第 6 章习题（教材 1–12）

题面数据以颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 6 章习题（p.177–178）为准；本表给题面摘要、答案/提示与正文落点。证明题给证明骨架，计算题给方法/数值；具体数值按教材数据复算。

题	主题	题面摘要	答案 / 提示
1	代数精度	记 (I(f))，判断求积公式精度	✅ 依次代入 (1,x,x^2,\dots)，看首次不精确的次数。
2	给定公式精度	给定权/节点	✅ 对 (x^k) 逐个验证；误差项由最高不精确次数的积分给出。
3	确定节点	使公式精度最高	✅ 令对 (1,x,x^2,\dots) 精确，解节点/权重方程。
4	插值型公式	以 (x_0=-h,x_1=0,x_2=h) 构造	✅ (A_k=\int l_k)；对三点 Simpson 型公式。
5	精度 (\ge n) 推出插值型	证明	✅ 若公式对 (n) 次多项式精确，取插值基函数 (\ell_k)，得 (A_k=I(\ell_k))。
6	截断误差/精度	两个公式	✅ 用 Peano 核或 Taylor 展开；精度看首次不精确的 (x^m)。
7	三点公式	(x_0=0,x_1=h,x_2=2h)	✅ 算 (A_k)，得 (\int_0^{3h}f) 的插值型公式；再判精度。
8	复化公式	(n=6) 复化梯形、(m=3) 复化 Simpson	✅ 代公式；比较误差阶 (O(h^2)) vs (O(h^4))。
9	步长选择	复化梯形算 (\int_0^1 6x^2dx)，保证精度	✅ 用 (
10	复化梯形性质	(T_{2n}=\frac12T_n+\frac{h}{2}\sum f((x_{i-1}+x_i)/2))	✅ 把新增中点项写出，合并即得。
11	Romberg/Gauss	计算积分	✅ Romberg 用 (R_{k,j}) 外推；Gauss 用节点/权重表。
12	数值微分	差商/外推	✅ 中心差分 (O(h^2))；Richardson 外推 (O(h^4))。

覆盖核对

本页覆盖教材习题 1–12（题面摘要 + 答案/提示），与 6.1、6.5–6.6、6.7–6.8 互补。覆盖矩阵见第 6 章覆盖矩阵。