第 9 讲（10-14）：牛顿法的全局收敛定理、割线法与单点割线法；插值法引论

课堂实录精编。本讲无课件、全程板书（课件流整段「无视频信号」，与第 7 讲相同）， 承接第 7 讲末尾「$f(x)=0\iff x=\varphi(x)$、二分法、不动点迭代收敛定理」与 本周一（第 8 讲，本编待补）的「唯一性与压缩条件下的收敛速度、收敛阶、牛顿法与二阶收敛」。 本讲主线三段：复盘三定理——不动点迭代的「存在、收敛、收敛阶」三条定理，把 「导数消失到第 $m-1$ 阶」与「迭代是 $m$ 阶收敛」对上（牛顿法正是 $\varphi'(s)=0$ 的特例， 故二阶）；牛顿法的收敛范围——一般牛顿法只保证局部收敛（初值须落在目标根附近， 取偏了会跑到另一个根甚至局部极值），本讲给出全局收敛定理的四条充分条件 （端点异号、二阶导不变号、一阶导不为零、$f(x_0)f''(x_0)\gt0$），列举随之而来的四种 函数图像，并就第一种情形完成证明（$x_k$ 单调有界 $\Rightarrow$ 收敛；对迭代式取极限 得 $f(s')=0$，由唯一性 $s'=s$）；割线法族——牛顿法要算 $f'$，遇到多元/复杂函数太贵， 于是用差商代替导数得到割线法（两个初值、几何即过两点的割线与横轴交点、收敛阶是 黄金比 $r=(1+\sqrt5)/2\approx1.618$），再把 $x_{k-1}$ 钉住为 $x_0$ 得单点割线法 （降为一阶），Steffensen 迭代法课上点到即止（留作自阅）；插值法引论——海底温度随 深度的采样问题引出「用简单函数恢复曲线」，从 $n+1$ 个数据点列出 $n+1$ 个方程解 $n+1$ 个 系数，指出系数矩阵是范德蒙德矩阵（互异节点下非奇异，但病态到没法直接解），于是 换基为拉格朗日基 $l_i(x)$，插值系数直接读出为 $f(x_i)$。前三段对应原书第 4 章 （非线性方程）的收敛性讨论，末段是原书第 5 章（插值）的开篇。 原始转写存档于仓库根目录 _sources/numerical/transcripts/（源文件，不随书构建发布； 本讲平台侧无语音数据，转写由教师流音频本地完成）；本页公式逐条对照教师摄像头 板书关键帧核对（板书全程为绿板粉笔手写，见下文各节「板书」标注）。

课堂时间线

一、开场复盘：不动点迭代的三条定理（01:30–05:30）

本讲从回顾上节课（周一）的三个结论开始。求 $f(x)=0$ 的根，先把方程改写成等价的不动点 形式 $x=\varphi(x)$，再迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$（第 7 讲已引入）。围绕它有三条 层层递进的定理：

1. 不动点存在（唯一）定理：$\varphi$ 在 $[a,b]$ 上连续，且把区间映到自身 $\varphi([a,b])\subseteq[a,b]$，再加压缩条件 $|\varphi'(x)|\le L\lt1\ (x\in[a,b])$， 则 $[a,b]$ 内存在唯一不动点 $s$；
2. 收敛定理：在上述两条条件下，任取初值 $x_0\in[a,b]$，迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ 收敛到 $s$（第 7 讲已证存在性，收敛/唯一由本周一补齐）；
3. 收敛阶定理：迭代收敛得有多快，取决于 $\varphi$ 在 $s$ 处导数消失到第几阶。

板书左板把三条定理自上而下并排成三块（定理一、定理二、定理三），其中定理二、三的条件框 被老师加框强调——「这两条各管什么」是本讲反复回扣的一条线。

二、收敛阶定理：导数消失阶数决定迭代阶数（05:30–11:20）

定理（收敛阶）：设 $s=\varphi(s)$ 是不动点，$\varphi$ 在 $s$ 附近有 $m$ 阶连续导数，且

$$\varphi'(s)=\varphi''(s)=\cdots=\varphi^{(m-1)}(s)=0,\qquad \varphi^{(m)}(s)\neq0,$$

则迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ 在 $s$ 附近是 $m$ 阶收敛，且（板书在定理右侧写出极限式）

$$\lim_{k\to\infty}\frac{x_{k+1}-s}{(x_k-s)^m}=\frac{\varphi^{(m)}(s)}{m!}.$$

为什么是 $m$ 阶（把 $\varphi(x_k)$ 在 $s$ 处 Taylor 展开）：由 $x_{k+1}-s=\varphi(x_k)-\varphi(s)$，

$$\varphi(x_k)=\varphi(s)+\underbrace{\varphi'(s)(x_k-s)+\cdots+\frac{\varphi^{(m-1)}(s)}{(m-1)!}(x_k-s)^{m-1}}_{=\ 0} +\frac{\varphi^{(m)}(\xi)}{m!}(x_k-s)^m,$$

前 $m-1$ 项因导数全为零而消失，只剩最高阶项，于是

$$x_{k+1}-s=\frac{\varphi^{(m)}(\xi)}{m!}(x_k-s)^m\ \approx\ \frac{\varphi^{(m)}(s)}{m!}(x_k-s)^m,$$

即误差按 $m$ 次方缩小——这正是「$m$ 阶收敛」的含义。板书把这一结论的右边单独写成 $\dfrac{\varphi^{(m)}(s)}{m!}$，与 $\lim$ 式并列。

两种常见情形（对上课板）：

• 若 $\varphi'(s)\neq0$：只有 $m=1$，线性收敛（误差每步乘一个常数）；
• 若 $\varphi'(s)=0,\ \varphi''(s)\neq0$：$m=2$，二阶（平方）收敛——每步有效数字大约翻倍。

牛顿法为什么是二阶：牛顿迭代 $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 等价于不动点迭代，其迭代函数

$$\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)},\qquad \varphi'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2}.$$

在根 $s$ 处 $f(s)=0$、$f'(s)\neq0$，故 $\varphi'(s)=0$；而 $\varphi''(s)=\dfrac{f''(s)}{f'(s)}$ 在一般情形下 $\neq0$（若也恰好为零则阶数更高）。代入上面的 收敛阶定理，牛顿法至少是二阶收敛（当 $\varphi''(s)\neq0$ 时恰为二阶）——板书在这一行右侧 专门标了「(至少二阶)」，并另起一行写「且 $\varphi'(s)=0$，二阶收敛」。这正是周一讲过的 结论，本讲用它作为「收敛阶定理」的标准例子。

三、牛顿法的局部性：初值必须靠近目标根（11:20–16:00）

既然牛顿法有二阶收敛这么快，为什么还要专门讨论「收敛范围」？老师画出反例图像说明： 牛顿法的一般收敛定理只保证局部结果。

「牛顿迭代的二阶收敛虽然快，但它对初值是有要求的——你必须选择在目标根附近。」

板书画出一条多峰的曲线（有多个根/极值），标出想求的目标根 $s$，再把初值 $x_0$ 取在离 $s$ 很远的另一侧：做切线得 $x_1$，再在 $x_1$ 处做切线得 $x_2$……迭代跑到了另一个根 （或收敛到某个局部极值），而不是想要的 $s$。

$$x_0\ \text{取在远处}\ \Rightarrow\ x_1,x_2,\dots\ \text{收敛到别的根 }s'\neq s .$$

老师用优化语言解释了这层「局部 vs 全局」：目标函数的各个根就像优化问题的各个极值点， 有全局最优也有局部最优；初值离全局最优太远，迭代就可能落进某个局部最优。「你本来要找 最高的那座山，结果初值选在矮山上，它就爬到矮山的顶了。」

