第 7 讲（09-28）：幂法——规范化、特征值的算法与反幂法；非线性方程迭代法开篇

课堂实录精编。本讲无课件、全程板书（课件流整段「无视频信号」），承接 第 6 讲末尾留下的问题——「求按模最大的特征值及其特征向量」—— 主线四段：幂法的收敛性——实矩阵按模严格最大的特征值必为实数（共轭特征值 反证），$A^ku_0$ 中非主特征分量相对衰减，但绝对量仍大且 $\lambda_1^k$ 会溢出， 于是每步先单位化再乘 $A$，回推得 $y_k\to\alpha_1x_1/\lVert\alpha_1x_1\rVert$； 特征值的算法——特征向量到手后再作用一次 $A$，取 2-范数时 $y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$（内积 = 欧氏长度平方），范数取 $\infty$-范数 则另作讨论；反幂法与位移——把「模最小」用 $A^{-1}$ 翻成「模最大」（实际计算 每步解 $Au_{k+1}=y_k$），再用位移 $A-pI$ 把「最接近已知近似 $p$」的目标特征值 变成模最小的，三者统一为同一套算法；非线性方程开篇——$f(x)=0$ 等价变形为 $x=\varphi(x)$ 的迭代，先复习二分法（介值定理 + 区间折半），再给出不动点迭代的 收敛定理，并当堂证明不动点的存在性（唯一性与压缩条件留到下一讲）。 对应原书第 3 章（特征值与特征向量计算）与第 4 章（非线性方程）的引入部分。 原始转写存档于仓库根目录 transcripts/（源文件，不随书构建发布）； 本页公式逐条对照教师摄像头板书关键帧核对（板书全程为绿板粉笔手写，见下文各节 「板书」标注）。

课堂时间线

一、问题设定与基本思想（01:53–08:16）

第 6 讲末尾从薛定谔方程的能级计算引出「求按模最大的特征值」。本讲 开场先把问题写清楚（板书①）：

$$A\ \text{为实矩阵},\qquad |\lambda_1|\gt|\lambda_2|\ge|\lambda_3|\ge\cdots\ge|\lambda_n|, \qquad x_1,x_2,\dots,x_n\ \text{互异},$$

「我们要计算的情况是：$A$ 是实矩阵，并且有一个（特征）根，它的绝对值要严格大于 其他所有特征根。」特征向量互异是假设，用来保证 $x_1,\dots,x_n$ 线性无关、能张成整个 空间——「因为 $A$ 的特征（向量）是能张成整个空间的，所以我随便给一个初始向量， 它一定可以由这些特征向量线性表示」。任取非零初始向量

$$u_0=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n .$$

由 $Ax_i=\lambda_ix_i$ 得 $A^kx_i=\lambda_i^kx_i$（板书把三条并列写出： $Ax_i=\lambda_ix_i$、$A^kx_i=\lambda_i^kx_i$、$A^nx_i=\lambda_i^nx_i$），于是（板书逐行写出）：

$$A^ku_0=\alpha_1A^kx_1+\alpha_2A^kx_2+\cdots+\alpha_nA^kx_n =\alpha_1\lambda_1^kx_1+\alpha_2\lambda_2^kx_2+\cdots+\alpha_n\lambda_n^kx_n,$$

提出公因子 $\lambda_1^k$：

$$\boxed{\ A^ku_0=\lambda_1^k\Bigl[\alpha_1x_1+\alpha_2\Bigl(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Bigr)^kx_2 +\cdots+\alpha_n\Bigl(\frac{\lambda_n}{\lambda_1}\Bigr)^kx_n\Bigr]\ }$$

因为 $|\lambda_1|$ 严格最大，每个 $|\lambda_i/\lambda_1|\lt1\ (i\ge2)$，括号里除第一项外 全部随 $k$ 衰减——主特征分量逐渐占据主导。「这就是我们要的效果。」

但有两个问题（老师特意在此停顿，第 14 分钟起展开）：

1. 相对衰减 ≠ 绝对衰减。其他分量只是占比在缩小，其绝对数值仍然不小， 「并没有起到把其他那些组分消除掉的作用」；
2. 溢出。整个括号还被 $\lambda_1^k$ 乘着，「如果这个 $\lambda_1$ 的绝对值很大， 那前面这一整块就都变成一个很大的数」——计算过程中增长过快，机器装不下 （$|\lambda_1|\lt1$ 时反向下溢）。

