6.5 复化求积与 Romberg 积分

对应教材 6.5.1–6.5.2、6.6.1–6.6.2、定理 6.4、例 4–6。老师本章尚未开讲，先按教材铺。 主线：把大区间切小，用低阶公式累加；再用 Richardson 外推把误差阶逐级抬高。

6.5.1 复化梯形与复化 Simpson

把 ([a,b]) 分成 (n) 等份，(h=(b-a)/n)，(x_i=a+ih)。

复化梯形： $$T_n=\frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\right],$$ 误差 $$I-T_n=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi),\qquad \xi\in(a,b).$$ 即 (O(h^2))。

复化 Simpson（(n) 为偶数，(h=(b-a)/n)）： $$S_n=\frac{h}{3}\left[f(a)+4\sum_{i\ \text{odd}}f(x_i)+2\sum_{i\ \text{even}}f(x_i)+f(b)\right],$$ 误差 $$I-S_n=-\frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi),\qquad \xi\in(a,b).$$ 即 (O(h^4))。

例 4（教材 6.5.1）：用 11 个节点（(n=10,h=0.1)）的复化 Simpson 算 $$I=\int_0^1e^{-x}dx=1-e^{-1}\approx0.632120559.$$ 按公式 $$S_{10}=\frac{0.1}{3}\left[f(0)+4\sum_{i\ \text{odd}}f(x_i)+2\sum_{i\ \text{even}}f(x_i)+f(1)\right] \approx0.6321206,$$ 误差已在 (10^{-7}) 量级，远小于单区间 Simpson 的 (2.1\times10^{-4})。

例 5（教材 6.5.1）：若要求 (I_n) 至少有四位有效数字，用误差界 $$|I-T_n|\le\frac{b-a}{12}h^2\max|f''|$$ 反解 (h)，再取 (n=\lceil(b-a)/h\rceil)。复化公式的步长不是越小越好：太小会放大舍入误差，且计算量线性增长。

6.5.2 步长与舍入的平衡

总误差 ≈ 截断误差 + 舍入误差。复化梯形截断 (O(h^2))，舍入约 (\varepsilon/h)；令两者同阶，得最优步长 (h\sim\varepsilon^{1/3})。实际做法：用两三种步长试算，看结果是否稳定，而不是盲目加密。

6.6 Romberg 积分

复化梯形有一个漂亮性质：若把步长减半， $$T_{2n}=\frac12T_n+\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}f\left(a+\left(i+\frac12\right)h\right),$$ 只需算新增的中点，不用重算旧点。

Romberg 用 Richardson 外推消去 (h^2) 项： $$R_{k,0}=T_{2^k},\qquad R_{k,j}=\frac{4^jR_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^j-1}\quad(j=1,\dots,k).$$ (R_{k,1}) 是 Simpson，(R_{k,2}) 是 Cotes，(R_{k,3}) 更高阶；每外推一次，误差阶提高 2。

定理 6.4：若 (f) 足够光滑，Romberg 表第 (j) 列收敛到 (I)，且误差为 (O(h^{2j+2}))。

例 6（教材 6.6）：对 $\int_0^1e^{-x}dx$ 造 Romberg 表（$R_{k,0}=T_{2^k}$）：

精确值 $1-e^{-1}=0.6321205588$。第 4 行对角元已到 $10^{-10}$；实际停机用相邻两行对角元之差。