7.1–7.2 初值问题与单步法

对应教材 7.1、7.2.1–7.2.3、定理 7.1–7.3、例 1–5。老师本章尚未开讲，先按教材铺。 主线：Euler 是最简单的单步法；RK 用多算几个斜率把阶抬高；收敛看相容 + Lipschitz，稳定看测试方程。

7.1 初值问题与基本概念

一阶初值问题： $$y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0,\qquad t\in[t_0,T].$$ 若 $f$ 对 $y$ 满足 Lipschitz 条件 $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|,$$ 则解存在唯一，且对初值连续依赖（适定）。

局部截断误差：设 $y(t)$ 是精确解，单步法写成 $y_{n+1}=y_n+h\Phi(t_n,y_n,h)$。令 $$T_{n+1}=y(t_{n+1})-y(t_n)-h\Phi(t_n,y(t_n),h).$$ 若 $T_{n+1}=O(h^{p+1})$，称方法为 $p$ 阶；全局误差为 $O(h^p)$。

7.2.1 Euler 法、后退 Euler、梯形法

显式 Euler： $$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$$ 局部截断误差 $O(h^2)$，一阶方法。几何上沿当前点切线走一步。

后退 Euler： $$y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1}).$$ 隐式，每步解一个方程；一阶，但绝对稳定区域更大，适合刚性方程。

梯形法： $$y_{n+1}=y_n+\frac h2\left[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})\right].$$ 隐式，二阶；是“平均斜率”。

改进 Euler（预测–校正）： $$\bar y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n),\qquad y_{n+1}=y_n+\frac h2\left[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},\bar y_{n+1})\right].$$ 显式，二阶。

7.2.2 Runge–Kutta 方法

在 $[t_n,t_{n+1}]$ 上多取几个斜率，加权平均： $$y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=1}^s b_ik_i, \qquad k_i=f\left(t_n+c_ih,\ y_n+h\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j\right).$$ 系数满足阶条件。常用：

中点公式（RK2）： $$k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_1\right),\quad y_{n+1}=y_n+hk_2.$$

四阶 RK（RK4）： $$\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\ k_2&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_1\right),\ k_3&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2k_2\right),\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\ y_{n+1}&=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}$$ 四阶方法，每步 4 次函数求值；工程中最常用。

7.2.3 收敛性与稳定性

定理 7.1（阶）：若单步法的局部截断误差为 $O(h^{p+1})$，则它是 $p$ 阶方法。

定理 7.2（收敛）：若单步法相容（$p\ge1$）且 $\Phi$ 对 $y$ 满足 Lipschitz 条件，则方法收敛，全局误差 $O(h^p)$。

定理 7.3（绝对稳定）：对测试方程 $y'=\lambda y$（$\lambda$ 可复），单步法写成 $$y_{n+1}=R(h\lambda)y_n.$$ 若 $|R(z)|\lt1$，称方法在 $z=h\lambda$ 处绝对稳定；所有这样的 $z$ 组成绝对稳定区域。

• Euler：$R(z)=1+z$，稳定区域 $|1+z|\lt1$；
• 后退 Euler：$R(z)=1/(1-z)$，稳定区域 $|1-z|\gt1$（包含左半平面）；
• RK4：$R(z)=1+z+z^2/2+z^3/6+z^4/24$。

例 1（教材 7.2.1）：对 $y'=y-t^2+1$、$y(0)=0.5$，取 $h=0.1$，Euler 法： $$y_{n+1}=y_n+h(y_n-t_n^2+1).$$

误差随 $t$ 增大，步长减半误差约减半（一阶收敛）。

例 2–5（教材 7.2.2）：改进 Euler、中点公式、RK4 对同一初值问题计算；同样步长下 RK4 误差最小，但每步函数求值最多。