模型误差＝数学模型与实际问题的差别（写公式的人）；观测误差＝观测数据与实际数据之差（测数据的人）；截断误差（方法误差）＝用近似方法代替精确求解所得的近似解与模型精确解之差（选算法的人）；舍入误差（计算误差）＝字长有限导致数据与运算结果存放产生的误差（机器）。只有后两类能由算法设计控制（定义 1.2.1–定义 1.2.4、1.2.1）。（✓ / △ / ×）

$e=x-a$；若 $\lvert e\rvert\le\varepsilon$ 则称 $\varepsilon$ 为误差限；关系写作 $a-\varepsilon\lt x\lt a+\varepsilon$，即 $x=a\pm\varepsilon$——$a$ 已知、$x$ 未知（定义 1.2.5）。（✓ / △ / ×）

真定义 $e_{\mathrm r}=\dfrac{x-a}{x}$；实用公式 $e_{\mathrm r}\approx\dfrac{x-a}{a}$（分母换成已知的 $a$），二者相差 $O(e_{\mathrm r}^2)$。相对误差限 $\varepsilon_{\mathrm r}=\varepsilon(a)/\lvert a\rvert$；$x=0$ 处相对误差无定义，近似 $0$ 只能用绝对误差谈论（定义 1.2.6、errata N1）。（✓ / △ / ×）

先把 $a$ 写成规格化形式 $a=\pm0.a_1a_2\cdots a_k\times10^m$（$a_1\neq0$）：若 $\varepsilon(a)=\tfrac12\times10^{m-n}$ 且 $n\le k$，就说 $a$ 有 $n$ 位有效数字——从第一位非零数字数到「敢担保」的那一位。尾零是「这几位也查过了」的书面声明：$2.1400$ 是 5 位、$2.14$ 是 3 位（定义 1.2.7）。（✓ / △ / ×）

算法＝从输入数据算出数值问题解的有限的基本运算序列（四则、逻辑、基本函数）。两个标准：① 有可靠的理论基础（正确性、收敛性、数值稳定性、可做误差分析）；② 有良好的计算复杂性。复杂性＝达到给定精度所需的时间（计算量）与空间（内存）（定义 1.2.8）。（✓ / △ / ×）

数值稳定＝能控制舍入误差的传播：误差在逐步执行中不放大（放大因子有界）。它与病态不是一回事：病态是问题本身对输入扰动的敏感（条件数大，换算法无效）；不稳定是算法的属性（换算法可救）（定义 1.2.9、1.2.6 交叉表）。（✓ / △ / ×）

$x=\pm m\times\beta^{e}$，$m=(0.b_1b_2\cdots b_t)_\beta$，$L\le e\le U$；$\mathrm{eps}=\beta^{1-t}$、$u=\tfrac12\beta^{1-t}$，且 $\left\lvert\frac{\operatorname{fl}(x)-x}{x}\right\rvert\le u$。双精度（$\beta=2,t=53$）：$\mathrm{eps}=2^{-52}\approx2.22\times10^{-16}$、$u\approx1.11\times10^{-16}$（定义 1.2.10）。（✓ / △ / ×）

向前误差是「结果离真值多远」（$f(x)-\tilde y$）；向后误差是「使精确模型恰好算出 $\tilde y$ 的最小输入扰动」——结果是谁家的精确答案。向后误差与机器舍入同量级时称算法向后稳定，此时向前误差≈条件数 × 向后误差（定义 1.2.11、1.2.6）。（✓ / △ / ×）

向量：正定、齐次、三角不等式。矩阵：前三条 ＋ 次可乘性 $\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert$。相容指 $\lVert A\boldsymbol x\rVert\le\lVert A\rVert\lVert\boldsymbol x\rVert$ 对一切 $A$ 与 $\boldsymbol x$ 成立——矩阵范数与向量范数要配对使用（定义 1.3.1、定义 1.3.2、定义 1.3.3）。（✓ / △ / ×）

从属范数＝最大拉伸倍数 $\lVert A\rVert=\max_{\lVert\boldsymbol x\rVert=1}\lVert A\boldsymbol x\rVert$。任何算子范数都满足 $\lVert I\rVert=1$，而 $n\ge2$ 时 $\lVert I\rVert_F=\sqrt n\neq1$，故 $\lVert\cdot\rVert_F$ 不从属于任何向量范数——它与 $\lVert\cdot\rVert_2$ 相容，但相容不等于从属（定理 1.3.4、定义 1.3.4）。（✓ / △ / ×）

研究对象是截断误差与舍入误差（唯一能靠算法设计控制的两类）；模型误差与观测误差分别归建模、测量学科，但一旦进入计算，仍按 1.2.3 的传播规律起作用，所以本章工具对它们一视同仁（1.2.1 鸟瞰表）。（✓ / △ / ×）

