7.3 线性多步法

对应教材 7.3.1–7.3.4、定理 7.4–7.5、例 6–13。老师本章尚未开讲，先按教材铺。 主线：用前几步的历史值提高阶；显式 Adams–Bashforth 预测，隐式 Adams–Moulton 校正。

7.3.1 线性多步法

一般形式： $$\sum_{j=0}^k\alpha_jy_{n+j}=h\sum_{j=0}^k\beta_jf_{n+j}.$$ 若 (\beta_k=0) 为显式，(\beta_k\ne0) 为隐式。用前 (k) 步的历史值，每步只需算一次新函数值（显式）。

四阶 Adams–Bashforth（显式）： $$y_{n+4}=y_{n+3}+\frac h{24}\left(55f_{n+3}-59f_{n+2}+37f_{n+1}-9f_n\right).$$

三阶 Adams–Moulton（隐式）： $$y_{n+3}=y_{n+2}+\frac h{24}\left(9f_{n+3}+19f_{n+2}-5f_{n+1}+f_n\right).$$

7.3.2 预测–校正

显式公式给预测 (\bar y_{n+4})，再用隐式公式校正： $$\bar y_{n+4}=\text{AB4}(y_n,\dots,y_{n+3}), \qquad y_{n+4}=\text{AM3}(\bar y_{n+4},y_{n+1},y_{n+2},y_{n+3}).$$ 预测–校正既避免每步解方程，又比纯显式稳定；阶由校正公式决定。

7.3.3 收敛性与绝对稳定性

定理 7.4（收敛）：线性多步法相容且满足根条件（特征多项式 (\rho(\zeta)=\sum\alpha_j\zeta^j) 的根在单位圆内，且在单位圆上的是单根），则方法收敛。

定理 7.5（绝对稳定）：对测试方程 (y’=\lambda y)，令 (z=h\lambda)，多步法的特征方程 $$\rho(\zeta)-z\sigma(\zeta)=0,\qquad \sigma(\zeta)=\sum\beta_j\zeta^j.$$ 若所有根 (|\zeta|\lt1)，则方法在 (z) 处绝对稳定；稳定区域由根轨迹给出。

例 6–10（教材 7.3）：教材用 Adams 公式算同一初值问题，比较多步法与 RK4 的精度/稳定性；例 10 求二阶多步法的绝对稳定区间。

7.3.4 数值例子与选择

例 11–13（教材 7.3.4）：多步法启动需要前几步的值，通常先用 RK4 算前 3–4 步，再切到 Adams；切换时步长保持不变。多步法的优点是每步函数求值少，缺点是不能自启动、变步长麻烦。