「现在我们要设计一种算法……把其他这些组分真正滤掉，把前面的 $\alpha_1$ 也算出来，并且不出现增长很快的情况。」

二、$\lambda_1$ 必为实数（08:16–14:00）

在设计算法之前，先补一个性质：实矩阵按模严格最大的特征值一定是实数。

设 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ 为特征多项式。$A$ 是实矩阵 $\Rightarrow$ 各系数为实：

$$f(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0,\qquad a_n,\dots,a_0\in\mathbb R .$$

$\lambda_1$ 是它的根：$a_n\lambda_1^n+a_{n-1}\lambda_1^{n-1}+\cdots+a_0=0$。

反设 $\lambda_1$ 不是实数，即 $\operatorname{Im}\lambda_1\neq0$，则其共轭 $\overline{\lambda_1}\neq\lambda_1$（共轭把虚部符号反过来，必与原数不同）。对上式两边取 共轭，用两条性质——乘积的共轭 = 共轭的乘积、实数的共轭是自身（$a_i\in\mathbb R$）：

$$a_n\overline{\lambda_1}^{,n}+a_{n-1}\overline{\lambda_1}^{,n-1}+\cdots+a_0=0 .$$

这说明 $\overline{\lambda_1}$ 也是 $A$ 的特征值。而

$$|\overline{\lambda_1}|=|\lambda_1|,\qquad \overline{\lambda_1}\neq\lambda_1,$$

于是出现两个模相等的特征值，且它们的模都等于最大值——与「$\lambda_1$ 的模严格大于 其他所有特征值的模」矛盾。故 $\lambda_1\in\mathbb R$。$\blacksquare$

这条结论的实际意义：$\lambda_1$ 是实数，故 $\lambda_1^k$ 只会单调增长或正负交替， 不会出现复数旋转；后面的极限分析只需分 $\lambda_1\gt0$ 与 $\lambda_1\lt0$ 两种情形。

三、两个障碍与「单位化」的动机（14:00–19:30）

回到第 1 节的两个问题。最直观的办法是每算一步就把迭代向量拉回单位长度：

「我不想让迭代向量在迭代过程中长得太快，最直观的办法就是——我每做一次（乘 $A$）， 就给它单位化一次。」

单位化即除以自身的范数：$y=\dfrac{u}{\lVert u\rVert}$。范数取哪一种都行：

$$\Bigl\lVert\frac{u}{\lVert u\rVert}\Bigr\rVert =\frac{1}{\lVert u\rVert},\lVert u\rVert=1 \qquad(\text{范数齐次性：}\lVert cu\rVert=|c|,\lVert u\rVert,\ c\ \text{为实数}).$$

老师把这一步单独强调了一遍：分母 $\lVert u\rVert$ 是一个实数，可以按齐次性提到范数号外， 里外两个范数是同一种范数，相消即为 $1$。「我这么做，就是为了让它的长度是 1。 因为所有向量范数都是等价的，你这个长度是 1，其他范数下的长度也就是有界的、跑不出去。」

四、规范化幂法：先单位化，再乘 $A$（19:30–29:00）

算法（板书框出）：

$$\begin{cases} u_0\ \text{任取（非零）}\[2pt] y_k=\dfrac{u_k}{\lVert u_k\rVert}\[4pt] u_{k+1}=A,y_k \end{cases}\qquad k=0,1,2,\dots$$

板书写作 $u_k=Ay_{k-1}$、$y_k=u_k/\lVert u_k\rVert$，并顺手列出头两步 $u_1=Ay_0,\ y_1=u_1/\lVert u_1\rVert$、$u_2=Ay_1,\ y_2=u_2/\lVert u_2\rVert$ 作示范—— 与上式是同一个递推，只是下标起点不同。

顺序是关键：「你要记住是先单位化，单位化之后的那个东西我再给它乘 $A$， 而不是直接就往上乘 $A$。」直接累乘 $A$ 就是第 1 节那个会溢出的版本；本算法每乘一次 $A$ 就立刻把结果拉回单位长度，于是「它就不会长得太快」。

