7.4–7.5 一阶方程组、刚性与边值问题

对应教材 7.4–7.5。老师本章尚未开讲，先按教材铺。 主线：把高阶方程/方程组写成一阶向量系统；刚性看特征值量级差；边值问题用打靶或差分。

7.4 一阶方程组与刚性方程

高阶方程 (y^{(m)}=f(t,y,y’,\dots,y^{(m-1)})) 可令 $$Y=(y,y',\dots,y^{(m-1)})^{\mathrm T},$$ 化成一阶系统 $$Y'=F(t,Y).$$ 所有单步法/RK 都可逐分量使用：把标量 (y) 换成向量 (Y)，(f) 换成 (F)。

刚性（stiff）：若 Jacobian (F_Y) 的特征值实部全为负，且量级相差很大（如 (-10^6) 与 (-1)），称方程刚性。显式方法受绝对稳定限制，步长必须 (h\sim1/|\lambda_{\max}|)，否则数值解爆炸；隐式方法（后退 Euler、梯形、隐式 RK）稳定区域大，可用大步长。

A-稳定：若方法的绝对稳定区域包含整个左半平面，称 A-稳定。后退 Euler、梯形法是 A-稳定的；显式 Euler、RK4 不是。

7.5 边值问题

二阶边值问题： $$y''=f(t,y,y'),\qquad y(a)=\alpha,\ y(b)=\beta.$$

打靶法：猜初始斜率 (s)，解初值问题 $$y''=f(t,y,y'),\quad y(a)=\alpha,\ y'(a)=s,$$ 得到 (y(b;s))；解方程 (y(b;s)=\beta)（二分/Newton）得 (s)。每算一次 (y(b;s)) 要解一次初值问题。

有限差分法：把 ([a,b]) 分成网格，令 (y_i\approx y(t_i))，用中心差分 $$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f\left(t_i,y_i,\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}\right),$$ 加上边界 (y_0=\alpha,y_n=\beta)，得到非线性/线性方程组；线性问题用追赶法。