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补充篇 · 学习目标自检表

本页属“补充篇 · 数值线性代数工具箱”，不是课堂第 2 章；课堂第 2 章见线性方程组的解法。

第二章共 6 条知识目标、6 条技能目标、3 条素养目标。用法同第一章：逐条自问「能不能」；答不上来的条目，按表中该行的「依据与习题」回到对应小节重读，再把那几道题做一遍。本章目标全部以第一章的范数与条件数为先修——K2.x 依赖 K1.6、K1.7，先修链条见学习目标。

配套复习材料

默写不出来的条目，先查公式与结论卡与术语索引；分不清「残差 vs 误差」「特征值 vs 奇异值」这类概念时，查易混对照卡。

K · 知识目标

目标达标检验依据与习题
K2.1 内积与正交任取一个二元函数，能当场验证它是否为内积；能用平行四边形恒等式判断一个范数是否来自内积；能默写正交矩阵的至少六条等价刻画定义 2.1.1、定理 2.1.2、定理 2.1.5；习题 A1、B1
K2.2 四个子空间与投影能写出四个基本子空间的定义与两对正交补，并说明秩定理；能写出正交投影矩阵 P=A(ATA)−1ATP=A(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}，并证明它的三条性质定理 2.2.1、定理 2.2.2、定理 2.2.5；习题 A2、B3
K2.3 正交化与 QR能合上书复述 Gram–Schmidt 与 Householder 的构造；能说出 QR 唯一性成立的条件；能逐一说出四种方法（经典 / 修正 Gram–Schmidt、Householder、Givens）的正交性损失量级定理 2.3.1、定理 2.3.3、定理 2.3.2；习题 A3、C2
K2.4 条件数与扰动能独立推导右端扰动界与系数扰动界，说明系数扰动界为何要求 condρA<1\mathrm{cond}\rho_A\lt1；能解释「残差 ≠ 误差」定理 2.4.2、定理 2.4.3、定理 2.4.4；习题 B5、D1
K2.5 谱与对称谱能陈述 ρ≤∥A∥\rho\le\lVert A\rVert、Gerschgorin 圆盘定理、Rayleigh 商与 Courant–Fischer 极小极大原理；能说清「对称 O(ε)O(\varepsilon) vs 重特征值 O(ε1/k)O(\varepsilon^{1/k})」的原因定理 2.5.1–定理 2.5.6；习题 A4(b)(d)、C4、C6
K2.6 SVD 与低秩能陈述 SVD 的两种几何读法、U/VU/V 的列与四个基本子空间的关系、伪逆的定义、Eckart–Young 定理与数值秩的定义定理 2.6.1、定理 2.6.2、定理 2.6.3、定理 2.6.4；习题 A4(c)、B6、C1

S · 技能目标

目标达标检验依据与习题
S2.1 Gram–Schmidt 手算能对给定的三个向量手工正交化并写出 Q,RQ,R；能判断秩亏时该怎样截断例 2.3.1；习题 C2(1)
S2.2 Householder 手算能对 3×33\times3 矩阵手写一个 Householder 向量与 HAHA；能说明该向量符号选择的理由例 2.3.3、例 2.3.4；习题 C2(2)
S2.3 QR 解最小二乘能推导用 QR 解最小二乘的步骤；能说明 QR 为何优于正态方程，并给出量化的误差对比定理 2.3.5、2.3.6；习题 C3
S2.4 条件数估算与预测能估算给定矩阵的 cond\mathrm{cond}，据此预测解会损失的有效数字位数 k≈log⁡10condk\approx\log_{10}\mathrm{cond}，并用 Hilbert 矩阵实验验证这一预测例 2.4.2；习题 C3(3)
S2.5 Gerschgorin 与幂法能用 Gerschgorin 圆盘给出特征值的围栏；能用幂法 + Rayleigh 商求主特征值，并报告实测收敛比例 2.5.2、例 2.5.3；习题 C4、C6(1)
S2.6 SVD 应用能用 SVD 算数值秩、条件数与伪逆；做秩 kk 截断并与 σk+1\sigma_{k+1} 对照；用真实矩阵完成一次低秩压缩或 PCA例 2.6.5、例 2.6.6；习题 C5、D2、D4

A · 素养目标

目标达标检验依据与习题
A2.1 病态诊断对给定的病态方程组，能区分「问题病态」与「算法不稳定」，并给出至少两种改进策略（重述 / 正则化 / 提高精度 / 换算法）2.4.4、2.8.2 陷阱 4；习题 D1、D2
A2.2 批判性评估库函数能判断残差能否作为误差指标；能指出数值秩判定依赖阈值；能说明伪逆截断参数的选择依据2.6.4 思考、2.4.4；习题 A2(d)、D1
A2.3 方法选型能针对真实任务（压缩 / PCA / 病态拟合）在 QR / SVD / 正则化中做出选择，并说明理由与失效边界2.8.1 选型表；习题 D2、D3、D4

数值实验对照

实验覆盖目标位置
实验一 · 正交性退化K2.3、S2.1、S2.22.7.1
实验二 · 条件数与有效数字K2.4、S2.3、S2.42.7.2
实验三 · SVD 与低秩逼近K2.6、S2.62.7.3
实验四 · 幂法与敏感性（选做）K2.5、S2.52.7.4

依据颜庆津《数值分析》（第 4 版）1.3 节扩充编写 · 整理日期 2026-09-16

全 章 完