收敛性推导（板书：一步步倒推）。要看清 $y_k$ 的极限，先问：$y_k$ 是从哪来的？

• $y_k$ 是 $u_k$ 的单位化：$y_k=\dfrac{u_k}{\lVert u_k\rVert}$；
• 由算法，$u_k=A,y_{k-1}$，故 $y_k=\dfrac{Ay_{k-1}}{\lVert Ay_{k-1}\rVert}$；
• 而 $y_{k-1}$ 又是 $u_{k-1}$ 的单位化，$u_{k-1}=Ay_{k-2}$……

一路回推到 $u_0$，中间那些 $\lVert\cdot\rVert$ 都是常数，可按齐次性提到范数号外并 逐次相消，最终只剩

$$y_k=\frac{A^ku_0}{\lVert A^ku_0\rVert}.$$

板书把这一串等式完整写成一列：

$$y_k=\frac{u_k}{\lVert u_k\rVert}=\frac{A^ku_0}{\lVert A^ku_0\rVert} =\frac{\lambda_1^k\bigl[\alpha_1x_1+\sum_{i\ge2}\alpha_i(\lambda_i/\lambda_1)^kx_i\bigr]} {|\lambda_1|^k\bigl\lVert\alpha_1x_1+\sum_{i\ge2}\alpha_i(\lambda_i/\lambda_1)^kx_i\bigr\rVert} =\Bigl(\frac{\lambda_1}{|\lambda_1|}\Bigr)^{k} \frac{\alpha_1x_1+\sum_{i\ge2}\alpha_i(\lambda_i/\lambda_1)^kx_i} {\bigl\lVert\alpha_1x_1+\sum_{i\ge2}\alpha_i(\lambda_i/\lambda_1)^kx_i\bigr\rVert}.$$

（第二、三步把标量 $\lambda_1^k$ 按范数齐次性提到分母，得 $|\lambda_1|^k$。） 令 $k\to\infty$，括号中除第一项外全部趋零，于是

$$\boxed{\ y_k\ \longrightarrow\ \Bigl(\frac{\lambda_1}{|\lambda_1|}\Bigr)^{k} \frac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert}\ }$$

分两种情形：

$\lambda_1\lt0$ 时迭代值不断变号，「但说白了，它还是你的特征向量，只不过在迭代过程中 符号一直在变来变去」——不影响迭代值仍是 $x_1$ 的单位向量。

五、特征值的计算：为什么必须取 2-范数（29:00–44:00）

特征向量已经到手，特征值怎么求？ 「你已经有了特征向量，那在这个特征向量上再 作用一个 $A$，特征值不就出来了」：

$$Ay_k\ \longrightarrow\ \lambda_1\cdot\frac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert}\qquad(\lambda_1\gt0).$$

但直接取 $Ay_k$ 与 $y_k$ 的对应分量之比会被 $(-1)^k$ 干扰，需要一个对称的组合。 取 2-范数，并注意 2-范数单位化保证 $\lVert y_k\rVert_2=1$，于是 $y_k^{\mathrm T}y_k=\lVert y_k\rVert_2^2=1$，计算

$$\frac{y_k^{\mathrm T}(Ay_k)}{y_k^{\mathrm T}y_k}=y_k^{\mathrm T}Ay_k .$$

代入极限看它趋于什么（以 $\lambda_1\gt0$ 为例）：

$$y_k\to\frac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2},\qquad Ay_k\to\frac{\lambda_1\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2},$$

$$\frac{y_k^{\mathrm T}(Ay_k)}{y_k^{\mathrm T}y_k}\ \longrightarrow\ \frac{\dfrac{\alpha_1^2\lambda_1,x_1^{\mathrm T}x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2^2}} {\dfrac{\alpha_1^2,x_1^{\mathrm T}x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2^2}}=\lambda_1 \qquad\text{（分子分母都有 }x_1^{\mathrm T}x_1\text{，相消）}.$$

板书把两种情形并排写成一个大括号（左边先写 $\lVert\cdot\rVert=\lVert\cdot\rVert_2$ 作为前提）：

$$y_k^{\mathrm T}Ay_k\ \xrightarrow[\ k\to\infty\ ]{}\ \begin{cases} \Bigl(\dfrac{\lambda_1\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2}\Bigr)\cdot \Bigl(\dfrac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2}\Bigr) =\lambda_1\dfrac{\alpha_1^2x_1^{\mathrm T}x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2^2} =\lambda_1\dfrac{\alpha_1^2\lVert x_1\rVert_2^2}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2^2}=\lambda_1, &\lambda_1\gt0\[8pt] (-1)^k\dfrac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2}\cdot(-1)^k \dfrac{\lambda_1\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2} =\lambda_1\dfrac{\alpha_1^2x_1^{\mathrm T}x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert_2^2}=\lambda_1, &\lambda_1\lt0 \end{cases}$$

