一页速览 · 公式与结论卡

这一页把第一章 + 补充篇（数值线性代数工具箱）的必记公式与结论压成一页，按主题排列，每条都链到正文权威版本（推导与例子在那里）。老师主线第 2–5 章以讲座页为准；本页只收与主线交叉的公式。用途有二：考前一小时过一遍、做题时忘了公式就跳过来。

怎么用这一页

不是替代正文：只有结论，没有推导与适用条件。第一次学别从这一页开始。
配合「只看核心」：正文页点「只看核心」，可跳层内容（证明、预告、拓展思考）折叠，留下的即本页展开版。
自检法：遮住右列，只看左列概念，能默写公式就打勾；默不出的点链接回读。
正文各节末有完整速查表（本节公式速查），本页是它们的去重汇总 + 跨节合并。
正文是唯一权威版本：改公式先改正文，再同步本页——漏同步会被 make check 拦下（每条定义 / 定理的锚点都必须在本页或术语索引里出现）。

一 · 误差度量（1.2）

概念	公式 / 结论	出处
绝对误差 / 误差限	$e=x-a$ ； $\lvert e\rvert\le\varepsilon$ ，记作 $x=a\pm\varepsilon$	定义 1.2.5
相对误差 / 相对误差限	$e_{\mathrm r}=\dfrac{x-a}{x}\approx\dfrac{x-a}{a}$ ； $\varepsilon_{\mathrm r}(a)=\dfrac{\varepsilon(a)}{\lvert a\rvert}$	定义 1.2.6
有效数字	$a=\pm0.a_1a_2\cdots a_k\times10^m$ ，若 $\varepsilon(a)=\tfrac12\times10^{m-n}$ （ $n\le k$ ）则有 $n$ 位	定义 1.2.7
四舍五入的误差限	末位半个单位： $\varepsilon=\tfrac12\times10^{-d}$ （舍入到小数点后 $d$ 位）	例 1.2.2
有效数字 → 相对误差	$\varepsilon_{\mathrm r}\le\dfrac{1}{2a_1}\times10^{1-n}\le\tfrac12\times10^{1-n}$ ；每多一位，相对误差小十倍	定理 1.2.1
四类误差	模型 / 观测（不可控）· 截断 / 舍入（数值分析管这两类）	定义 1.2.1

最常错的一条：有效数字 ≠ 小数位数。 $3.1416$ 对 $\pi$ 是 5 位有效数字、4 位小数（例 1.2.4）。

二 · 误差传播（1.2.3）

概念	公式
一元函数	$e(\tilde u)\approx f'(a),e(a)$ ， $\varepsilon(\tilde u)\approx\lvert f'(a)\rvert\varepsilon(a)$ （定理 1.2.2）
高阶零点	若 $f'(a)=\cdots=f^{(k-1)}(a)=0$ ： $\varepsilon(\tilde u)\approx\dfrac{\lvert f^{(k)}(a)\rvert}{k!}[\varepsilon(a)]^k$
多元函数	$\varepsilon(\tilde u)\approx\sum_i\left\lvert\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right\rvert\varepsilon(a_i)$ （式 1.1）
加减法	$\varepsilon(a\pm b)=\varepsilon(a)+\varepsilon(b)$ ；绝对误差限相加
乘除法	$\varepsilon_{\mathrm r}(ab)\approx\varepsilon_{\mathrm r}(a)+\varepsilon_{\mathrm r}(b)$ ；相对误差限相加
减法（危险）	$\varepsilon_{\mathrm r}(a-b)=\dfrac{\varepsilon(a)+\varepsilon(b)}{\lvert a-b\rvert}$ ——分母趋零即爆炸
除法（危险）	$\varepsilon(a/b)\approx\dfrac{\lvert a\rvert\varepsilon(b)+\lvert b\rvert\varepsilon(a)}{\lvert b\rvert^2}$ ——小除数二次放大

