第 3 章习题（教材 1–12）

题面数据以颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 3 章习题（p.65–66）为准；本表给题面摘要、答案/提示与正文落点。证明题给证明骨架，计算题给方法/数值；具体数值按教材矩阵复算。

题	主题	题面摘要	答案 / 提示
1	幂法乘法次数	比较 $A^ku_0$ 与逐步乘	✅ 逐步乘 $kn^2$ ；先算 $A^k$ 约 $(k-1)n^3$ 。
2	幂法求主特征值	两个矩阵，相对差 $\le10^{-4}$	✅ 规范化幂法； $\beta_k\to\lambda_1$ ， $y_{k-1}$ 为特征向量。
3	商序列收敛	证明 $\frac{v^{\mathrm T}A^ku_0}{v^{\mathrm T}A^{k-1}u_0}\to\lambda_1$	✅ 展开 $A^ku_0$ ，同除 $\lambda_1^{k-1}$ ，其余项含 $(\lambda_j/\lambda_1)^k\to0$ 。
4	反幂法	第 2 题 (1) 的模最小特征值	✅ 每步解 $Au_k=y_{k-1}$ ， $\lambda_n\approx1/\beta_k$ 。
5	反幂法精修	已知 $\lambda\approx9$	✅ 对 $A-9I$ 反幂法， $\lambda\approx9+1/\beta_k$ 。
6	实特征值算法选择	$-50\lt\lambda_1\lt\lambda_2\lt-10\le\lambda_3\le\cdots$	✅ 幂法求 $\lambda_n$ ；反幂法求 $\lambda_1$ ；位移反幂法（ $p\approx-10$ ）求 $\lambda_2$ 。
7	Jacobi 方法	3×3 实对称矩阵， $\varepsilon=10^{-5}$	✅ 平面旋转逐次消最大非对角元；对角元为特征值，累积旋转为特征向量。
8	分块三角矩阵	证明 $P,Q$ 的特征值可延拓	✅ 若 $Px=\lambda x$ ，则 $T(x,0)^{\mathrm T}=\lambda(x,0)^{\mathrm T}$ ； $Q$ 同理。
9	Householder 映射	$s=(-2,1,2)^{\mathrm T}$ ， $r=(4,3,0)^{\mathrm T}$	✅ $u=s-v=(-4.4,-0.8,2)^{\mathrm T}$ ， $v=(2.4,1.8,0)^{\mathrm T}$ ； $H=I-2uu^{\mathrm T}/(u^{\mathrm T}u)$ 。
10	Householder 化三对角	实对称矩阵	✅ 逐列消 $r+2$ 行以下元素，左右乘 $H_r$ 。
11	Householder 化拟上三角	一般实矩阵	✅ 相似变换 $H_rA^{(r)}H_r$ ，只消到 Hessenberg 形。
12	基本 QR 方法	给定矩阵求特征值	✅ 迭代 $A_k=Q_kR_k$ 、 $A_{k+1}=R_kQ_k$ ；对角元收敛到特征值，2×2 块用二次公式。

覆盖核对

本页覆盖教材习题 1–12（题面摘要 + 答案/提示），与 3.1、3.2、3.3 的例题/证明互补。覆盖矩阵见第 3 章覆盖矩阵。