（第二支里两个 $(-1)^k$ 相乘即为 $1$，与第一支完全一样。）板书在这块区域的第三行 另写了「$\lVert\cdot\rVert=\lVert\cdot\rVert_\infty$」，提示范数换成 $\infty$-范数时 公式要另作调整——留给同学自己验算。

为什么 $x_1^{\mathrm T}x_1$ 恰好是「长度的平方」：三维例子最直观——设 $f_1=(x,y,z)$，则

$$f_1\cdot f_1=x^2+y^2+z^2,\qquad \lVert f_1\rVert_2^2=\Bigl(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Bigr)^2=x^2+y^2+z^2 .$$

两者是同一个数。一般地 $x_1^{\mathrm T}x_1=\lVert x_1\rVert_2^2$，于是上式分子分母完全相同。

$\lambda_1\lt0$ 时 $y_k$ 与 $Ay_k$ 各带一个 $(-1)^k$，点乘时两次相消，结果同样是 $\lambda_1$。于是

$$\boxed{\ \lim_{k\to\infty}y_k^{\mathrm T}Ay_k=\lambda_1\ }\qquad(\text{仅当范数取 2-范数}).$$

六、定理与计算方案（44:00–46:50；54:46–58:00）

计算方案（板书框出）：

$$\textbf{算法（幂法）}\qquad \begin{cases} u_0\ \text{任取}\ y_k=u_k/\lVert u_k\rVert &\text{范数任取}\ u_{k+1}=Ay_k \end{cases}$$

定理（板书总结，原文照录）：

$$\textbf{定理}\quad A\ \text{是实矩阵},\quad |\lambda_1|\gt|\lambda_2|\ge\cdots\ge|\lambda_n|,\quad(\lambda_i\ \text{实});$$

则任取非零 $u_0=\sum_i\alpha_ix_i$（分解存在但不必知道），按上式迭代，有

$$(\mathrm i)\quad y_k\to\frac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert}\ (\lambda_1\gt0),\qquad y_k\to(-1)^k\frac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert}\ (\lambda_1\lt0);$$

$$(\mathrm{ii})\quad \text{取 2-范数时}\quad y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1 .$$

「虽然 $u_0$ 是任取的、$\alpha_i$ 是任意的，但是不影响我最后得到的结论。」

$\infty$-范数下的补充（老师说算法要「稍微换一下」）：若改取 $\infty$-范数， 特征向量的极限不变（单位化只是把长度拉回 1，与范数种类无关），但特征值的提取公式 需相应改动——「如果你不用这个二范数，就改用这个……最后出来的就是你要的那个绝对 值最大的特征值」，细节留给同学自行验算。 下面把另外两种目标——「模最小」与「最接近已知值」——也化归到幂法。

七、反幂法：把「模最小」翻成「模最大」（58:00–1:07:00）

情况二：$A$ 仍是实矩阵，但有一个特征值 $\lambda_1$ 的模严格最小： $|\lambda_1|\lt|\lambda_i|\ (\forall i\ge2)$。怎么算？

思路：仍想用已经设计好的幂法——「其实我们只需要把刚刚那个东西稍微变形一下」。

关键观察：$|\lambda_1|$ 最小 $\Rightarrow\lambda_1\neq0\Rightarrow A$ 可逆，而 $A^{-1}$ 的特征值是

$$\frac{1}{\lambda_1},\ \frac{1}{\lambda_2},\ \dots,\ \frac{1}{\lambda_n} \qquad(\text{全部取倒数}),$$

