}$（紧界）；系数扰动 $\le\dfrac{\mathrm{cond}}{1-\mathrm{cond}\rho_A}(\rho_A+\rho_b)$，要求 $\mathrm{cond}\cdot\rho_A\lt1$。丢失位数 $k\approx\log_{10}\mathrm{cond}$；$\mathrm{cond}\gtrsim10^{16}=u^{-1}$ 时双精度形同奇异（定理 2.4.1–定理 2.4.3、2.4.2）。（✓ / △ / ×）

因为 $\boldsymbol e=\hat{\boldsymbol x}-\boldsymbol x=-A^{-1}\boldsymbol r$，故 $\dfrac{\lVert\boldsymbol e\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\mathrm{cond}(A)\dfrac{\lVert\boldsymbol r\rVert}{\lVert\boldsymbol b\rVert}$：两者之间隔着条件数。正确判据是 $\mathrm{cond}\cdot\lVert\boldsymbol r\rVert/\lVert\boldsymbol b\rVert$，不是 $\lVert\boldsymbol r\rVert$（实测：残差相对量 $2.5\times10^{-12}$ 时误差可达 $50\%$）。求解器能保证的是残差（后向），用户想要的是误差（前向）（定理 2.4.4）。（✓ / △ / ×）

$\rho(A)\le\lVert A\rVert$ 对任何相容范数成立，但可远小于范数（Jordan 块：$\rho=1$、$\lVert\cdot\rVert_2\approx1000$）。Gerschgorin：$\lvert\lambda-a_{ii}\rvert\le r_i=\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert$（行版本，列版本对 $A^{\mathrm T}$ 用），全部特征值落在圆盘并集内；若 $k$ 个圆盘构成与其他圆盘不相交的连通区域，则其中恰含 $k$ 个特征值；行、列两版本取交集可收紧围栏（注意：逐盘配对取交只是启发式）。严格对角占优 $\lvert a_{ii}\rvert\gt r_i\ \forall i$ ⟹ $0\notin\cup D_i$ ⟹ 非奇异（定理 2.5.2、2.5.2）。（✓ / △ / ×）

$R(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x/\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol x$ 是特征值的加权平均，故 $\lambda_{\min}=\min R$、$\lambda_{\max}=\max R$，极值点恰是对应特征向量。Courant–Fischer：$\lambda_k=\min_{\dim\mathcal S=k}\max_{\boldsymbol 0\neq\boldsymbol x\in\mathcal S}R(\boldsymbol x)$（对 $-A$ 用一次得第二等式）——特征值问题由此变成优化问题，Lanczos / 子空间迭代都从它出发。幂法：向量的方向误差 $O(\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^k)$，Rayleigh 商误差 $O(\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^{2k})$——同样精度所需步数减半（定理 2.5.3–定理 2.5.5）。（✓ / △ / ×）

对称（Weyl）：$\lvert\lambda_i(A+E)-\lambda_i(A)\rvert\le\lVert E\rVert_2$，1-Lipschitz，一点都不放大；一般可对角化（Bauer–Fike）：$\le\mathrm{cond}_2(V)\lVert E\rVert_2$，放大因子就是特征向量矩阵的条件数（对称时可取 $V$ 正交，退化为情形一）；非正规 $k$ 重特征值：位移 $O(\lVert E\rVert^{1/k})$（Jordan 块 $k=2$ 时精确等于 $\sqrt t$）——固有病态，任何算法都救不了（定理 2.5.6）。（✓ / △ / ×）

$A=U\Sigma V^{\mathrm T}$，$\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r\gt0$：$C(A)=\operatorname{span}\{\boldsymbol u_1..\boldsymbol u_r\}$、$N(A^{\mathrm T})=\operatorname{span}\{\boldsymbol u_{r+1}..\boldsymbol u_m\}$、$C(A^{\mathrm T})=\operatorname{span}\{\boldsymbol v_1..\boldsymbol v_r\}$、$N(A)=\operatorname{span}\{\boldsymbol v_{r+1}..\boldsymbol v_n\}$（都是标准正交基，不必再补 Gram–Schmidt）；$\lVert A\rVert_2=\sigma_1$、$\lVert A\rVert_F=\sqrt{\sum\sigma_i^2}$、$\mathrm{cond}_2=\sigma_1/\sigma_r$、$\operatorname{rank}A=\#\{\sigma_i\gt0\}$；Eckart–Young：$A_k=\sum_{i\le k}\sigma_i\boldsymbol u_i\boldsymbol v_i^{\mathrm T}$ 是最优秩 $k$ 逼近，$\lVert A-A_k\rVert_2=\sigma_{k+1}$ 精确成立（定理 2.6.1–定理 2.6.4）。（✓ / △ / ×）

