第 4 章非线性方程与非线性方程组的迭代解法

对应庞刚老师第 7 讲（开篇）、第 8 讲（材料已归、页面待补）、第 9 讲；对应颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 4 章 4.1。老师实际讲的是二分法、不动点迭代、牛顿法、割线法族；非线性方程组（原书 4.2）课堂未讲。

本章定位

这是老师七章地图的第 4 章，也是原书第 4 章。第 7 讲只讲到二分法与不动点存在性；第 8 讲补唯一性、压缩收敛、收敛阶、牛顿法二阶收敛；第 9 讲讲牛顿法全局收敛、割线法、单点割线法与 Steffensen（点到即止）。

图解读图：牛顿法在 x_k 处作切线，切线与 x 轴的交点就是下一步；割线法用过两点的割线替代切线。前者需要 f′(x_k)、二阶收敛；后者不需要导数、但需要两个初值，收敛阶降为 1.618。

本章学习目标

学完本章，你应该能：

用二分法把根夹到给定精度，并估计所需步数 $n\ge\log_2((b-a)/\varepsilon)$ ；
写出不动点迭代的存在唯一/收敛条件（自映射 + 压缩），并用 $|\varphi'(s)|$ 判断收敛阶；
写出 Newton 迭代，说明它为什么至少二阶，以及「局部定理」与「全局定理」的区别；
背出 Newton 全局收敛的四条件（注意 $f''$ 不变号、 $f'$ 不为零），并能对给定函数验证；
写出割线法/单点割线法，知道前者需两初值、阶 $1.618$ ，后者一阶。

4.1 二分法与不动点形式（老师第 7 讲）

$f(x)=0\iff x=\varphi(x)$ 。二分法靠介值定理与区间折半，误差按 $(b-a)/2^n$ 下降；不动点迭代把方程改写成 $x=\varphi(x)$ ，为后面的收敛定理做铺垫。

课堂：第 7 讲 §九、§十
教材：原书 4.1.1 对分法、4.1.2 简单迭代法及其收敛性

4.2 唯一性、压缩收敛与收敛阶（老师第 8 讲，占位页）

在自映射 + 压缩条件下，不动点存在且唯一，迭代收敛；收敛阶由 $\varphi$ 在根处的导数消失阶数决定。第 9 讲开头做了完整复盘。

课堂：第 8 讲（材料已归，占位页）；第 9 讲 §一、§二（复盘）
教材：原书 4.1.2–4.1.3
状态：第 8 讲占位页已建，内容待补；暂以第 9 讲复盘为准。

4.3 牛顿法与局部收敛（老师第 8–9 讲）

牛顿法 $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ ；一般定理只保证局部收敛： $f$ 在根附近二次连续可导、 $f'(s)\ne0$ 、初值充分靠近根。牛顿法至少二阶收敛（ $\varphi'(s)=0$ ）。

课堂：第 9 讲 §二、§三
教材：原书 4.1.5 Newton 法；定理 4.6（局部）

4.4 牛顿法全局收敛定理（老师第 9 讲）

四条条件：(1) $f(a)f(b)\lt0$ ；(2) $f''(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号；(3) $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上不为零；(4) $x_0\in[a,b]$ ， $f(x_0)f''(x_0)\gt0$ 。结论：牛顿迭代收敛到唯一根，且至少平方收敛。教材称“大范围收敛性定理”。

课堂：第 9 讲 §四、§五、§六
教材：原书 4.1.5 定理 4.7
注意：条件顺序以板书/教材为准；不要写成“ $f'$ 不变号 + $f''$ 不变号”的第三版。

4.5 割线法、单点割线法与 Steffensen（老师第 9 讲）

用差商代替导数得割线法（两个初值，阶 $1.618$ ）；把 $x_{k-1}$ 钉死为 $x_0$ 得单点割线法（一阶）。Steffensen 课上只提“自己看一看”，属于加速法。