一句话记法：加减看绝对、乘除看相对；事故全出在两个分母—— $\lvert a-b\rvert$ （减法）与 $\lvert b\rvert^2$ （除法）。

三 · 算法设计四原则（1.2.4）

#	原则	判据 / 处方
1	数值稳定性	递推 $y_n=\alpha_n+\beta y_{n-1}$ 的误差 $\delta_n=\beta^n\delta_0$ ： $\lvert\beta\rvert\gt1$ 的方向倒过来走，用估计式定住远端初值（定义 1.2.9）
2	防吞噬	大小悬殊的两数相加，小数整位丢失——先把小数加在一起再与大数相加
3	防相消	相近数相减先改写：有理化 / 因式分解 / 和差化积 / 中值定理
4	防小除数	$\lvert b\rvert\ll\lvert a\rvert$ 时 $\varepsilon(a/b)$ 被 $\lvert b\rvert^2$ 放大——换尺度或并式化简

相减本身没错（Sterbenz 引理： $y/2\le x\le2y$ 时 $\operatorname{fl}(x-y)$ 精确，引理 1.2.1）；错在把有效数字已不多的中间结果送去相减。

秦九韶（Horner）： $p(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+\cdots))$ ，乘法 $n$ 次， $O(n)$ （逐项求和则为 $O(n^2)$ ）。

四 · 浮点与条件数（1.2.5 · 1.2.6）

概念	公式 / 结论
浮点集与精度	$\mathrm{eps}=\beta^{1-t}$ ， $u=\tfrac12\beta^{1-t}$ ；双精度 $u=2^{-53}\approx1.1\times10^{-16}$ （定义 1.2.10）
浮点公理	$\operatorname{fl}(x\ \mathrm{op}\ y)=(x\ \mathrm{op}\ y)(1+\delta)$ ， $\lvert\delta\rvert\le u$ ——全部现代误差分析的出发点
$n$ 步运算	相对误差 $\lesssim nu$ ：双精度算一万步仍可靠，算一亿步要留神
向前 / 向后误差	向前 = 离真值多远；向后 = 是不是某个邻近问题的精确答案（定义 1.2.11）
函数条件数	$\mathrm{cond}(f,x)=\left\lvert\dfrac{xf'(x)}{f(x)}\right\rvert$
两条分开谈	病态是问题的属性，不稳定是算法的属性——二者独立，处方不同

五 · 向量范数（1.3.1–1.3.2）

概念	公式
三公理	正定 · 齐次 · 三角不等式（定义 1.3.1）
三个常用范数	$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1=\sum\lvert x_i\rvert$ ； $\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2=\bigl(\sum x_i^2\bigr)^{1/2}$ ； $\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty=\max_i\lvert x_i\rvert$ （定理 1.3.1）
$p$ -范数与极限	$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_p=\bigl(\sum\lvert x_i\rvert^p\bigr)^{1/p}$ ； $\lim_{p\to\infty}\lVert\boldsymbol{x}\rVert_p=\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty$ （定理 1.3.2）
等价定理	任意两种范数存在 $0\lt m\lt M$ 使 $m\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\beta\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\alpha\le M\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\beta$ ——收敛结论与范数选择无关（定理 1.3.3）
显式不等式	$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_1\le n\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty$ ； $\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\le\sqrt n\lVert\boldsymbol{x}\rVert_\infty$
Cauchy–Schwarz	$\lvert\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}\rvert\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2$ ，等号当且仅当两向量线性相关——2-范数三角不等式的全部依据（引理 1.3.1）
反三角不等式	$\bigl\lvert\lVert\boldsymbol{x}\rVert-\lVert\boldsymbol{y}\rVert\bigr\rvert\le\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\rVert$