$A^{+}=V\Sigma^{+}U^{\mathrm T}$（非零 $\sigma_i$ 取倒数、零仍记零）：满足 Penrose 四条件且唯一；$AA^{+}$、$A^{+}A$ 分别是到 $C(A)$、$C(A^{\mathrm T})$ 的正交投影；$\hat{\boldsymbol x}=A^{+}\boldsymbol b$ 是唯一的最小范数最小二乘解（秩亏时最小的那一点，正态方程只能给出「直线上任意一点」）；列满秩时 $A^{+}=(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}$。危险：$1/\sigma_r$ 会把相应方向放大 $\mathrm{cond}(A)$ 倍，必须按噪声水平截断。数值秩 $\#\{i:\sigma_i\gt t\sigma_1\}$，$t$ 按数据噪声水平取（matrix_rank 的默认阈值 $=\max(m,n)u$ 只适合「精确矩阵数值降秩」）（定理 2.6.3、2.6.4）。（✓ / △ / ×）

$\lVert\boldsymbol x\rVert=\sqrt{\langle\boldsymbol x,\boldsymbol x\rangle}$；$\lVert\boldsymbol x+\boldsymbol y\rVert^2+\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rVert^2=2\lVert\boldsymbol x\rVert^2+2\lVert\boldsymbol y\rVert^2$；$\langle\boldsymbol x,\boldsymbol y\rangle=\tfrac14(\lVert\boldsymbol x+\boldsymbol y\rVert^2-\lVert\boldsymbol x-\boldsymbol y\rVert^2)$（定义 2.1.1、定理 2.1.2）。（✓ / △ / ×）

$\alpha_i=\langle\boldsymbol x,\boldsymbol q_i\rangle$；$\lVert\boldsymbol x\rVert^2=\sum_i\lvert\alpha_i\rvert^2$；$\boldsymbol p=\sum_i\langle\boldsymbol x,\boldsymbol q_i\rangle\boldsymbol q_i$（定理 2.1.4、定理 2.2.3）。（✓ / △ / ×）

$\dim C(A)=\dim C(A^{\mathrm T})=r$，$\dim N(A)=n-r$，$\dim N(A^{\mathrm T})=m-r$；$\mathbb R^n=C(A^{\mathrm T})\oplus N(A)$、$\mathbb R^m=C(A)\oplus N(A^{\mathrm T})$（定理 2.2.1、定理 2.2.2）。（✓ / △ / ×）

$\boldsymbol p=A(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}\boldsymbol b$（记 $P=A(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}$）；$A^{\mathrm T}A\boldsymbol x=A^{\mathrm T}\boldsymbol b$；$\hat{\boldsymbol x}=(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}\boldsymbol b$；加权 $\hat{\boldsymbol x}=(A^{\mathrm T}WA)^{-1}A^{\mathrm T}W\boldsymbol b$（定理 2.2.5–定理 2.2.7）。（✓ / △ / ×）

CGS：$r_{ij}=\boldsymbol q_i^{\mathrm T}\boldsymbol a_j$（原始列）；MGS：$r_{ij}=\boldsymbol q_i^{\mathrm T}\boldsymbol v$（当前列，就地更新）；Householder：$\alpha=-\operatorname{sgn}(x_1)\lVert\boldsymbol x\rVert_2$、$\boldsymbol v=\boldsymbol x-\alpha\boldsymbol e_1$、$H=I-2\boldsymbol v\boldsymbol v^{\mathrm T}/\boldsymbol v^{\mathrm T}\boldsymbol v$（首分量取相加，避免相消）；Givens：$r=\texttt{hypot}(x_1,x_2)$、$c=x_1/r$、$s=x_2/r$（别手写 $\sqrt{x_1^2+x_2^2}$）（定理 2.3.1、定理 2.3.3、定理 2.3.4）。（✓ / △ / ×）