课堂：第 9 讲 §七、§八、§九
教材：原书 4.1.4 Steffensen、4.1.7 割线法、4.1.8 单点割线法

4.6 教材有、课堂未讲：非线性方程组

原书 4.2 讲非线性方程组的简单迭代法、Newton 法与离散 Newton 法；老师这一轮没有展开。需要时按教材补读，考试按老师范围复习。

教材：原书 4.2.1–4.2.4

本章与“补充篇”的边界

本章没有需要从补充篇补的矩阵工具；牛顿法/割线法都是标量迭代。
若要用矩阵语言看 Newton 法的多元版本，见原书 4.2；课堂未讲。

常见错误

把局部定理当全局定理：Newton 一般定理只保证「初值充分靠近根」；要初值离得远仍收敛，必须验证全局四条件。
四条件写错：正确顺序是「端点异号 → $f''$ 不变号 → $f'$ 不为零 → $f(x_0)f''(x_0)\gt0$ 」；不要写成「 $f'$ 不变号 + $f''$ 不变号」的第三版。
把「全局」理解成任意初值：全局定理仍要求 $x_0\in[a,b]$ 且落在 $f(x_0)f''(x_0)\gt0$ 的一侧，不是整个 $\mathbb R$ 。
割线法只给一个初值：割线法用 $x_k,x_{k-1}$ ，必须两个初值；单点割线法才把 $x_{k-1}$ 钉死为 $x_0$ ，代价是降为一阶。

三句话带走

局部靠邻域，全局靠四条件：端点异号、 $f''$ 不变号、 $f'$ 不为零、初值同号。
Newton 二阶但需导数： $\varphi'(s)=0$ ；一般定理只保证局部。
割线族每松一步掉一档：Newton 二阶 → 割线 $1.618$ → 单点割线一阶。

本章习题

4.A · 二分法步数

用二分法求 $f(x)=0$ 在 $[1,2]$ 内的根，要求区间长度不超过 $10^{-3}$ 。至少需要多少步？

参考答案

$(b-a)/2^n=1/2^n\le10^{-3}$ ，即 $2^n\ge1000$ 。 $2^9=512$ ， $2^{10}=1024$ ，故至少 $n=10$ 步。

4.B · 不动点收敛

设 $\varphi(x)=\cos x$ ，区间 $[0,1]$ 。验证自映射与压缩条件，判断迭代 $x_{k+1}=\cos x_k$ 是否收敛；收敛阶是多少？

参考答案

自映射： $\cos([0,1])=[\cos1,1]\subset[0,1]$ 。压缩： $|\varphi'(x)|=\sin x\le\sin1\approx0.841\lt1$ 。故存在唯一不动点，任取 $x_0\in[0,1]$ 都收敛，且是线性收敛（ $\varphi'(s)\ne0$ ）。

4.C · Newton 两步

对 $f(x)=x^2-2$ ，取 $x_0=1.5$ ，算 $x_1,x_2$ ，并说明误差为什么按平方缩小。

参考答案

$x_1=x_0-\dfrac{x_0^2-2}{2x_0}=1.5-\dfrac{0.25}{3}=1.4166667$ ； $x_2=1.4166667-\dfrac{1.4166667^2-2}{2\times1.4166667}\approx1.4142157$ 。误差从约 $8.6\times10^{-2}$ 降到 $2.5\times10^{-3}$ ，再到 $2.1\times10^{-6}$ ——大致每步平方，符合 Newton 的二阶收敛。

4.D · 验证全局四条件

对 $f(x)=x^2-2$ 在 $[1,2]$ 上、 $x_0=2$ ，逐条验证 Newton 全局收敛定理的四条件。

参考答案

(i) $f(1)f(2)=(-1)\cdot2\lt0$ ；(ii) $f''(x)=2\gt0$ ，不变号；(iii) $f'(x)=2x\gt0$ ，在 $[1,2]$ 上不为零；(iv) $f(2)f''(2)=2\cdot2=4\gt0$ 。四条全满足，故从 $x_0=2$ 出发的 Newton 迭代收敛到 $[1,2]$ 上的唯一根 $\sqrt2$ 。

4.E · 割线法的阶

割线法的收敛阶为什么是 $1.618$ ？单点割线法为什么降为一阶？

参考答案

割线法误差满足 $e_{k+1}\sim C e_k e_{k-1}$ ，设 $e_{k+1}\sim e_k^r$ ，则 $r^2=r+1$ ，故 $r=(1+\sqrt5)/2\approx1.618$ 。单点割线法把 $x_{k-1}$ 钉死为 $x_0$ ，误差递推退化为 $e_{k+1}\approx\varphi'(s)e_k$ 的形式，只有一个历史误差，故为线性收敛（一阶）。

本章状态

课堂实录：第 7、9 讲已整理；第 8 讲待补。
正文：由讲座页承载；非线性方程组一节待补。
下一章：第 5 章插值与逼近。

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