术语索引 · 中英对照

按主题分组。中文列是你在书里会看到的中文术语，英文列是英文对照（读英文教材、查库文档、看论文时用），「一句话」列给白话解释，出处列是定义出现的准确位置——不是页码，是可点击的编号。查概念时先在这里定位，再跳过去读定义。

本页覆盖第一章 + 补充篇（矩阵工具箱）；老师主线第 2–5 章的术语以讲座页为准，讲座页的“课堂口述与标准术语对照”另收口误/同音词。

这一页只回答「叫什么、在哪」——公式在别处

这一页不放公式，只给术语名、英文、一句白话解释和定义位置。要查公式与结论去公式与结论卡；要辨析易混概念去易混对照卡。

分工是刻意的：术语索引解决「我想查的东西叫什么名字、定义在哪」，公式卡解决「这个结论怎么写」。两页放同样的内容，既让人不知道查哪页，也会两处一起过期。

同义说法也收在这一页（如「谱范数 = 2-范数 = 最大奇异值」「舍入误差 = 计算误差」），所以忘了叫法也能找到。

一 · 误差与浮点

中文	English	一句话	出处
模型误差	model error	数学模型与所描述的实际问题之间的差	定义 1.2.1
观测误差	observation error	观测数据与真实数据的差	定义 1.2.2
截断误差（方法误差）	truncation error	也叫方法误差：无穷过程截成有限步造成的差	定义 1.2.3
舍入误差（计算误差）	rounding / roundoff error	也叫计算误差：有限字长存不下数造成的差	定义 1.2.4
绝对误差 / 误差限	absolute error / error bound	近似值与真值之差（绝对误差），以及该差绝对值的上界（误差限）	定义 1.2.5
相对误差 / 相对误差限	relative error / bound	误差占近似值的比例（相对误差），以及该比例的上界（相对误差限）	定义 1.2.6
有效数字	significant digits	从首位非零数字数起、敢担保的位数	定义 1.2.7
算法	algorithm	从输入算出解的一个有限基本运算序列	定义 1.2.8
数值稳定性	numerical stability	算法能控制舍入误差的传播、不把它放大	定义 1.2.9
浮点数集	floating-point set	字长有限时可精确表示的数集	定义 1.2.10
机器精度	machine epsilon	1 附近相邻浮点数之间「一步能迈多大」的相对刻度	定义 1.2.10
单位舍入误差	unit roundoff	每次浮点运算相对误差的上界，双精度约 $10^{-16}$	定义 1.2.10
向前误差	forward error	结果离真值多远	定义 1.2.11
向后误差	backward error	把计算结果看作精确解所需的最小输入扰动	定义 1.2.11
向后稳定	backward stable	算法的向后误差与机器舍入同量级	1.2.6
条件数（函数）	condition number	函数层面的敏感度：输入相对扰动传到输出的放大倍数	1.2.6
灾难性抵消	catastrophic cancellation	相近数相减导致有效数字大量丢失	例 1.2.7
大 $O$ 记号	big-O notation	刻画计算量随规模增长的阶，忽略常数因子	1.2.4
计算复杂性	computational complexity	达到给定精度所需的时间与空间	1.2.4