$R\hat{\boldsymbol x}=(Q^{\mathrm T}\boldsymbol b)_{1:n}$、$\lVert\boldsymbol r\rVert_2=\lVert\boldsymbol d\rVert_2$。损失：CGS $\mathrm{cond}^2u$、MGS $\mathrm{cond}\,u$、Householder $\approx u$、Givens $\approx u$；复杂度：GS $2mn^2$、Householder $2mn^2-\tfrac23n^3$、Givens 约 $6mn^2$（定理 2.3.5、2.3.5 对比表）。（✓ / △ / ×）

$\mathrm{cond}=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$、$\mathrm{cond}_2=\sigma_1/\sigma_r$；$\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol x\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\mathrm{cond}\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol b\rVert}{\lVert\boldsymbol b\rVert}$、$\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol x\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\dfrac{\mathrm{cond}}{1-\mathrm{cond}\rho_A}(\rho_A+\rho_b)$；$k\approx\log_{10}\mathrm{cond}$；$\boldsymbol e=A^{-1}\boldsymbol r$、$\dfrac{\lVert\boldsymbol e\rVert}{\lVert\boldsymbol x\rVert}\le\mathrm{cond}\dfrac{\lVert\boldsymbol r\rVert}{\lVert\boldsymbol b\rVert}$（定理 2.4.1–定理 2.4.4）。（✓ / △ / ×）

$\rho(A)\le\lVert A\rVert$；$\lvert\lambda-a_{ii}\rvert\le\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert$；向量误差 $O(\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^k)$、Rayleigh 商误差 $O(\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^{2k})$；对称 $\lvert\Delta\lambda\rvert\le\lVert E\rVert_2$、一般 $\le\mathrm{cond}_2(V)\lVert E\rVert_2$、非正规 $k$ 重 $O(\lVert E\rVert^{1/k})$（定理 2.5.2、定理 2.5.3、定理 2.5.6）。（✓ / △ / ×）

$R(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x/\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol x$；$\lambda_k=\min_{\dim\mathcal S=k}\max_{\boldsymbol x\in\mathcal S}R=\max_{\dim\mathcal T=n-k+1}\min_{\boldsymbol x\in\mathcal T}R$；反幂法把 $A$ 换成 $(A-\mu I)^{-1}$，收敛到最接近 $\mu$ 的特征值，每步解一个方程组而不显式求逆（定义 2.5.2、定理 2.5.5、2.5.3）。（✓ / △ / ×）

$A=U\Sigma V^{\mathrm T}$；$A=\sum_{i\le r}\sigma_i\boldsymbol u_i\boldsymbol v_i^{\mathrm T}$；$\lVert A\rVert_2=\sigma_1$、$\lVert A\rVert_F=\sqrt{\sum_i\sigma_i^2}$、$\mathrm{cond}_2=\sigma_1/\sigma_r$；$A^{+}=V\Sigma^{+}U^{\mathrm T}$；$\min_{\operatorname{rank}B\le k}\lVert A-B\rVert_2=\sigma_{k+1}$、F 版 $=\sqrt{\sum_{i\gt k}\sigma_i^2}$；PCA：主方向 $=V$ 的列、主成分方差 $=\sigma_i^2/(n-1)$、$\sigma_i(X_c)=\sqrt{(n-1)\lambda_i(C)}$（中心化后）（定理 2.6.1–定理 2.6.4、2.6.6）。（✓ / △ / ×）

错。范数为 $1$ 只保证「标准」；「正交」必须逐个验证两两内积。教材 例 2.1.3 的 $\boldsymbol r$ 组范数全对、$\boldsymbol r_1^{\mathrm T}\boldsymbol r_2=0$ 也对，但 $\boldsymbol r_2^{\mathrm T}\boldsymbol r_3=-2/\sqrt{18}\neq0$——套用坐标公式与 Parseval 会同时静默失效（拼回去 $=(20/3,10/3,-1/3)\neq\boldsymbol x$）。（✓ / △ / ×）

错。$\lVert\cdot\rVert_1$ 与 $\lVert\cdot\rVert_\infty$ 不满足平行四边形恒等式（取 $\boldsymbol x=(1,0),\boldsymbol y=(0,1)$：左端 $8$ 或 $2$，右端都是 $4$），不来自任何内积，因此没有正交、投影、SVD 这套结构。见到「正交」二字，默认内积是 Euclid 内积（例 2.1.2、2.1.4 错误 2）。（✓ / △ / ×）

