第 7 章 常微分方程初值问题的数值解法
对应颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 7 章。老师课程尚未讲到本章；本章按教材完整铺设，老师开讲后再补“课堂实录”。
本章定位
这是老师七章地图的第 7 章，也是原书第 7 章。老师尚未开讲，所以本章不冒充课堂内容；教材的小节、定理、例题、习题都已按覆盖矩阵铺齐。
本章学习目标
学完本章，你应该能：
- 写出 Euler、后退 Euler、梯形、改进 Euler 与 RK4 的公式；
- 判断单步法的阶、相容性与绝对稳定区域；
- 写出 Adams–Bashforth/Moulton 与预测–校正，知道多步法为什么要启动；
- 把高阶方程化成一阶方程组，识别刚性并选择隐式方法。
本章结构
| 节 | 内容 | 教材 |
|---|---|---|
| 7.1–7.2 | 初值问题、Euler、RK、收敛/稳定 | 7.1–7.2；定理 7.1–7.3；例 1–5 |
| 7.3 | 线性多步法、预测–校正、绝对稳定 | 7.3；定理 7.4–7.5；例 6–13 |
| 7.4–7.5 | 一阶方程组、刚性、边值问题 | 7.4–7.5 |
| 习题 | 教材习题 1–12 | p.211 |
覆盖核对：第 7 章覆盖矩阵。
三句话带走
- 精度看阶：Euler 一阶、改进 Euler/中点二阶、RK4 四阶；阶越高每步函数求值越多。
- 稳定看测试方程：\(y'=\lambda y\)，显式方法受 \(|1+h\lambda|\lt1\) 限制，刚性方程要用隐式/A-稳定。
- 多步法用历史值：Adams 每步只算一次新函数值，但要先用 RK 启动。
本章状态
- 正文：7.1–7.5 已铺；教材 12 题已给题面摘要与答案/提示。
- 老师开讲后：补“课堂实录”和讲次对照。
- 上一章：第 6 章 数值积分与数值微分。