二 · 范数

中文	English	一句话	出处
向量范数	vector norm	满足正定、齐次、三角不等式的「长度」	定义 1.3.1
1-范数 / 2-范数 / ∞-范数	1-, 2-, ∞-norm	绝对值之和（1-范数）/ 欧氏长度（2-范数）/ 最大分量（∞-范数）	定理 1.3.1
欧几里得范数	Euclidean norm	和 2-范数指同一个东西，也叫欧氏范数	定理 1.3.1
$p$ -范数	$p$ -norm	一族范数，1、2、∞ 都是它的特例	定理 1.3.2
范数等价	equivalence of norms	任意两种范数互相双向夹住，收敛结论不变	定理 1.3.3
矩阵范数	matrix norm	满足四公理的矩阵「大小」；比向量范数多一条次可乘性	定义 1.3.2
次可乘性	submultiplicativity	矩阵乘积的范数不超过范数之积（只保证 $\le$ 方向）	定义 1.3.2
相容性（适配）	compatible	两种叫法指同一个东西：矩阵范数与向量范数配对时成立的那条不等式	定义 1.3.3
从属范数 / 算子范数	subordinate / operator norm	两种叫法指同一个东西：由向量范数诱导出的矩阵范数，即最大拉伸倍数	定理 1.3.4
列范数 / 行范数	column-sum / row-sum norm	矩阵 1-范数按列和算（列范数），∞-范数按行和算（行范数）	定理 1.3.5
谱范数	spectral norm	谱范数、2-范数、最大奇异值指同一个东西	定理 1.3.5
Frobenius 范数（Euclid 范数）	Frobenius norm	和 Euclid 范数指同一个东西：全部元素平方和开方；相容但不从属	定义 1.3.4
反三角不等式	reverse triangle inequality	两个向量长度之差，不超过它们作差所得向量的长度	1.3.1
谱半径	spectral radius	矩阵特征值模的最大值；不超过任一相容范数	定义 2.5.1
Neumann 级数	Neumann series	矩阵版的等比级数：矩阵范数小于 1 时，逆矩阵可按它展开	定理 1.3.7

三 · 内积与正交

中文	English	一句话	出处
内积 / 内积空间	inner product / inner product space	内积是满足对称、线性、正定的二元函数；装上内积的向量空间叫内积空间	定义 2.1.1
加权内积	weighted inner product	用正定矩阵加权的内积	例 2.1.1
诱导范数	induced norm	由内积定义的范数	定理 2.1.1
平行四边形恒等式	parallelogram identity	判定一个范数是否来自内积的判据	定理 2.1.2
极化恒等式	polarization identity	由范数反算内积	定理 2.1.2
正交	orthogonal	两个向量正交，指它们的内积为零	定义 2.1.2
标准正交组 / 标准正交基	orthonormal set / basis	组内向量两两正交且都是单位向量；若这组向量还构成基，就称标准正交基	定义 2.1.2
正交矩阵	orthogonal matrix	列向量标准正交的方阵；保内积、保范数，条件数为 1	定义 2.1.3
正交变换	orthogonal transformation	用正交矩阵做的变换，不放大误差	定理 2.1.6
正交不变性	orthogonal invariance	左乘正交阵不改变 2-范数与 F-范数	定理 2.1.6
Parseval 恒等式	Parseval’s identity	标准正交基下，范数的平方等于各坐标平方和	定理 2.1.4

四 · 子空间与投影

中文	English	一句话	出处
列空间（值域）	column space / range	也叫值域： $A$ 作用于全空间得到的像	定义 2.2.1
零空间（核）	null space / kernel	也叫核：被 $A$ 映为零向量的全体向量	定义 2.2.1
行空间	row space	$A^{\mathrm T}$ 的列空间	定义 2.2.1
左零空间	left null space	$A^{\mathrm T}$ 的零空间	定义 2.2.1
秩定理	rank–nullity theorem	矩阵的秩与零空间维数之和等于它的列数	定理 2.2.1
正交补	orthogonal complement	与子空间中每个向量都正交的向量全体	定义 2.2.2
正交分解	orthogonal decomposition	全空间写成列空间与左零空间的直和	定理 2.2.3
投影矩阵	projection matrix	把向量投到列空间的矩阵；它既对称又幂等	定理 2.2.5
斜投影	oblique projection	幂等但不对称的投影，残差不再垂直于目标子空间	定理 2.2.5
最小二乘	least squares	让残差 2-范数最小的解	定义 2.2.3
正态方程	normal equations	最小二乘解所满足的方程组	定理 2.2.6
加权最小二乘	weighted least squares	换一个内积重新做最小二乘，公式结构不变	定理 2.2.7
残差	residual	右端向量减去算得的像	定理 2.4.4