两处都错。① 正交投影要求对称 + 幂等；只幂等的是斜投影（例 $S=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$），其余项不垂直于子空间。② $QQ^{\mathrm T}$ 是到 $C(Q)$ 的投影矩阵，$\operatorname{tr}(QQ^{\mathrm T})=n\lt m$，故 $QQ^{\mathrm T}\neq I_m$——「逆等于转置」只对方阵成立（2.2.6 错误 5、2.1.4 错误 4）。（✓ / △ / ×）

两处都错。① 精确算术下 CGS 与 MGS 结果相同，浮点下差一个 $\mathrm{cond}$：$\mathrm{cond}\gtrsim10^8$ 时 CGS 的 $\lVert Q^{\mathrm T}Q-I\rVert_2$ 饱和到 $O(n)$（实测 $n=16$ 时 $6.55$），MGS 为 $4.7\times10^{-4}$、Householder 为 $3.0\times10^{-15}$。② 形成 $A^{\mathrm T}A$ 就把条件数平方（$\mathrm{cond}(A^{\mathrm T}A)=\mathrm{cond}(A)^2$），误差由 $\mathrm{cond}\,u$ 退化为 $\mathrm{cond}^2u$——实测 $\mathrm{cond}=6\times10^{10}$ 时正态方程误差 $28$（真值 $1$）、QR 仍为 $2.2\times10^{-6}$（2.3.6 实测表）。（✓ / △ / ×）

错两处。① 存在性没问题（$A^{\mathrm T}\boldsymbol b\in C(A^{\mathrm T}A)$），但唯一性要求 $A$ 列满秩；秩亏时解是一整条仿射集，要用伪逆取最小范数解。② 病态时正态方程把 $\mathrm{cond}$ 平方；另外算完必须做 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$ 自检——它是最省事的错误探测器（残差各分量之和为零不代表 $A^{\mathrm T}\boldsymbol r=\boldsymbol 0$，必须按 $x_i$ 加权求和）（2.2.6 错误 1、4）。（✓ / △ / ×）

两处都错。① 残差与误差之间隔着条件数：$\lVert\boldsymbol e\rVert/\lVert\boldsymbol x\rVert\le\mathrm{cond}\cdot\lVert\boldsymbol r\rVert/\lVert\boldsymbol b\rVert$；实测残差 $2.5\times10^{-12}$ 而误差 $50\%$。② 病态是问题的属性：Hilbert 12 阶用任何解法误差都是 $0.22$，换算法无效——只能重述问题（正则化）、提高精度或迭代精化；另外先做行均衡化再看条件数（示例中 $\mathrm{cond}_\infty$ 从 $10^{20}$ 降到 $4\times10^{10}$），且别手写 inv 算条件数（定理 2.4.4、2.4.6 错误 2、3、4、7）。（✓ / △ / ×）

三处都错。① $\rho\le\lVert A\rVert$ 是不等式：$N=\begin{pmatrix}1&1000\\0&1\end{pmatrix}$ 的 $\rho=1$ 而 $\lVert N\rVert_2\approx1000$；非正规矩阵还会瞬态增长（$\lVert N^k\rVert\approx1000k$），故稳妥判据是 $\lVert A\rVert\lt1$。② 非正规 $k$ 重特征值对 $O(\varepsilon)$ 扰动移动 $O(\varepsilon^{1/k})$：$k=2$ 时双精度只剩约 8 位有效数字，是固有病态。③ 圆盘给的是包含区间，只有对角占优时圆心才接近特征值；别忘了列版本与取交集（定理 2.5.2、2.5.6 错误 1–4）。（✓ / △ / ×）

四处都错。① 奇异值总非负、共 $\min(m,n)$ 个；特征值可负可复。反例 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$：$\lambda_i=0$ 而 $\sigma_1=1$。② $\mathrm{cond}(A^{\mathrm T}A)=\mathrm{cond}(A)^2$——白丢一半有效数字；实现里用 np.linalg.svd(A)（Golub–Kahan 直接作用在 $A$ 上）。③ 未截断的伪逆会把 $1/\sigma_r$ 放大 $\mathrm{cond}$ 倍，必须按噪声水平设 rcond；matrix_rank 默认阈值 $\max(m,n)u$ 只适合精确矩阵（实测同一矩阵默认判秩 $20$、按噪声阈值只有 $3$）。④ 不中心化做 SVD，第一主方向会指向均值方向，所谓「解释方差」根本不是方差（2.6.7 错误 1–7、例 2.6.5）。（✓ / △ / ×）