四舍五入到小数点后 $d$ 位时，被舍掉的部分 $\delta\in[-\tfrac12\times10^{-d},\ \tfrac12\times10^{-d}]$，故 $\lvert x-a\rvert\le\tfrac12\times10^{-d}$；而 $a$ 的末位正落在 $10^{-d}$ 位上——于是「从末位一路数到第一位非零数字」全是有效数字（例 1.2.2 后的推导）。（✓ / △ / ×）

$n$ 位有效数字 ⟹ $\varepsilon_{\mathrm r}(a)\le\dfrac{1}{2a_1}\times10^{1-n}\le\tfrac12\times10^{1-n}$；反之若 $\varepsilon_{\mathrm r}(a)\le\dfrac{1}{2(a_1+1)}\times10^{1-n}$，则至少有 $n$ 位。每多一位有效数字，相对误差缩小十倍（定理 1.2.1）。（✓ / △ / ×）

由 Taylor 一阶展开：$e(\tilde u)\approx f'(a)\,e(a)$、$\varepsilon(\tilde u)\approx\lvert f'(a)\rvert\,\varepsilon(a)$；多元则一阶项逐项求和（式 1.1）。前提是 $\lvert f''/f'\rvert$ 不很大，否则一阶项消失、须用高阶项（定理 1.2.2）。（✓ / △ / ×）

$\varepsilon(a\pm b)=\varepsilon(a)+\varepsilon(b)$；乘除只需相对误差限相加；$a-b$ 的相对误差限分母是 $\lvert a-b\rvert$。危险来自相减（分母趋零时相对误差爆炸，例 1.2.7 一步吃光 4 位有效数字）与小除数（$\lvert b\rvert^2$ 二次放大）。（✓ / △ / ×）

误差满足 $\delta_n=\beta\,\delta_{n-1}$，故 $\delta_n=\beta^n\delta_0$：$\lvert\beta\rvert\lt1$ 收缩（稳定），$\lvert\beta\rvert\gt1$ 爆炸（不稳定）。遇到 $\lvert\beta\rvert\gt1$ 的方向就把递推倒过来走，并用估计式定住远端初值（1.2.4 原则 (1)、errata N3）。（✓ / △ / ×）

引理：$y/2\le x\le2y$ 时 $\operatorname{fl}(x-y)=x-y$ 精确成立——浮点减法本身不引入新误差。所以丢掉的数字在减法之前就随输入消失了：要避免的是「把有效数字所剩无几的中间结果送去相减」，办法是按处方改写（有理化 / 因式分解 / 和差化积）（引理 1.2.1、1.2.4 处方表）。（✓ / △ / ×）

公理：$\operatorname{fl}(x\ \mathrm{op}\ y)=(x\ \mathrm{op}\ y)(1+\delta)$，$\lvert\delta\rvert\le u$——每一步都等于精确结果乘一个微因子。配合相对误差相加得 $n$ 次运算的相对误差约 $\lesssim nu$，即「双精度算一万步仍可靠、算一亿步要留神」（1.2.5 公理框）。（✓ / △ / ×）

良态＋稳定 → 万事大吉；病态＋稳定 → 向前误差仍大，只能重述问题；良态＋不稳定 → 换算法；两者都坏 → 重述＋换算法。一句话：病态归问题、不稳定归算法，二者独立（1.2.6 交叉表）。（✓ / △ / ×）

$\lVert\boldsymbol x\rVert_\infty\le\lVert\boldsymbol x\rVert_2\le\lVert\boldsymbol x\rVert_1\le n\lVert\boldsymbol x\rVert_\infty$，细写成 $\lVert\boldsymbol x\rVert_\infty\le\lVert\boldsymbol x\rVert_2\le\sqrt n\lVert\boldsymbol x\rVert_\infty$、$\lVert\boldsymbol x\rVert_2\le\lVert\boldsymbol x\rVert_1\le\sqrt n\lVert\boldsymbol x\rVert_2$；常数 $n,\sqrt n$ 不可再改进（取等例：全 1 向量或单分量向量）。等价定理保证「是否趋于零」与范数无关，会变的是误差界大小与停机步数（定理 1.3.3）。（✓ / △ / ×）

① $I\pm A$ 非奇异；② $\lVert(I\pm A)^{-1}\rVert\le(1-\lVert A\rVert)^{-1}$（该式要求算子范数，因为用了 $\lVert I\rVert=1$）；③ Neumann 级数 $\sum_{k\ge0}A^k=(I-A)^{-1}$ 收敛，且部分和有余项估计（定理 1.3.6、定理 1.3.7）。（✓ / △ / ×）

$e=x-a$；$\lvert e\rvert\le\varepsilon$；$x=a\pm\varepsilon$；$\varepsilon_{\mathrm r}=\varepsilon(a)/\lvert a\rvert$；$a=\pm0.a_1\cdots a_k\times10^m$，$\varepsilon(a)=\tfrac12\times10^{m-n}$（$n\le k$）⟺ $n$ 位有效数字（定义 1.2.5–定义 1.2.7）。（✓ / △ / ×）