其中 $\Bigl|\dfrac{1}{\lambda_1}\Bigr|$ 最大（因为 $|\lambda_1|$ 严格最小）。 板书按模从大到小排开：设 $|\lambda_n|\ge|\lambda_{n-1}|\ge\cdots\gt|\lambda_1|\gt0$，则

$$\Bigl|\frac{1}{\lambda_1}\Bigr|\gt\Bigl|\frac{1}{\lambda_2}\Bigr|\ge \Bigl|\frac{1}{\lambda_3}\Bigr|\ge\cdots\ge\Bigl|\frac{1}{\lambda_n}\Bigr| .$$

验证特征向量确实不变：由 $Ax_1=\lambda_1x_1$ 两边乘 $\lambda_1^{-1}A^{-1}$，得 $\lambda_1^{-1}x_1=A^{-1}x_1$，即 $x_1$ 是 $A^{-1}$ 关于 $1/\lambda_1$ 的特征向量 （板书把这一行写成 $Ax_i=\lambda_ix_i\Rightarrow\lambda_i^{-1}x_i=A^{-1}x_i$）。

于是「这不就变回咱们刚刚那个问题了」——对 $A^{-1}$ 直接用幂法：

$$y_k=\frac{u_k}{\lVert u_k\rVert},\qquad u_k=A^{-1}y_{k-1}\quad(\text{板书记法}),$$

得到的「模最大特征值」是 $1/\lambda_1$，特征向量仍是 $x_1$（板书把极限写成 $y_k\to\dfrac{(1/\lambda_1)x_1}{\lVert x_1\rVert}$，并同样分 $1/\lambda_1\gt0$ 与 $1/\lambda_1\lt0$ 两支）。要的是 $\lambda_1$，所以最后必须再取一次倒数逆回去：

$$\boxed{\ \lambda_1=\frac{1}{\ \text{幂法算出的值}\ }\ }$$

八、位移反幂法：求最接近已知 $p$ 的特征值（1:07:00–1:15:30）

情况三（量子力学背景）：$A$ 是对称正定（自伴算子离散化）的实矩阵，特征值就是 可观测的能级，按大小排开 $\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\le\lambda_n$。想知道第 $k$ 个 能级 $\lambda_k$，但用解析/半解析方法（如渐近展开）只能得到近似值 $p$，它满足

$$|\lambda_k-p|\lt|\lambda_i-p|\qquad(\forall i\neq k),$$

即 $p$ 离 $\lambda_k$ 最近。「我虽然没办法把 $\lambda_k$ 真实地算出来，但是我可以 算出一个和它足够接近的特征根。」

做法：位移（平移）。板书把能级按大小排开、在目标那一个下面标上 $p$：

$$\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3\le\cdots\le\underset{\uparrow\ p}{\lambda_k}\le\cdots\le\lambda_n, \qquad|\lambda_k-p|\lt|\lambda_i-p|\quad(\forall i\neq k),$$

再记 $\tilde A=A-pI$，考察它的特征值

$$\lambda_1-p,\ \lambda_2-p,\ \dots,\ \lambda_k-p,\ \dots,\ \lambda_n-p .$$

由 $p$ 的选取，$|\lambda_k-p|$ 最小——「是不是就转化为我来求一个最小的特征值？ 把最小的特征值求出来，我再给它加个 $p$，就是我要的那个 $\lambda_k$。」

于是：对 $A-pI$ 用反幂法求出最小的 $\lambda_k-p$ 及其特征向量 $x_k$，再加回 $p$：

$$\boxed{\ \lambda_k=(\lambda_k-p)+p\ }$$

老师把这一步命名为位移法：「我把它移动一下，移动成一个新的矩阵，这个矩阵的 （目标）特征值就是我所有特征值里绝对值最小的，然后我再用刚刚的算法把它解出来， 解出来之后再把 $p$ 加进去，就是我要的。」

三种情况的统一（板书收束）：

「说白了就是：第一种你学会之后，后边这个东西你可以转化成第一种就 OK 了—— 想办法给它转变成第一种。」

九、非线性方程：不动点形式与二分法（1:16:00–1:26:30）

线性方程组部分到此告一段落，下半场转入非线性方程（组）。

问题的形式：求 $f(x)=0$ 的根。为了套用迭代，常把方程改写成等价的不动点形式。 板书在右板另起一块、标题写作「非线性方程（组）迭代算法」，内容是一串等价变形：

$$\begin{cases} f(x)=0\ \Longleftrightarrow\ x=\varphi(x)\ x=x+f(x)\ \phantom{x}=\varphi(x) \end{cases}$$

