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第 5 章 插值与逼近

对应庞刚老师第 9 讲（开篇）及后续讲次；对应颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 5 章 5.1–5.6。 老师目前讲到插值问题、范德蒙德矩阵、拉格朗日插值；误差余项与收敛性留到下一讲。

本章定位

这是老师七章地图的第 5 章，也是原书第 5 章。老师用“海底温度采样”引入，先写范德蒙德矩阵说明“存在唯一但病态”，再换拉格朗日基。教材 §5.1.1 用的是基函数线性无关的讲法；两种讲法结论一致，但叙述线不同。

范德蒙德：存在唯一，但病态 节点越多，系数方程越难解；换基（拉格朗日）才是出路。 NUMERICAL · INTERPOLATION / 05 ATLAS / N-24 范德蒙德：存在唯一，但病态 节点越多，系数方程越难解；换基（拉格朗日）才是出路。 log10 cond(V)246810120369节点数 n等距节点：每加几个点，条件数涨一个量级n=12：κ≈8.8×10⁸读 法n=2：κ≈2.6n=8：κ≈2.7×10⁵n=12：κ≈8.8×10⁸每加几个点涨一个量级
图解读图：等距节点上，范德蒙德矩阵的条件数随 n 近似指数增长：n=8 时约 10⁵，n=12 时约 10⁹。这意味着用 1,x,…,xⁿ 这组基直接解系数，会丢掉约 9 位有效数字——“存在唯一”不等于“能算出来”。
本章学习目标

学完本章，你应该能：

  1. 写出插值条件 P(xi)=f(xi)P(x_i)=f(x_i)，说明 n+1n+1 个条件对应 n+1n+1 个系数；
  2. 写出范德蒙德矩阵及其行列式，说明「互异节点 ⟹ 存在唯一」；
  3. 用拉格朗日基写出插值多项式，并解释为什么系数直接就是 f(xi)f(x_i)；
  4. 写出插值余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!∏(x−xi)R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod(x-x_i)，会做简单的误差界；
  5. 解释「存在唯一 ≠ 能算出来」：范德蒙德病态，换基才是出路。

5.1 插值问题与范德蒙德矩阵（老师第 9 讲）

已知 n+1n+1 个互异点 (xi,f(xi))(x_i,f(x_i))，求次数不超过 nn 的多项式 PnP_n 穿过它们。写成 Aa=fA\boldsymbol a=\boldsymbol f，系数矩阵是范德蒙德矩阵；det⁡A=∏i<j(xj−xi)≠0\det A=\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)\ne0 保证存在唯一，但它病态，直接解系数不可行。

5.2 拉格朗日插值：换基避病态（老师第 9 讲）

li(x)=∏j≠ix−xjxi−xjl_i(x)=\prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}，li(xi)=1l_i(x_i)=1、li(xj)=0l_i(x_j)=0；Ln(x)=∑if(xi)li(x)L_n(x)=\sum_i f(x_i)l_i(x)。系数直接就是函数值，不用解病态方程组。

  • 课堂：第 9 讲 §十二
  • 教材：原书 5.1.1 Lagrange 插值多项式

5.3 误差余项与收敛性（下一讲）

老师在第 9 讲末明确留了一环：插值多项式在采样点上等于函数值，但在非采样点差多少？余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!∏i=0n(x−xi)R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i) 与收敛性（Runge 现象等）留到下一讲。

  • 课堂：第 9 讲末预告；下一讲待整理
  • 教材：原书 5.1.1 定理 5.1（余项）

5.4 教材有、课堂未讲：Newton 插值、Hermite、样条、最佳逼近

原书第 5 章还包括差商与 Newton 插值、Hermite 插值、三次样条、三角插值与 FFT、正交多项式、最佳平方逼近。老师这一轮尚未展开；按教材补读时，优先看与课堂主线相关的 Newton 插值（差商）与样条。