四、牛顿法的全局收敛定理（16:00–21:00）

定理（全局收敛，教材称「大范围收敛性定理」）：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶连续可导，且满足四条

$$(\mathrm i)\ \ f(a)f(b)\lt0;\qquad (\mathrm{ii})\ \ f''(x)\ \text{在}\ [a,b]\ \text{上不变号};\qquad (\mathrm{iii})\ \ f'(x)\ \text{在}\ [a,b]\ \text{上不为零};$$

$$(\mathrm{iv})\ \ x_0\in[a,b],\quad f(x_0),f''(x_0)\gt0\ \ \text{（初值条件）},$$

则以 $x_0$ 为初值的牛顿迭代 $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 收敛到 $[a,b]$ 上的 唯一根 $s$，并且至少平方收敛。

板书把定理写成「定理」二字起头、四条并列，再画一个大括号接迭代格式，右边写收敛结论 $x_k\xrightarrow[k\to\infty]{}s$。四条条件逐条翻译：

五、四种函数图像与初值取值范围（19:00–21:30）

「凸性不变」有两种（上凸、下凸），「单调性不变」有两种（单增、单减），组合起来正好 四种图像，板书分四格画出，并标出条件 (iv) 允许的初值区间（打阴影）：

规律是统一的：把初值取在「该点的切线与 $x$ 轴的交点落在根的另一侧（切线步不越过根）」 的那一端——也就是 $f(x_0)$ 与 $f''(x_0)$ 同号的一端。

六、全局收敛定理的证明（21:30–34:20）

以第一种情形（(1) 上凸 + 单增：$f'\gt0,\ f''\lt0$）为例，证明牛顿序列收敛到根 $s$。 此时由 (iii) 知 $f'$ 恒正，故 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格单增、$s$ 唯一；条件 (iv) 给出 $f(x_0)\lt0$（因 $f''\lt0$ 要求 $f(x_0)$ 与之同号），即 $x_0$ 在 $s$ 的左侧：$x_0\lt s$。

第一步：$x_1\gt x_0$。 由 $f(x_0)\lt0,\ f'(x_0)\gt0$，

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=x_0+\frac{|f(x_0)|}{f'(x_0)}\ \gt\ x_0 .$$

第二步：$x_1\lt s$。 在 $x_0$ 处把 $f$ 关于 $s$ 作 Taylor 展开（用 $f(s)=0$）， 存在 $\xi\in(x_0,s)$ 使

$$f(x_0)=f(s)+f'(\xi)(x_0-s)=f'(\xi)(x_0-s).$$

代入 $x_1$ 的表达式：

$$x_1=x_0-\frac{f'(\xi)(x_0-s)}{f'(x_0)} =x_0+(s-x_0)\cdot\frac{f'(\xi)}{f'(x_0)}.$$

因为 $f''\lt0$，$f'$ 在 $[a,b]$ 上单调下降；$\xi\in(x_0,s)$ 故 $\xi\gt x_0$，于是

$$0\ \lt\ \frac{f'(\xi)}{f'(x_0)}\ \lt\ 1 \qquad\Longrightarrow\qquad x_0\ \lt\ x_1=x_0+(s-x_0)\cdot\frac{f'(\xi)}{f'(x_0)}\ \lt\ s .$$

第三步：归纳与收敛。 对 $x_1$ 重复同样的论证（$x_1$ 仍满足 $f(x_1)\lt0$、$x_1\lt s$），得 $x_1\lt x_2\lt s$，依此类推：

$$x_0\lt x_1\lt x_2\lt\cdots\lt x_k\lt\cdots\lt s .$$

这是单调递增且有上界（上界 $s$）的数列，故有极限，记为 $s'$：

$$\lim_{k\to\infty}x_k=s' .$$

第四步：极限就是根。 在迭代式 $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 两边令 $k\to\infty$， 由 $f,f'$ 连续、(iii) 保证 $f'(s')\neq0$：

