6.1 插值型求积与 Newton–Cotes 公式

对应教材 6.1–6.3、定理 6.1–6.3、例 1–3。老师本章尚未开讲，先按教材铺。 主线：用插值多项式代替被积函数，积分变成“节点函数值的加权和”。

6.1 插值型求积公式

要算 (I(f)=\int_a^b f(x),dx)，取节点 (x_0,\dots,x_n)，作 Lagrange 插值 (p_n)，令 $$I(f)\approx I(p_n)=\sum_{k=0}^n A_kf(x_k), \qquad A_k=\int_a^b\ell_k(x),dx.$$ 这就是插值型求积公式。权 (A_k) 只与节点和区间有关，与被积函数无关。

代数精度：若公式对所有次数不超过 (m) 的多项式精确，但对某个 (m+1) 次多项式不精确，称其代数精度为 (m)。

定理 6.1：(n+1) 个节点的插值型求积公式至少有 (n) 次代数精度。

证明要点：若 (f) 是次数不超过 (n) 的多项式，则 (p_n=f)，故 (I(p_n)=I(f))。$\blacksquare$

例 1–2（教材 6.1）：给定节点（如 (x_0=a,x_1=(a+b)/2,x_2=b)），先算 (\ell_k) 的积分得 (A_k)，再写出公式；或利用“对 (1,x,x^2) 精确”解出权重。核心是“节点决定权重”。

6.2 Newton–Cotes 公式

取等距节点 (x_k=a+kh)，(h=(b-a)/n)，令 (x=a+th)，则 $$A_k=(b-a)\frac{(-1)^{n-k}}{n,k!,(n-k)!}\int_0^n\prod_{j\ne k}(t-j),dt.$$ 这类公式称为 Newton–Cotes 公式。低阶常见：

• (n=1)：梯形公式 $$T=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)];$$
• (n=2)：Simpson 公式 $$S=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right];$$
• (n=4)：Cotes 公式（系数 (7,32,12,32,7) 除以 90）。

定理 6.2：Newton–Cotes 系数满足 (\sum A_k=b-a)，且关于中点对称；当 (n) 为偶数时，代数精度至少 (n+1)。

读法：Simpson（(n=2)）代数精度不是 2 而是 3；这就是它“低阶公式、较高精度”的原因。

6.3 梯形公式、Simpson 公式与误差

定理 6.3（误差）：设 (f) 足够光滑，

• 梯形公式： $$I-T=-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi),\qquad \xi\in(a,b);$$
• Simpson 公式： $$I-S=-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi),\qquad \xi\in(a,b).$$

梯形代数精度 1，Simpson 代数精度 3。

例 3（教材 6.3）：(I=\int_0^1e^{-x}dx=1-e^{-1}\approx0.632121)。

梯形： $$T=\frac12(1+e^{-1})\approx0.683940,$$ 误差约 (0.0518)，与界 (1/12\approx0.0833) 相符。

Simpson： $$S=\frac16(1+4e^{-1/2}+e^{-1})\approx0.632333,$$ 误差约 (2.1\times10^{-4})，与界 (1/2880\approx3.47\times10^{-4}) 相符。

结论：同样只算 2–3 个点，Simpson 比梯形准得多；但 Simpson 要求 (f^{(4)}) 不大，遇到奇异/振荡函数要先分段。