六 · 矩阵范数（1.3.3–1.3.4）

概念	公式 / 结论	记忆法
四公理	正定 · 齐次 · 三角不等式 · 次可乘 $\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert$ （定义 1.3.2）	第 4 条是矩阵特有
从属（算子）范数	$\lVert A\rVert=\max_{\lVert\boldsymbol{x}\rVert=1}\lVert A\boldsymbol{x}\rVert$ ——最大拉伸倍数（定理 1.3.4）	相容性近乎同义反复
相容性	$\lVert A\boldsymbol{x}\rVert\le\lVert A\rVert\lVert\boldsymbol{x}\rVert$ （定义 1.3.3）	放缩链条的通行证
$\lVert A\rVert_1$	$\max_j\sum_i\lvert a_{ij}\rvert$	列和取大（「1 竖着像一根列」）
$\lVert A\rVert_\infty$	$\max_i\sum_j\lvert a_{ij}\rvert$	行和取大
$\lVert A\rVert_2$	$\sqrt{\lambda_{\max}(A^{\mathrm T}A)}=\sigma_{\max}(A)$ （定理 1.3.5）	算 $A^{\mathrm T}A$ → 最大特征值 → 开方
$\lVert A\rVert_F$	$\bigl(\sum_{i,j}a_{ij}^2\bigr)^{1/2}$ （定义 1.3.4）	相容但不从属（ $\lVert I\rVert_F=\sqrt n$ ）
单位矩阵	任何算子范数下 $\lVert I\rVert=1$	F-范数不是算子范数的判据

七 · 可逆性与 Neumann（1.3.5）

概念	公式
Neumann 界	$\lVert A\rVert\lt1\Rightarrow I\pm A$ 非奇异，且 $\bigl\lVert(I\pm A)^{-1}\bigr\rVert\le\dfrac{1}{1-\lVert A\rVert}$ （定理 1.3.6）
Neumann 级数	$\lVert A\rVert\lt1\Rightarrow\sum_{k\ge0}A^k=(I-A)^{-1}$ ，余项 $\le\dfrac{\lVert A\rVert^{N+1}}{1-\lVert A\rVert}$ （定理 1.3.7）
条件数（矩阵版）	$\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert\ge1$ ； $\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol{x}\rVert}{\lVert\boldsymbol{x}\rVert}\le\mathrm{cond}(A)\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol{b}\rVert}{\lVert\boldsymbol{b}\rVert}$

中学类比的矩阵版： $\lVert A\rVert\lt1$ 即 $\lvert r\rvert\lt1$ ， $I-A$ 即 $1-r$ ， $(I-A)^{-1}=\sum A^k$ 即 $\dfrac{1}{1-r}$ ——迭代法收敛性全靠这一套。

八 · 内积与正交（补充篇 2.1）

概念	公式 / 结论
内积公理	对称 · 对第一变元线性 · 正定（定义 2.1.1）
诱导范数	$\lVert\boldsymbol{x}\rVert=\sqrt{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle}$ ；Cauchy–Schwarz $\lvert\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle\rvert\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert\lVert\boldsymbol{y}\rVert$
是否来自内积	平行四边形恒等式 $\lVert\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\rVert^2+\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\rVert^2=2\lVert\boldsymbol{x}\rVert^2+2\lVert\boldsymbol{y}\rVert^2$ （定理 2.1.2）——只有 2-范数满足
正交组	两两内积为 $0$ 的非零向量组必线性无关（定理 2.1.3）
标准正交基坐标	$\boldsymbol{x}=\sum_i\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{q}_i\rangle\boldsymbol{q}_i$ ；Parseval $\lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=\sum_i\lvert\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{q}_i\rangle\rvert^2$ （定理 2.1.4）
正交矩阵	$Q^{\mathrm T}Q=I$ 、 $Q^{-1}=Q^{\mathrm T}$ 、 $\lvert\det Q\rvert=1$ 、 $\mathrm{cond}_2(Q)=1$ 、保内积保范数（定义 2.1.3、定理 2.1.5）
正交不变性	$\lVert QA\rVert_2=\lVert A\rVert_2$ ， $\lVert QA\rVert_F=\lVert A\rVert_F$ （定理 2.1.6）——数值算法偏爱正交变换的全部理由