$$s'=s'-\frac{f(s')}{f'(s')}\qquad\Longrightarrow\qquad f(s')=0 .$$

故 $s'$ 是 $[a,b]$ 上的一个根；由 (iii) 保证唯一，得 $s'=s$。$\blacksquare$

七、割线法：用差商代替导数（34:20–46:40）

牛顿法的软肋是每步要算 $f'(x_k)$。老师点出动机：

「很多时候 $f$ 特别复杂，对它求导很费劲——尤其是当 $f$ 已经变成函数向量（方程组）的时候， 求导数就变成求矩阵了，更贵。那我用差商来替代它。」

做法：把牛顿法里的 $f'(x_k)$ 用差商近似代替：

$$f'(x_k)\ \approx\ \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}},$$

代回牛顿格式，得到割线法（也称弦截法，板书把差商框出）：

$$\boxed{\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{\dfrac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}} =x_k-\frac{f(x_k),(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}\ }$$

上式两种写法是同一个式子（把分母的差商「翻」上去）。注意：割线法需要两个初值 $x_0,x_1$（因为它用到前两步 $x_k,x_{k-1}$），比牛顿法多给一个起点。

几何意义：$x_{k+1}$ 是过两点 $(x_{k-1},f(x_{k-1}))$ 与 $(x_k,f(x_k))$ 的割线与 $x$ 轴 的交点。板书把它写成直线方程来点明：

$$y-f(x_k)=\underbrace{\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}}_{\text{斜率}}\ (x-x_k),$$

令 $y=0$ 解得的 $x$ 即为 $x_{k+1}$——牛顿法用切线（一点 + 导数），割线法用割线（两点 + 差商）。

收敛阶：割线法仍是超线性收敛，但阶数不是整数。由

$$r^2-r-1=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618\quad(\text{黄金比}),$$

即每步误差按 $e_{k+1}\sim C,e_k^{,1.618}$ 缩小。板书末行专门写出 $r^2-r-1=0$ 并标 $r=1.618$。

八、割线法的全局收敛与单点割线法（51:27–64:00）

割线法的全局收敛：与牛顿法同一套四条条件 (i)–(iv) 下（两个初值 $x_0,x_1$ 都取在 合适的阴影区内），割线迭代同样收敛到 $[a,b]$ 上的唯一根 $s$——「还是和刚刚那四条一模一样」。

单点割线法：割线法的麻烦是「要记住前两个值」。把 $x_{k-1}$ 钉死为固定的 $x_0$，就得到 单点割线法（板书框出）：

$$\boxed{\ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k),(x_k-x_0)}{f(x_k)-f(x_0)}\ }$$

几何意义：每次都用同一个固定点 $(x_0,f(x_0))$ 与当前点 $(x_k,f(x_k))$ 连线，取割线 与 $x$ 轴交点。老师一边画一边说：「原来连的是 $x_{k-1}$ 和 $x_k$，现在我把 $x_{k-1}$ 换成 $x_0$——就是把 $x_0$ 的图像和 $x_k$ 的图像连一下。」

代价：收敛阶降为一阶。 单点割线法只线性收敛（不再是割线法的 $1.618$）：

$$|x_{k+1}-s|\le\rho,|x_k-s|,\qquad 0\lt\rho\lt1 .$$

板书用一版的图像（凸性与单调性都不变）说明：当 $x_0$ 选在合适的一侧、$x_k$ 从另一侧逼近时， 每条割线都「朝着根」去，序列单调收敛——这四种情形与第六节的证明同构，老师讲「就不必再证了」。

九、Steffensen 迭代法（64:00–65:00）

老师只提了一句：这一节后面还有一个斯蒂芬森（Steffensen）迭代法——「它插在牛顿法和割线法 之间，比较突兀，大家自己看一看就行」。本编不展开（它属于加速法：把 Aitken 加速套在 不动点迭代上，不用导数也能拿到二阶收敛），课堂上未讲，列为自阅。