即变形不唯一，视具体函数而定；最省事的构造是两边同时加 $x$：

$$f(x)=0\ \Longleftrightarrow\ x+f(x)=x\ \Longrightarrow\ \varphi(x)=x+f(x).$$

「我举这个例子是想告诉大家，$f(x)=0$ 与 $x=\varphi(x)$ 这两个东西确实可以互相 转化。」框架与线性方程组的迭代法完全同构：给初值 $x_0$，反复代入——板书写作 $x_1=\varphi(x_0)$、$x_2=\varphi(x_1)$、……、$x_k=\varphi(x_{k-1})$；若 $x_k\to x^*$， 对迭代式两边取极限得

$$x^*=\varphi(x^*),$$

即 $x^*$ 是 $\varphi$ 的不动点，也就是原方程的根。

二分法（古典的解析与迭代方法，先复习）。板书在左板画出函数图像并写下：

$$f(x)\ \text{连续},\quad f(a)f(b)\lt0\ \Longrightarrow\ \exists,\xi\in[a,b]:\ f(\xi)=0,$$

• 折半：取中点 $c=\dfrac{a+b}{2}$，比较符号（板书分两支写出）
  • $f(a)f(c)\lt0$ $\Rightarrow$ $\xi\in[a,c]$，取 $[a_1,b_1]=[a,c]$；
  • $f(c)f(b)\lt0$ $\Rightarrow$ $\xi\in[c,b]$，取 $[a_1,b_1]=[c,b]$；
• 对新区间重复折半，得 $[a_0,b_0]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots$， 每步区间长度减半（板书末行：$\xi\in[a_n,b_n]$，「逐次二分」）：

$$|[a_n,b_n]|=\frac{b-a}{2^n}\lt\varepsilon .$$

根始终被夹在其中，故误差随区间长度一起变小——「只要你这个区间长度缩得足够小， $\xi$ 落在里面，它的误差也会足够小」。

十、不动点迭代的收敛定理与存在性证明（1:26:30–1:37:00）

定理（板书）：设 $\varphi$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，且满足两条

$$(\mathrm i)\quad\varphi([a,b])\subseteq[a,b]\qquad(\text{自映射：把区间映到自身}),$$ $$(\mathrm{ii})\quad|\varphi'(x)|\le L\lt1,\quad x\in[a,b]\qquad(\text{压缩}),$$

则对任意初值 $x_0\in[a,b]$，迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ 收敛到 $[a,b]$ 内的唯一不动点。 板书把结论写成一条链：

$$\begin{cases}x_{k+1}=\varphi(x_k)\ x_0\in[a,b]\end{cases} \ \Longrightarrow\ x_k\ \xrightarrow[\ k\to\infty\ ]{}\ x^{*} .$$

第一条（自映射）的作用——保证迭代值不跑出区间（本讲解释）：

$$x_0\in[a,b]\ \Rightarrow\ x_1=\varphi(x_0)\in[a,b]\ \Rightarrow\ x_2=\varphi(x_1)\in[a,b]\ \Rightarrow\ \cdots$$

「在我这个计算过程中，那些 $x_k$ 一直是在 $[a,b]$ 区间里，它跳不出这个框去。」 第二条（压缩）的作用是把误差逐次缩小，留到下一讲展开。

不动点存在性的证明（本讲完成）。构造辅助函数

$$F(x)=x-\varphi(x).$$

板书一口气把这条链写成（$F$ 与 $\varphi$ 的记号左右并列）：

$$F(a)=a-\varphi(a)\le0,\qquad F(b)=b-\varphi(b)\ge0 \ \Longrightarrow\ \exists,\xi\in[a,b]:\ F(\xi)=0 \ \Longrightarrow\ \xi=\varphi(\xi).$$

逐步说清：

• 左端点：$\varphi$ 把 $[a,b]$ 映到自身 $\Rightarrow\varphi(a)\in[a,b] \Rightarrow\varphi(a)\ge a$，故 $F(a)=a-\varphi(a)\le0$；
• 右端点：同理 $\varphi(b)\in[a,b]\Rightarrow\varphi(b)\le b$，故 $F(b)=b-\varphi(b)\ge0$；
• $F$ 连续（$\varphi$ 连续可导），一端 $\le0$、一端 $\ge0$，由介值定理存在 $\xi\in[a,b]$ 使

$$F(\xi)=0\ \Longleftrightarrow\ \xi-\varphi(\xi)=0\ \Longleftrightarrow\ \xi=\varphi(\xi).$$