九 · 四个子空间与投影（补充篇 2.2）

概念	公式
四个子空间	$C(A)\subseteq\mathbb{R}^m$ 、 $N(A)\subseteq\mathbb{R}^n$ 、 $C(A^{\mathrm T})\subseteq\mathbb{R}^n$ 、 $N(A^{\mathrm T})\subseteq\mathbb{R}^m$ （定义 2.2.1）
维数（秩定理）	$\dim C(A)=\dim C(A^{\mathrm T})=r$ ； $\dim N(A)=n-r$ ； $\dim N(A^{\mathrm T})=m-r$ （定理 2.2.1）
两对正交补	$C(A^{\mathrm T})=N(A)^{\perp}$ ； $C(A)=N(A^{\mathrm T})^{\perp}$ （定理 2.2.2）
正交分解	$\mathbb{R}^m=C(A)\oplus N(A^{\mathrm T})$ ， $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{e}$ ， $\boldsymbol{p}\perp\boldsymbol{e}$ （定理 2.2.3）
投影是最近点	投影 $\boldsymbol{p}$ 是子空间中离 $\boldsymbol{x}$ 最近的点（定理 2.2.4）
投影矩阵	$P=A(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}$ ； $P^{\mathrm T}=P$ 、 $P^2=P$ 、 $\operatorname{tr}P=r$ 、 $\lVert P\rVert_2=1$ （定理 2.2.5）
判投影	对称 + 幂等即可，不必回到定义式；只幂等不对称的是斜投影
最小二乘	正态方程 $A^{\mathrm T}A\boldsymbol{x}=A^{\mathrm T}\boldsymbol{b}$ ；列满秩时 $\hat{\boldsymbol{x}}=(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}\boldsymbol{b}$ （定理 2.2.6）
残差自检	$A^{\mathrm T}\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}$ （残差落在左零空间）——算完顺手验一下
加权版	$\hat{\boldsymbol{x}}=(A^{\mathrm T}WA)^{-1}A^{\mathrm T}W\boldsymbol{b}$ （定理 2.2.7）

十 · 正交化与 QR（补充篇 2.3）

概念	公式 / 结论
CGS 系数	$r_{ij}=\boldsymbol{q}_i^{\mathrm T}\boldsymbol{a}_j$ （原始列）——正交性损失 $\mathrm{cond}^2u$ ，勿用于生产
MGS 系数	$r_{ij}=\boldsymbol{q}_i^{\mathrm T}\boldsymbol{v}$ （当前列）——损失 $\mathrm{cond},u$ ，一行之差
QR 分解	$A=QR$ ， $Q^{\mathrm T}Q=I$ ， $R$ 上三角； $R$ 对角元为正时唯一（定理 2.3.1、定理 2.3.2）
分层张成	$\operatorname{span}{\boldsymbol{q}_1,\dots,\boldsymbol{q}_k}=\operatorname{span}{\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_k}$ ——QR 区别于 SVD 的关键
Householder	$H=I-2\dfrac{\boldsymbol{v}\boldsymbol{v}^{\mathrm T}}{\boldsymbol{v}^{\mathrm T}\boldsymbol{v}}$ ：对称、正交、 $H^2=I$ 、 $\det H=-1$ （定义 2.3.1、定理 2.3.3）
消元向量	$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{x}+\operatorname{sgn}(x_1)\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\boldsymbol{e}_1$ ， $\alpha=-\operatorname{sgn}(x_1)\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2$ ——取反号是为了避免相近数相减
Givens	$c=x_1/r$ ， $s=x_2/r$ ， $r=\texttt{hypot}(x_1,x_2)$ ； $\det G=+1$ （定义 2.3.2、定理 2.3.4）
正交性损失	CGS $\mathrm{cond}^2u$ ／ MGS $\mathrm{cond},u$ ／ Householder & Givens $u$
复杂度	GS $2mn^2$ ；Householder $2mn^2-\frac23n^3$ ；Givens $\approx6mn^2$
选型口诀	稠密用 Householder，稀疏用 Givens；MGS 在条件数温和且需要显式 $Q$ 时可用
QR 解最小二乘	$R\hat{\boldsymbol{x}}=(Q^{\mathrm T}\boldsymbol{b})_{1:n}$ ， $\lVert\boldsymbol{r}\rVert_2=\lVert\boldsymbol{d}\rVert_2$ ；误差 $\sim\mathrm{cond}(A)u$ vs 正态方程 $\sim\mathrm{cond}(A)^2u$ （定理 2.3.5）