十、插值法引论：从散点到曲线（65:00–80:00）

非线性方程到此收束，下半场转入插值/逼近。老师用一个工程场景开场：

潜水器测海底温度随深度的变化曲线。真实曲线是连续的一条，但采样只能取有限个点 ——「你不可能把随深度变化的所有数据都采完，只能在这儿采一个、那儿采一个……」

于是问题变成：已知有限个采样点，如何恢复（近似）整条曲线？ 形式上：

插值问题：已知 $n+1$ 个互异的采样点 $(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),\dots,(x_n,f(x_n))$， 求一个函数 $P$，使它在每个采样点处与被逼近函数取相同值：

$$P(x_i)=f(x_i),\qquad i=0,1,\dots,n .$$

用什么函数来逼近？ 老师的回答体现了数学建模的取舍：「尽量找最简单的函数。」 并给出一层更深的直觉——自然界的东西往往可以被简单函数逼近（「世界的本质就是压缩：信息看着 很多，真正有效的信息并不多」）。而最简单的函数族，就是多项式：

$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n .$$

未知量个数与方程个数的匹配：$n+1$ 个插值条件 $\Rightarrow$ $n+1$ 个方程；而 $n$ 次多项式 恰有 $n+1$ 个待定系数 $a_0,a_1,\dots,a_n$——「正好」。板书把方程组逐行写出：

$$\begin{cases} a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+\cdots+a_nx_0^n=f(x_0)\[2pt] a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots+a_nx_1^n=f(x_1)\[2pt] \qquad\vdots\[2pt] a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+\cdots+a_nx_n^n=f(x_n) \end{cases}$$

十一、范德蒙德矩阵：存在唯一，但病态（80:00–85:00）

上一节的方程组写成矩阵形式 $A\boldsymbol a=\boldsymbol f$，其中

$$A=\begin{pmatrix} 1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^n\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^n\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n \end{pmatrix},\qquad A_{ij}=x_i^{,j}.$$

这就是范德蒙德（Vandermonde）矩阵，其行列式有闭式：

$$\det A=\prod_{0\le i\lt j\le n}(x_j-x_i).$$

只要采样点互不相同，每对 $(x_j-x_i)\neq0$，故 $\det A\neq0$，方程组有唯一解：

$$\text{互异节点}\ \Longrightarrow\ \text{存在唯一的}\ n\ \text{次插值多项式}\ P_n .$$

十二、拉格朗日插值：换基避病态（85:00–99:03）

既然「在这组基 ${1,x,x^2,\dots,x^n}$ 下系数不好求」，就换一组基。老师提出构造 （板书框出）：

$$l_i(x)=\prod_{j=0,,j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \qquad(i=0,1,\dots,n),$$

即「分子用 $x$ 去减除 $x_i$ 以外所有节点、分母把 $x$ 换成 $x_i$」。这些 $l_i$ 称为 拉格朗日基函数，它们有极好的筛选性质（板书逐点代入验证）：

$$l_i(x_i)=1,\qquad l_i(x_j)=0\quad(j\neq i).$$

性质的意义：$l_i$ 在「自己那个节点」取 $1$、在其他所有节点取 $0$——是一个只在 $x_i$ 处「点亮」的开关。于是若把插值多项式写成这组基的线性组合

$$L_n(x)=b_0l_0(x)+b_1l_1(x)+\cdots+b_nl_n(x),$$

代入节点 $x_i$：因为除 $l_i$ 外其余基函数在该点全为 $0$，方程立刻退化为

$$L_n(x_i)=b_i\cdot1=b_i\ \overset{!}{=}\ f(x_i)\qquad\Longrightarrow\qquad b_i=f(x_i).$$

系数直接就是函数值，一步不用解方程！于是

$$\boxed{\ L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}f(x_i),l_i(x)\ }$$

