6.7–6.8 Gauss 求积与数值微分

对应教材 6.7.1–6.7.2、6.8.1、定理 6.5–6.8、例 7–11。老师本章尚未开讲，先按教材铺。 主线：Gauss 求积用“节点也自由”换到最高代数精度；数值微分用差商/外推。

6.7.1 Gauss 求积

(n) 点求积公式 $$\int_a^b\rho(x)f(x),dx\approx\sum_{k=1}^nA_kf(x_k)$$ 有 (2n) 个自由参数（(n) 个节点 + (n) 个权重）。若代数精度达到 (2n-1)，称 Gauss 型求积公式。

定理 6.5：(n) 点 Gauss 求积的节点是 ([a,b]) 上带权 (\rho) 的 (n) 次正交多项式的根；权重为正，且公式代数精度恰为 (2n-1)。

定理 6.6–6.8：Gauss 节点存在唯一；权重 $$A_k=\int_a^b\rho(x)\ell_k(x),dx>0;$$ Gauss 求积收敛，且对 (f\in C[a,b]) 有 $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nA_kf(x_k)=\int_a^b\rho(x)f(x),dx.$$

$[-1,1]$ 上的 Gauss–Legendre：节点是 Legendre 多项式 (P_n) 的根，权重 $$A_k=\frac{2}{(1-x_k^2)[P_n'(x_k)]^2}.$$ 常用：

• (n=1)：(x=0,A=2)，即中点公式；
• (n=2)：(x=\pm1/\sqrt3,A=1)；
• (n=3)：(x=0,\pm\sqrt{3/5})，(A=8/9,5/9,5/9)。

区间变换：对 ([a,b])，令 $$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t,\qquad \int_a^bf(x)dx=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\right)dt.$$

6.7.2 Gauss–Chebyshev 等

• Gauss–Chebyshev：权 (1/\sqrt{1-x^2})，节点 (x_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n})，权重 (\pi/n)；
• Gauss–Laguerre：权 (e^{-x})，区间 ([0,\infty))；
• Gauss–Hermite：权 (e^{-x^2})，区间 ((-\infty,\infty))。

例 7–11（教材 6.7）：教材分别用 Gauss–Legendre/Chebyshev 计算积分，并与梯形/Simpson 对比。要点：同样节点数，Gauss 精度最高；但节点不固定、权重需预计算，适合光滑函数，不适合带奇异/间断的函数。

6.8 数值微分

差商公式：

• 向前： $$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$ 误差 (O(h))；
• 中心： $$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},$$ 误差 (O(h^2))；
• 二阶中心： $$f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2},$$ 误差 (O(h^2))。

误差与舍入的平衡：中心差分的截断误差 (O(h^2))，舍入误差约 (\varepsilon/h)；最优 (h\sim\varepsilon^{1/3})。步长太小反而更差。

Richardson 外推：用两种步长 (h,2h) 的中心差分 $$D(h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},$$ 则 $$f'(x)\approx\frac{4D(h)-D(2h)}{3}+O(h^4).$$ 这就是数值微分的外推法，和 Romberg 是同一思想。