即不动点存在。$\blacksquare$

十一、记号与考注（本讲特有）

1. 板书分区：本讲黑板上半区写「只求特征向量」的算法与极限，下半区写「求特征值」 的公式与定理——同一块板两套范数要求，读板书时不要串。
2. 范数记号：板书把 2-范数写作 $\lVert\cdot\rVert_2$、$\infty$-范数写作 $\lVert\cdot\rVert_\infty$；课堂口述常简称「二范数」「无穷范数」。本编保留板书记号。
3. 「位移」的课堂叫法：老师把 $A-pI$ 这一步称为位移法（转写作「贵宜法」， 音近致误），标准术语为原点位移 / 位移反幂法（shifted inverse iteration）。
4. 原书编号：本讲两个定理（幂法收敛定理、不动点迭代收敛定理）课堂均未念编号， 本编不注编号，以内容对照原书第 3 章、第 4 章。原书第 3 章为特征值计算、第 4 章为 非线性方程，与本书第 6、7 章对应（路线图）。
5. 「特征向量互异」的用法：课堂把「$\lambda_i$ 互异 $\Rightarrow x_i$ 线性无关」 当作已知事实直接使用（这是标准结论：不同特征值的特征向量线性无关），未证。
6. 反幂法解方程组的代价：课堂只说「用 LU 分解或迭代法解 $Au_{k+1}=y_k$」， 未讨论 $A$ 的分解可预先算一次并复用（这是反幂法实用化的关键），亦未提 $A-pI$ 病态时的精度问题。
7. 转录空白：00:47–00:52 为课间休息（转写多为环境噪声），据上下文此段无板书。
8. 板书核对：本页公式全部对照板书关键帧（1920×1080 教师摄像头画面）逐条核对， 主要参照时刻：① 01:53–08:16 展开式；② 08:16–14:00 实数性证明；③ 19:30–29:00 算法框与 $y_k$ 的极限；④ 36:00–44:00 的 $\lVert\cdot\rVert=\lVert\cdot\rVert_2$ 与 $\infty$-范数两行；⑤ 55:00–58:00 定理；⑥ 58:00–1:07:00 反幂法（含单独框出的 $Au_{k+1}=y_k$）；⑦ 1:07:00–1:15:30 位移；⑧ 1:16:00–1:37:00 二分法与不动点定理。
9. 板书上的一处「第三行」：特征值计算那一片板，最上面一行是 $\lVert\cdot\rVert=\lVert\cdot\rVert_2$、最下面另起一行写 $\lVert\cdot\rVert=\lVert\cdot\rVert_\infty$——两行是两种范数的对照， 不是同一推导的两步，抄板书时容易连成一行。

十二、老师强调

• 顺序不能反：先单位化、再乘 $A$。直接累乘 $A$ 会溢出，也压不住其他分量。
• 计算特征向量时范数随便取；计算特征值时必须取 2-范数—— 「这黑板最上面的东西我只是计算特征向量……但我在计算特征值的时候，就取一个限定的二范数。」
• 三个问题一个算法：模最大（幂法）→ 模最小（$A^{-1}$）→ 最接近 $p$（$A-pI$）， 后两个都化归到第一个。
• 反幂法的实战写法：不构造 $A^{-1}$，每步解 $Au_{k+1}=y_k$——直接法与迭代法在这里汇合。
• 位移的动机来自物理：能级 = 特征值，半解析方法先给一个足够近的 $p$， 再用位移反幂法把目标特征值「精修」到机器精度。
• 非线性方程部分：$f(x)=0\iff x=\varphi(x)$ 的变形不唯一；二分法是「古典方法」， 保证收敛但收敛慢；迭代法的收敛性由自映射 + 压缩两条保证。
• 方法论闲谈（课间后）：本国教材为篇幅与严谨性「跳细节」，国外教材把每一步都展开 「所以写得那么厚」——证明的细节不是人人都必须掌握，「你只需要知道这些东西 都是有道理的、来源都是有根据的」；但公式必须亲手推、结论必须记得住。

十三、课堂口述与标准术语对照（节选）