  • 教材：原书 5.1.1（Newton 插值）、5.2 Hermite、5.3 样条、5.4 三角插值/FFT、5.5 正交多项式、5.6 最佳平方逼近
  • 说明：这些属于“教材有、课堂未讲/待讲”，不要当成第 9 讲的内容。
本章与“补充篇”的边界
  • 课堂讲：插值问题、范德蒙德病态、拉格朗日插值（第 9 讲）。
  • 下一讲：误差余项与收敛性。
  • 补充篇：条件数（2.4）用于解释范德蒙德病态；正交多项式/最佳逼近在教材第 5 章后部，暂不展开。
常见错误
  1. 把「存在唯一」当「能算出来」：范德蒙德矩阵互异节点下非奇异，但条件数可能到 10910^9；直接解系数会丢大量有效数字。
  2. 把「次数不超过 nn」说成「nn 次」：n+1n+1 个点唯一确定的是次数不超过 nn 的多项式；数据恰好落在低次多项式上时，次数可能小于 nn。
  3. 忘记节点互异：det⁡A=∏i<j(xj−xi)\det A=\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)，节点重合则行列式为 00，存在唯一性不成立。
  4. 只会范德蒙德，不会换基：拉格朗日基在节点上的取值矩阵是单位阵，系数一读即得；这是「换基避病态」的典型例子。
三句话带走
  1. n+1n+1 个点定次数不超过 nn 的多项式：条件数等于未知数个数。
  2. 范德蒙德存在唯一但病态：互异节点保证非奇异，不保证能算。
  3. 拉格朗日换基：li(xj)=δijl_i(x_j)=\delta_{ij}，系数直接就是 f(xi)f(x_i)。

本章习题

5.A · 范德蒙德行列式

节点为 x0=0,x1=1,x2=2x_0=0,x_1=1,x_2=2，写出范德蒙德矩阵并算行列式。

参考答案

A=(100111124),det⁡A=∏0≤i<j≤2(xj−xi)=(1−0)(2−0)(2−1)=2.A=\begin{pmatrix}1&amp;0&amp;0\\1&amp;1&amp;1\\1&amp;2&amp;4\end{pmatrix},\qquad \det A=\prod_{0\le i\lt j\le2}(x_j-x_i)=(1-0)(2-0)(2-1)=2. 非零，故三个点唯一确定一个次数不超过 22 的插值多项式。

5.B · 拉格朗日插值

已知 f(0)=1,f(1)=3f(0)=1,f(1)=3，写出两点拉格朗日插值多项式。

参考答案

l0(x)=x−10−1=1−xl_0(x)=\dfrac{x-1}{0-1}=1-x，l1(x)=x−01−0=xl_1(x)=\dfrac{x-0}{1-0}=x。故 L1(x)=f(0)l0(x)+f(1)l1(x)=1⋅(1−x)+3⋅x=1+2x.L_1(x)=f(0)l_0(x)+f(1)l_1(x)=1\cdot(1-x)+3\cdot x=1+2x. 直接验证：L1(0)=1,L1(1)=3L_1(0)=1,L_1(1)=3。

5.C · 插值余项

设 f(x)=exf(x)=e^x，在 [0,1][0,1] 上用节点 0,10,1 做线性插值，给出 ∣R1(x)∣|R_1(x)| 的一个上界。

参考答案

R1(x)=eξ2!x(x−1)R_1(x)=\dfrac{e^{\xi}}{2!}x(x-1)，ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)。故 ∣R1(x)∣≤e2max⁡[0,1]∣x(x−1)∣=e2⋅14=e8≈0.34.|R_1(x)|\le\frac{e}{2}\max_{[0,1]}|x(x-1)|=\frac{e}{2}\cdot\frac14=\frac{e}{8}\approx0.34.

5.D · 病态与换基

为什么用范德蒙德矩阵直接解插值系数不可行？拉格朗日基为什么能绕开它？

参考答案

等距节点上 cond(V)\mathrm{cond}(V) 随 nn 近似指数增长：n=8n=8 约 10510^5，n=12n=12 约 10910^9——双精度下会丢约 9 位有效数字，算出的系数不可信。拉格朗日基 lil_i 在节点上的取值矩阵是单位阵：li(xj)=δijl_i(x_j)=\delta_{ij}，所以系数直接是 f(xi)f(x_i)，不需要解病态方程组。插值多项式本身没变，变的是「用哪组基表示」。

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