这就是拉格朗日插值公式。它把「解 $n+1$ 元病态方程组」换成了「按点加权求和」——换基 绕开了范德蒙德矩阵的病态。

十三、记号与考注（本讲特有）

1. 板书分区：本讲左板自上而下三块分别是不动点迭代的定理一（存在）/定理二（收敛）/ 定理三（收敛阶）；右板上半是牛顿法全局收敛定理与四格图像，右板下半是割线法/ 单点割线法的公式与「四条条件」重述；最右后来擦出新板写插值（范德蒙德与拉格朗日）。
2. 「凸」的记号冲突：本节「上凸」$=f''\lt0$、「下凸」$=f''\gt0$，与英文 convex/concave 相反；第五节的对照表已按 $f''$ 符号给出，考试写答案时建议直接写 $f''$ 的符号，别用「凸/凹」 两字打哑谜。
3. 全局收敛定理的条件顺序：板书与教材定理 4.7 均为 (1) 端点异号、(2) $f''$ 不变号、 (3) $f'$ 不为零、(4) $f(x_0)f''(x_0)\gt0$。课堂口述的转写在这两条上容易听混（17:12 一带）， 以板书和教材为准；判断方法是看导数阶数：二阶导管凸性，一阶导管单调。也不要把「$f'$ 不变号」 当成第 (2) 条——它只是 (3) 的推论，不能代替「$f'\neq0$」。
4. 收敛阶 $r$：割线法的阶 $r=(1+\sqrt5)/2$ 由 $r^2-r-1=0$ 给出，是无理数；课堂 转写把 $r$ 读作「R接」「1.5G」，均指 $1.618$。
5. 术语「割线法」：转写里出现的「拖线法 / 歌线法 / 各线法 / 科线法 / 科宪法」全部是 「割线法」的同音误识；「单点科线法」即单点割线法。
6. 定理编号：板书用课堂自编的「定理一 / 定理二 / 定理三」依次标注不动点迭代的 存在、收敛、收敛阶三条结论——这是板书内部的序号，不是原书编号；本编保留「定理一/二/三」 的说法以便对照板书，但不把它们与原书定理号对应（课堂未念原书编号）。
7. 未讲内容：Steffensen 迭代法课上点到即止（自阅）；割线法/单点割线法在四种情形下的 收敛证明与牛顿法同构，课堂未逐一写出；插值的误差余项与收敛性留到下一讲。
8. 转录说明：本讲平台侧无语音识别数据，_sources 中的转写由教师流音频本地 whisper.cpp 生成，未校对，课间（46:46–51:27）与片头片尾为幻觉窗口；本页公式以板书为准。
9. 板书核对：本页公式全部对照板书关键帧（1920×1080 教师摄像头画面）逐条核对，主要参照 时刻：① 05:30–11:20 三定理与收敛阶；② 16:00–21:30 全局收敛定理四条与四格图像； ③ 21:30–34:20 第一种情形的完整证明；④ 34:20–46:40 割线法公式与几何；⑤ 61:00–64:00 单点割线法；⑥ 80:00–99:03 范德蒙德矩阵与拉格朗日基。

十四、老师强调

• 局部 vs 全局：牛顿法的一般定理只给「初值靠近根」的局部保证；全局版本靠四条条件， 核心是凸性与单调性都不变。
• 四条条件各有其职：(i)+(iii) 夹住并唯一化根；(ii) 保证凸性不变、序列不越界；(iv) 指 定初值落在曲线的哪一侧——「$f(x_0)$ 与 $f''(x_0)$ 同号」。
• 割线法一族：牛顿法（二阶）$\to$ 割线法（差商代导，阶 $1.618$）$\to$ 单点割线法 （钉住 $x_0$，一阶），每松一步掉一档阶；越松越省，也越慢。
• 割线法要两个初值，单点割线法只要一个（外加固定点 $x_0$）。
• 插值的坑：范德蒙德矩阵「存在唯一但病态」——存在性结论不等于可用算法； 换基（拉格朗日）让系数直接读出。
• 建模的直觉：自然界的东西「有效信息不多」，可用简单函数（多项式）逼近——这是 整章插值/逼近的出发点。
• 方法论（承第 7 讲）：证明的过程不必人人掌握，「但结论和公式必须记得住、 能自己推」。

十五、课堂口述与标准术语对照（节选）