十一 · 条件数与扰动（补充篇 2.4）

概念	公式 / 结论
条件数	$\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$ ； $\mathrm{cond}_2=\sigma_{\max}/\sigma_{\min}$ （定义 2.4.1）
基本性质	$\ge1$ ； $\mathrm{cond}(A^{-1})=\mathrm{cond}(A)$ ； $\mathrm{cond}(cA)=\mathrm{cond}(A)$ ； $\mathrm{cond}_2(Q)=1$ （定理 2.4.1）
右端扰动	$\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol{x}\rVert}{\lVert\boldsymbol{x}\rVert}\le\mathrm{cond}(A)\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol{b}\rVert}{\lVert\boldsymbol{b}\rVert}$ （定理 2.4.2）
系数扰动	$\dfrac{\lVert\delta\boldsymbol{x}\rVert}{\lVert\boldsymbol{x}\rVert}\le\dfrac{\mathrm{cond}(A)}{1-\mathrm{cond}(A)\rho_A}(\rho_A+\rho_b)$ ，需 $\mathrm{cond}\cdot\rho_A\lt1$ （定理 2.4.3）
有效数字损失	$k\approx\log_{10}\mathrm{cond}(A)$ ——能保住几位的定量答案
残差 ≠ 误差	$\boldsymbol{e}=A^{-1}\boldsymbol{r}$ ， $\dfrac{\lVert\boldsymbol{e}\rVert}{\lVert\boldsymbol{x}\rVert}\le\mathrm{cond}(A)\dfrac{\lVert\boldsymbol{r}\rVert}{\lVert\boldsymbol{b}\rVert}$ （定理 2.4.4）
两个阈值	$\mathrm{cond}\gtrsim10^{8}\approx u^{-1/2}$ ：弃正态方程； $\mathrm{cond}\gtrsim10^{16}\approx u^{-1}$ ：双精度无解

十二 · 谱理论（补充篇 2.5）

概念	公式 / 结论
特征值与不变量	$A\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{v}$ ； $\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i$ ， $\det A=\prod\lambda_i$ （定义 2.5.1）
谱半径	$\rho(A)=\max_i\lvert\lambda_i\rvert$ ； $\rho(A)\le\lVert A\rVert$ （任一相容范数），反向一般不成立（定理 2.5.1）
Gerschgorin	$\lvert\lambda-a_{ii}\rvert\le\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert$ ；连通并集含同样多个特征值（定理 2.5.2）
对角占优	$\lvert a_{ii}\rvert\gt\sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert\ \forall i\Rightarrow A$ 非奇异
Rayleigh 商	$R(\boldsymbol{x})=\dfrac{\boldsymbol{x}^{\mathrm T}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}}$ ； $\lambda_{\min}=\min R\le R(\boldsymbol{x})\le\max R=\lambda_{\max}$ （定义 2.5.2、定理 2.5.4）
Courant–Fischer	$\lambda_k=\max_{\dim S=k}\min_{\boldsymbol{0}\ne\boldsymbol{x}\in S}R(\boldsymbol{x})$ ——全部中间特征值的变分刻画（定理 2.5.5）
幂法收敛	向量 $O(\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^k)$ ；Rayleigh 商 $O(\lvert\lambda_2/\lambda_1\rvert^{2k})$ （定理 2.5.3）
对称扰动	$\lvert\lambda_i(A+E)-\lambda_i(A)\rvert\le\lVert E\rVert_2$ （Weyl，定理 2.5.6）
一般扰动	$\le\mathrm{cond}_2(V)\lVert E\rVert_2$ （Bauer–Fike）
重特征值	非正规 $k$ 重根：移动 $O(\lVert E\rVert^{1/k})$ ——固有病态，换算法无效

