第 6 章 数值积分与数值微分
对应颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 6 章。老师课程尚未讲到本章；本章按教材完整铺设，老师开讲后再补“课堂实录”。
本章定位
这是老师七章地图的第 6 章，也是原书第 6 章。老师尚未开讲，所以本章不冒充课堂内容；但教材的小节、定理、例题、习题都已按覆盖矩阵铺齐。
本章学习目标
学完本章，你应该能：
- 写出插值型求积公式，判断代数精度；
- 写出梯形/Simpson/复化公式，并估计截断误差；
- 用 Romberg 外推抬阶，理解 Gauss 求积为什么能到 \(2n-1\) 次精度；
- 用中心差分/外推算数值导数，知道步长不能无限小。
本章结构
| 节 | 内容 | 教材 |
|---|---|---|
| 6.1–6.3 | 插值型求积、Newton–Cotes、梯形/Simpson 与误差 | 6.1–6.3；定理 6.1–6.3；例 1–3 |
| 6.5–6.6 | 复化梯形/Simpson、Romberg | 6.5–6.6；定理 6.4；例 4–6 |
| 6.7–6.8 | Gauss 求积、数值微分 | 6.7–6.8；定理 6.5–6.8；例 7–11 |
| 习题 | 教材习题 1–12 | p.177–178 |
覆盖核对：第 6 章覆盖矩阵。
三句话带走
- 插值型：用插值多项式代替 \(f\)，积分变成节点函数值的加权和。
- 复化 + 外推：复化把区间切小，Romberg 用 Richardson 外推再抬阶。
- Gauss 让节点也自由：\(n\) 个节点、\(n\) 个权重，最高 \(2n-1\) 次代数精度；代价是节点不固定。
本章状态
- 正文：6.1–6.8 已铺；教材 12 题已给题面摘要与答案/提示。
- 老师开讲后：补“课堂实录”和讲次对照。
- 下一章：第 7 章 常微分方程初值问题。