五 · 分解与正交化

中文	English	一句话	出处
经典 Gram–Schmidt	classical Gram–Schmidt (CGS)	用原始列算系数；正交性损失大	定理 2.3.1
修正 Gram–Schmidt	modified Gram–Schmidt (MGS)	用当前列算系数；稳定性好一个条件数	2.3.3
QR 分解	QR factorization	拆成一个正交阵乘一个上三角阵	定理 2.3.2
Householder 反射（初等反射矩阵）	Householder reflection	也叫初等反射矩阵：镜像变换，一次消掉一整列	定义 2.3.1
反射向量	Householder vector	确定镜面的法向量；符号的选择是为避免相近数相减	定义 2.3.1
Givens 旋转	Givens rotation	平面旋转，一次只消一个元素；保定向	定义 2.3.2
列主元 QR	column-pivoted QR	按列范数选主元的 QR，顺带给出秩的估计	定理 2.3.2
全 QR	full QR	把瘦 QR 的 $Q$ 补足成一个正交方阵	定理 2.3.2
奇异值分解	singular value decomposition (SVD)	正交 – 对角 – 正交的分解	定理 2.6.1
奇异值	singular value	$A^{\mathrm T}A$ 特征值的非负平方根，降序排列	定理 2.6.1
瘦 / 满 SVD	economy / full SVD	只留秩那么多列的叫瘦 SVD， $U,V$ 都是方阵的叫满 SVD	2.6.1
Moore–Penrose 伪逆	pseudoinverse	非零奇异值取倒数、零保持零得到的广义逆	定义 2.6.1
Penrose 四条件	Penrose conditions	唯一刻画伪逆的四条等式	定理 2.6.3
Eckart–Young 定理	Eckart–Young theorem	截断 SVD 是 2-范数与 F-范数下的最优秩 $k$ 逼近	定理 2.6.4
低秩逼近	low-rank approximation	截断 SVD：前 $k$ 项外积之和	定理 2.6.4
数值秩	numerical rank	按阈值数非零奇异值的个数；该阈值须按噪声水平选取	2.6.4
核范数	nuclear norm	奇异值之和	例 2.6.4
主成分分析	principal component analysis (PCA)	用 SVD 找出数据方差最大的方向	2.6.6
填充	fill-in	稀疏矩阵分解时新产生的非零元	2.3.5

六 · 条件数与谱

中文	English	一句话	出处
条件数（矩阵）	condition number	矩阵范数与其逆矩阵范数之积；衡量矩阵问题的固有敏感度	定义 2.4.1
谱条件数	spectral condition number	2-范数下的条件数，等于首末奇异值之比	定义 2.4.1
成分条件数 / Skeel 条件数	componentwise / Skeel condition number	两种叫法指同一个东西：元素扰动下的正确度量，用绝对值矩阵定义	2.4.4
特征值 / 特征向量	eigenvalue / eigenvector	$A$ 只做伸缩的方向（特征向量），及伸缩的倍数（特征值）	定义 2.5.1
谱	spectrum	全部特征值的集合	定义 2.5.1
Gerschgorin 圆盘	Gerschgorin disk	由对角元与同行非对角元之和围出的圆盘，特征值都落在其中	定理 2.5.2
严格对角占优	strictly diagonally dominant	对角元大于同行其余元素绝对值之和，则矩阵非奇异	定理 2.5.2
Rayleigh 商	Rayleigh quotient	二次型与向量范数平方之比；矩阵对称时，它给出特征值的上下界	定义 2.5.2
Courant–Fischer 极小极大原理	Courant–Fischer min-max	全部特征值的变分刻画	定理 2.5.5
幂法	power method	迭代求按模最大的特征值的方法	定理 2.5.3
反幂法	inverse iteration	求最接近给定 $\mu$ 的特征值	2.5.3
Weyl 不等式	Weyl’s inequality	对称矩阵特征值的绝对扰动界	定理 2.5.6
Bauer–Fike 定理	Bauer–Fike theorem	一般矩阵的谱扰动界，含特征向量矩阵的条件数	定理 2.5.6
非正规矩阵	nonnormal matrix	特征向量不正交；它的特征值对扰动可开方敏感	例 2.5.6
伪谱	pseudospectrum	非正规矩阵「近似特征值」构成的集合	例 2.5.6