十三 · SVD 与低秩逼近（补充篇 2.6）

概念	公式 / 结论
SVD	$A=U\Sigma V^{\mathrm T}$ ， $\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r\gt0$ ； $A\boldsymbol{v}_i=\sigma_i\boldsymbol{u}_i$ ， $A^{\mathrm T}\boldsymbol{u}_i=\sigma_i\boldsymbol{v}_i$ （定理 2.6.1）
与特征值	$A^{\mathrm T}A\boldsymbol{v}_i=\sigma_i^2\boldsymbol{v}_i$ ； $AA^{\mathrm T}\boldsymbol{u}_i=\sigma_i^2\boldsymbol{u}_i$
四个子空间	$C(A)=\operatorname{span}{\boldsymbol{u}_1..\boldsymbol{u}_r}$ ； $N(A^{\mathrm T})=\operatorname{span}{\boldsymbol{u}_{r+1}..\boldsymbol{u}_m}$ ； $C(A^{\mathrm T})=\operatorname{span}{\boldsymbol{v}_1..\boldsymbol{v}_r}$ ； $N(A)=\operatorname{span}{\boldsymbol{v}_{r+1}..\boldsymbol{v}_n}$ （定理 2.6.2）
范数与条件数	$\lVert A\rVert_2=\sigma_1$ ； $\lVert A\rVert_F=\sqrt{\sum\sigma_i^2}$ ； $\mathrm{cond}_2=\sigma_1/\sigma_r$ ； $\lvert\det A\rvert=\prod\sigma_i$
外积形式	$A=\sum_{i\le r}\sigma_i\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{v}_i^{\mathrm T}$ ——秩 1 矩阵按重要性叠加
伪逆	$A^{+}=V\Sigma^{+}U^{\mathrm T}$ ；Penrose 四条件；列满秩 $A^{+}=(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}$ （定义 2.6.1、定理 2.6.3）
秩亏最小二乘	$\hat{\boldsymbol{x}}=A^{+}\boldsymbol{b}$ 是最小范数最小二乘解（唯一）
Eckart–Young	$\min_{\operatorname{rank}B\le k}\lVert A-B\rVert_2=\lVert A-A_k\rVert_2=\sigma_{k+1}$ ；F-范数版 $=\sqrt{\sum_{i\gt k}\sigma_i^2}$ （定理 2.6.4）
数值秩	$#{i:\sigma_i\gt t\sigma_1}$ ， $t$ 按数据噪声水平选，不能照抄库的默认值
迹不等式	$\lvert\operatorname{tr}(A^{\mathrm T}B)\rvert\le\sum_i\sigma_i(A)\sigma_i(B)$ （例 2.6.4）

四种记忆框架

上面 13 张表不好整块背；按这四组记，每组一个动作，够了：

框架	内容	对应本页
误差三件套	$\varepsilon$ （差多少）· $\varepsilon_{\mathrm r}$ （差的比例）· $k\approx\log_{10}\mathrm{cond}$ （能信几位）	一、四、十一
四原则	稳定性看方向 · 防吞噬（先小后大）· 防相消（先改写）· 防小除数（换尺度）	三
正交化解	稠密 Householder · 稀疏 Givens · 最小二乘用 QR · 低秩与秩亏用 SVD	十
两把尺	$\lVert A\rVert\lt1\Rightarrow$ 可逆 + Neumann 收敛； $\mathrm{cond}\gtrsim10^{8}$ 换 QR、 $\gtrsim10^{16}$ 换问题	七、十一

三句话带走全部

先问病态，再问算法。 条件数是问题的属性，稳定性是算法的属性；诊断顺序一错，努力全白费（1.2.6 的表）。
有效数字是最诚实的货币。 一次相近数相减、一个小除数、一次大小悬殊的求和，都能让打印出的 17 位只剩 1~2 位真话。
$\lVert A\rVert\lt1$ 是一张万能保票。 同时给出 $I\pm A$ 可逆、逆有界、Neumann 级数收敛、迭代误差几何衰减——第 2 章的迭代法全靠它起步。

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