第 7 章习题（教材 1–12）

题面数据以颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 7 章习题（p.211）为准；本表给题面摘要、答案/提示与正文落点。证明题给证明骨架，计算题给方法/数值。

题	主题	题面摘要	答案 / 提示
1–2	Euler 法	写出/计算 Euler 公式	✅ (y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n))；误差 (O(h))。
3	改进 Euler	预测–校正	✅ (\bar y=y_n+hf_n)，(y_{n+1}=y_n+\frac h2(f_n+f(t_{n+1},\bar y)))。
4	中点公式	RK2	✅ (k_1=f_n,k_2=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),y_{n+1}=y_n+hk_2)。
5	四阶 RK	写计算公式	✅ 四个斜率 (k_1,\dots,k_4)，加权 (1/6,1/3,1/3,1/6)。
6–7	相容性	判断单步法是否相容	✅ 局部截断误差 (O(h^2)) 即相容；否则不相容。
8	Lipschitz/存在唯一	验证条件	✅ 对 (y) 的偏导有界 ⇒ Lipschitz；由 Picard–Lindelöf 得唯一。
9	Euler 绝对稳定步长	对给定 (\lambda) 求 (h)	✅ (
10	多步法	Adams/预测–校正	✅ 先用 RK4 启动，再切 Adams；注意根条件/稳定区间。
11	方程组	化一阶系统	✅ 令 (Y=(y,y’)^{\mathrm T})，逐分量用 RK。
12	刚性/边值	稳定性或打靶	✅ 刚性用隐式/A-稳定；边值打靶猜斜率或有限差分。

覆盖核对

本页覆盖教材习题 1–12（题面摘要 + 答案/提示），与 7.1–7.2、7.3、7.4–7.5 互补。覆盖矩阵见第 7 章覆盖矩阵。