第 5 章习题（教材 1–43）

题面数据以颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 5 章习题（p.144–148）为准。本章题量大，按题型分组给题号、主题、答案/提示；逐题数值可按教材数据复算。分组：1–19 插值；20–28 样条；29–40 正交多项式/最佳逼近；41–43 最小二乘。

5.A 插值（1–19）

题	主题	答案 / 提示
1	函数系线性无关	用定义：若线性组合恒为零，取节点值推出所有系数为零。
2	函数系在点集上线性无关	构造以节点为根的方程组，证明系数矩阵非奇异（范德蒙德型）。
3	${\sin x,\sin2x,\sin3x}$ 线性无关	在 9 个点上取值，验证对应矩阵满秩。
4	给定数表作插值	用 Lagrange 或 Newton；先算差商表。
5	Lagrange 基性质	$\sum l_k(x)=1$ ； $l_k(x_j)=\delta_{kj}$ 。
6	次数不超过 $n$ 的多项式	插值多项式就是它本身（唯一性）。
7–8	数表插值/差商	列差商表，写 Newton 公式；注意节点顺序。
9	差商性质	对称性、线性性、 $f[x_0,\dots,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$ 。
10	$f(x)=x^m$ 的差商	$m\le n$ 时 $f[x_0,\dots,x_n]=0$ ； $m=n$ 时为 1。
11	差商多项式次数	展开 $f[x_0,x]$ ，最高次项为 $a_nx^{n-1}$ 。
12	等距节点差商	用向前差分： $f[x_k,\dots,x_{k+n}]=\frac{\Delta^nf(x_k)}{n!h^n}$ 。
13	Newton 插值算 $f(-1)$	用第 8 题差商表，分别以不同节点组构造二次 Newton。
14	$\sin x$ 二次插值误差	用 $\|R_2\|\le\frac{M_3}{3!}\|(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\|$ 估。
15	数表插值	Lagrange/Newton；必要时分段。
16	二元插值	双一次：先 $x$ 后 $y$ ；或张量积。
17	函数表插值	列差商/构造基函数；检查 Runge 风险。
18	Hermite 插值	设 $H_2(x)=p_2(x)+a(x-x_0)(x-x_1)$ ，用导数条件定 $a$ 。
19	Hermite 数表	列带导数条件的方程组，或 Newton 型 Hermite 公式。

5.B 样条（20–28）

题	主题	答案 / 提示
20	半截单项式导数	$x_+^m$ 在 $x=0$ 有 $m-1$ 阶连续导数， $m$ 阶不存在。
21	$x_+^m$ 的光滑性	同上；用左右极限证。
22	判断三次样条	检查每段三次、节点处 $S,S',S''$ 连续。
23	验证样条	分段写出，验证内节点连续性。
24	$B_k$ 样条分段表达式	按定义展开，画图看支撑区间。
25–26	给定数表作三次样条	三弯矩法：算 $h_i,\mu_i,\lambda_i,d_i$ ，解三对角。
27	$n=4$ 实序列	按样条/差分关系列方程。
28	周期函数样条	用周期边界 $S'(a)=S'(b),S''(a)=S''(b)$ 。

5.C 正交多项式与最佳逼近（29–40）

题	主题	答案 / 提示
29	正交函数系线性无关	若 $\sum a_k\varphi_k=0$ ，与 $\varphi_j$ 作内积得 $a_j=0$ 。
30	两个正交多项式系	次数相同的子空间相同，存在非奇异过渡矩阵。
31	三项递推	用正交性消去低次项，得 $p_{k+1}=(x-\alpha_k)p_k-\beta_kp_{k-1}$ 。
32	$[0,1]$ 带权 $x$ 的正交多项式	Gram–Schmidt： $1$ ， $x-\frac{2}{3}$ ， $x^2-\frac{6}{5}x+\frac{3}{10}$ 。
33	Chebyshev 倍角	$T_{2n}(x)=T_n(2x^2-1)$ ，用 $\cos2n\theta$ 展开。
34	内积定义	验证对称性、线性性、正定性。
35	$\sin\pi x$ 三次最佳平方	用 Legendre 基投影，算内积系数。
36	$x^3$ 在 $[0,1]$ 二次最佳平方	解 $3\times3$ 法方程，或对 Legendre 平移。
37	求 $a,b,c$ 使积分最小	对 $a,b,c$ 求偏导，解法方程。
38	最佳逼近特征	用正交投影/法方程；误差与子空间正交。
39	$\arccos x$ 的 Chebyshev 展开	算 $c_k=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1\frac{\arccos x,T_k(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx$ 。
40	一次样条最佳平方	在样条空间解正规方程；基函数取 B 样条。

5.D 最小二乘（41–43）

题	主题	答案 / 提示
41	$y=a+bx^2$ 拟合	令 $u=x^2$ ，对 $(u,y)$ 作线性最小二乘。
42	给定数表拟合	选基函数，列 $A^{\mathrm T}Ac=A^{\mathrm T}y$ ，解法方程。
43	$s=ce^{at}$ 拟合	取 $\ln s=\ln c+at$ ，对 $(t,\ln s)$ 作线性拟合。

覆盖核对

本页按题号覆盖教材习题 1–43（分组给答案/提示）；逐题数值可按教材数据复算。覆盖矩阵见第 5 章覆盖矩阵。