七 · 算法与复杂度（含课堂术语）

中文	English	一句话	出处
秦九韶法（Horner 格式）	Horner’s method	也叫 Horner 格式：把多项式求值降到线性复杂度	1.2.4
高斯消去法	Gaussian elimination	初等行变换化成上三角再回代	第 3 讲
列主元高斯消去法	Gaussian elimination with partial pivoting	每步选绝对值最大的主元，使乘数不超过 1	第 3 讲
回代 / 前代	backward / forward substitution	回代解上三角方程组，前代解下三角方程组	第 4 讲
LU 分解（Doolittle）	LU factorization	也叫 Doolittle 分解：一次分解，反复用于不同右端	第 4 讲
追赶法	Thomas algorithm	三对角方程组的线性复杂度解法	第 4 讲
矩阵分裂	matrix splitting	把矩阵拆成「好求逆的部分」与剩余部分	第 4 讲
迭代矩阵	iteration matrix	迭代格式的系数矩阵；迭代收敛当且仅当它的谱半径小于 1	第 5 讲
谱半径判据	spectral radius criterion	迭代收敛的充要条件：迭代矩阵的谱半径小于 1	第 5 讲
先验 / 后验误差估计	a priori / a posteriori estimate	先验估计用初值，后验估计用相邻迭代差	第 5 讲
Jacobi 迭代	Jacobi iteration	按对角 / 非对角分裂	第 5 讲
Gauss–Seidel 迭代	Gauss–Seidel iteration	按上 / 下三角分裂，新分量立刻投入使用	第 5 讲
逐次超松弛法	successive over-relaxation (SOR)	用松弛因子加权；取 1 退化为 Gauss–Seidel	第 6 讲
松弛因子	relaxation parameter	SOR 的参数；落在 $(0,2)$ 之外必不收敛	第 6 讲
Ostrowski 定理	Ostrowski’s theorem	对称正定时 SOR 的收敛范围放宽到 $(0,2)$	第 6 讲
幂法	power method	每步「先单位化再乘 $A$ 」，迭代出按模最大的特征值及其特征向量	第 7 讲
反幂法	inverse power method	对 $A^{-1}$ 用幂法求按模最小的特征值；实际每步解 $Au_{k+1}=y_k$	第 7 讲
位移反幂法	shifted inverse iteration	对 $A-pI$ 用反幂法，求最接近已知近似 $p$ 的特征值，结果再加回 $p$	第 7 讲
二分法	bisection method	连续函数两端异号即折半定位；误差随区间长 $(b-a)/2^n$ 下降	第 7 讲
不动点迭代	fixed-point iteration	把 $f(x)=0$ 改写为 $x=\varphi(x)$ 后迭代，极限即不动点	第 7 讲
压缩映射	contraction mapping	$\lvert\varphi'\rvert\le L\lt1$ ；与「自映射」一起保证收敛到唯一不动点	第 7 讲
Krylov 子空间方法	Krylov subspace method	GMRES 等大规模迭代解法	第 4 讲

八 · 记法速查

只列纯记法约定；符号的含义见前七节或符号表。

记号	读法 / 含义	出处
$\boldsymbol{x}$ 、 $A$	向量用粗体小写，矩阵用大写斜体	符号表
$C(A)$ 、 $N(A)$	列空间、零空间（也可写 $\operatorname{Ran}A$ 、 $\operatorname{Null}A$ ）	符号表
$\lVert\cdot\rVert$	不指明哪一种范数时的泛指记号	符号表
$\sigma_i(A)$ 、 $\rho(A)$	奇异值（降序）、谱半径	符号表
$u$ 、 $\mathrm{eps}$	单位舍入误差、机器精度（前者是后者的一半）	符号表
$m_{ik}$	高斯消去的消元乘数	第 3 讲
$\omega$	SOR 的松弛因子	第 6 讲
$u_k$ 、 $y_k$	幂法中的迭代向量、其单位化向量	第 7 讲
$p$	位移反幂法中的位移量（目标特征值的已知近似）	第 7 讲

讲座页的记号差异

课堂精编为忠实还原创课板书，有三处与正文不同：向量写作斜体 $x$ 、误差限用 $\varepsilon_x$ 、 $P$ 兼作分裂剩余与特征向量矩阵（ $D$ 兼作常数与对角块）。完整登记见课堂精编导览。

Keyboard shortcuts

数值分析 · 定制教程