3.1 幂法与反幂法

对应教材 3.1.1–3.1.2、例 1–2、习题 1–6；对应老师第 6 讲末、第 7 讲 §一–§八。 主线：幂法求模最大特征值，反幂法求模最小特征值，位移反幂法求最接近 $p$ 的特征值。

3.1.1 幂法

设 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $x_1,\dots,x_n$，对应特征值满足 $$|\lambda_1|\gt|\lambda_2|\ge\cdots\ge|\lambda_n|.$$ 任取非零 $u_0$，若 $u_0$ 在 $x_1$ 方向分量不为零，则 $$u_k=A^k u_0=a_1\lambda_1^kx_1+a_2\lambda_2^kx_2+\cdots+a_n\lambda_n^kx_n =\lambda_1^k\left(a_1x_1+\sum_{j=2}^n a_j\left(\frac{\lambda_j}{\lambda_1}\right)^kx_j\right).$$ 当 $k$ 充分大时，$u_k$ 的方向趋于 $x_1$；比值 $|\lambda_2/\lambda_1|$ 越小，收敛越快。

规范化幂法（教材式 3.4/3.7）： $$y_{k-1}=\frac{u_{k-1}}{\lVert u_{k-1}\rVert_2},\qquad u_k=A y_{k-1},\qquad \beta_k=y_{k-1}^{\mathrm T}u_k.$$ $\beta_k\to\lambda_1$，$y_{k-1}\to x_1/\lVert x_1\rVert_2$。

老师强调的顺序：先单位化，再乘 $A$。若先乘 $A$ 再单位化，范数会随 $\lambda_1^k$ 爆炸/下溢；先单位化把尺度钉住，数值稳定。

为什么特征值必须用 2-范数：特征向量只关心方向，范数任取；但 $\beta_k=y_{k-1}^{\mathrm T}A y_{k-1}$ 只有在 $\lVert y\rVert_2=1$ 时才是 Rayleigh 商。用 $\infty$-范数归一化会丢掉分母 $y^{\mathrm T}y$，把二阶精度降为一阶。

收敛速度：误差按 $|\lambda_2/\lambda_1|^k$ 下降；若 $|\lambda_1|=\cdots=|\lambda_m|\gt|\lambda_{m+1}|$，则 $y_k$ 收敛到 $\lambda_1$ 的特征子空间中的某个向量，$\beta_k$ 仍收敛到 $\lambda_1$。

例 1（教材 3.1.1）：矩阵 $$A=\begin{pmatrix} 6&-12&6\ -21&-3&24\ -12&-12&51 \end{pmatrix}.$$ 精确特征值为 $45,18,-9$。取 $u_0=(1,0,0)^{\mathrm T}$，按规范化幂法迭代，$\beta_k$ 迅速趋向 $45$：

结果 $\lambda_1\approx45.0001$，$x_1\approx(0.0016,-0.5016,-1)^{\mathrm T}$，与精确解 $(0,-0.5,-1)^{\mathrm T}$ 同向。

3.1.2 反幂法与位移反幂法

若 $A$ 非奇异，$A^{-1}$ 的特征值是 $1/\lambda_i$，特征向量不变。因此对 $A^{-1}$ 用幂法，就得到 $A$ 的模最小特征值： $$A u_k=y_{k-1},\qquad \beta_k=y_{k-1}^{\mathrm T}u_k\approx\frac{1}{\lambda_n}.$$ 实际计算不构造 $A^{-1}$，每步解一个线性方程组；先对 $A$ 做一次 LU 分解，之后反复前代/回代。

位移反幂法：对 $A-pI$ 用反幂法，得到最接近 $p$ 的特征值： $$(A-pI)u_k=y_{k-1},\qquad \lambda\approx p+\frac{1}{\beta_k}.$$ $p$ 越接近目标特征值，收敛越快；$p$ 恰好等于特征值时，$A-pI$ 奇异，需要特殊处理（或取邻近值）。

例 2（教材 3.1.2）：仍取例 1 的 $A$，求模最小特征值。反幂法迭代表（节选）：

$\lambda_3\approx1/\beta_7\approx-8.9928$，特征向量 $x_3\approx(0.5359,0.8009,0.2671)^{\mathrm T}$，与精确值 $-9$、$(0.5345,0.8018,0.2673)^{\mathrm T}$ 一致。

3.1.3 习题（教材习题 1–6）