解 $\tfrac12\times10^{m-n}=\varepsilon(a)$，即 $n=m-\log_{10}(2\varepsilon)$；$n\le k$ 成立，$n\gt k$ 则没有有效数字。快捷核对：误差限是不是某一位的半个单位（1.2.2 判定流程框）。（✓ / △ / ×）

$\varepsilon_{\mathrm r}(a)\le\dfrac{1}{2a_1}\times10^{1-n}\le\dfrac12\times10^{1-n}$（定理 1.2.1）。（✓ / △ / ×）

$\varepsilon(\tilde u)\approx\sum_{i=1}^{n}\left\lvert\dfrac{\partial f(a_1,\dots,a_n)}{\partial x_i}\right\rvert\varepsilon(a_i)$；带符号版 $e(\tilde u)\approx\sum_i\dfrac{\partial f}{\partial x_i}e(a_i)$（1.2.3）。（✓ / △ / ×）

$\varepsilon(a\pm b)=\varepsilon(a)+\varepsilon(b)$；$\varepsilon(ab)\approx\lvert a\rvert\varepsilon(b)+\lvert b\rvert\varepsilon(a)$；$\varepsilon(a/b)\approx\dfrac{\lvert a\rvert\varepsilon(b)+\lvert b\rvert\varepsilon(a)}{\lvert b\rvert^2}$；乘除的相对误差限相加；$\varepsilon_{\mathrm r}(a\pm b)=\dfrac{\varepsilon(a)+\varepsilon(b)}{\lvert a\pm b\rvert}$。（✓ / △ / ×）

$\delta_n=\beta^n\delta_0$；同一个递推正反两方向的稳定性可以完全相反（$\beta=5$：前推放大 $5^n$、反推缩小 $5^{-n}$）（1.2.4）。（✓ / △ / ×）

$\mathrm{eps}=\beta^{1-t}$、$u=\tfrac12\beta^{1-t}$；double：$t=53$，$\mathrm{eps}\approx2.22\times10^{-16}$、$u\approx1.11\times10^{-16}$；float32：$t=24$，$\mathrm{eps}\approx1.19\times10^{-7}$。区间 $[2^k,2^{k+1})$ 内相邻浮点数间距恒为 $2^{k-t}$（定义 1.2.10、1.2.5）。（✓ / △ / ×）

$\operatorname{fl}(x\ \mathrm{op}\ y)=(x\ \mathrm{op}\ y)(1+\delta)$，$\lvert\delta\rvert\le u$；$n$ 步基本运算的相对误差 $\lesssim nu$（1.2.5）。（✓ / △ / ×）

$\mathrm{cond}(f,x)=\left\lvert\dfrac{xf'(x)}{f(x)}\right\rvert$；相对误差满足 $\varepsilon_{\mathrm r}(u)\lesssim\mathrm{cond}(f,x)\cdot\varepsilon_{\mathrm r}(a)$；当输入相对误差为 $u$ 时，丢失位数 $k\approx\log_{10}\mathrm{cond}$（定义 1.2.11、1.3.6）。（✓ / △ / ×）

$\lVert A\rVert_1=\max_j\sum_i\lvert a_{ij}\rvert$；$\lVert A\rVert_\infty=\max_i\sum_j\lvert a_{ij}\rvert$；$\lVert A\rVert_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{\mathrm T}A)}$；$\lVert A\rVert_F=(\sum_{i,j}a_{ij}^2)^{1/2}$。相容性 $\lVert A\boldsymbol x\rVert_p\le\lVert A\rVert_p\lVert\boldsymbol x\rVert_p$；等价性 $\lVert\boldsymbol x\rVert_\infty\le\lVert\boldsymbol x\rVert_2\le\lVert\boldsymbol x\rVert_1\le n\lVert\boldsymbol x\rVert_\infty$。（✓ / △ / ×）

$\lVert A\rVert\lt1$ ⟹ $\lVert(I\pm A)^{-1}\rVert\le\dfrac{1}{1-\lVert A\rVert}$，$\sum_{k=0}^{\infty}A^k=(I-A)^{-1}$，$\left\lVert (I-A)^{-1}-\sum_{k=0}^{N}A^k\right\rVert\le\dfrac{\lVert A\rVert^{N+1}}{1-\lVert A\rVert}$（余项估计要求算子范数）（定理 1.3.6、定理 1.3.7）。（✓ / △ / ×）

两处都错。有效数字位数 ≠ 小数位数：$a=0.31416\times10^1$，实际误差 $\approx7.3\times10^{-6}$；$n=5$ 时 $\tfrac12\times10^{-4}=5\times10^{-5}\ge7.3\times10^{-6}$、$n=6$ 时 $5\times10^{-6}\lt7.3\times10^{-6}$，故是 5 位（例 1.2.4）。（✓ / △ / ×）

错。定义式用 $x$ 是理论写法，但 $x$ 未知，实用公式一律用 $\lvert a\rvert$；两者相差 $O(e_{\mathrm r}^2)$，只在 $\lvert e_{\mathrm r}\rvert$ 达 $0.1$ 量级时才需警惕（定义 1.2.6 后的推导、errata N1）。（✓ / △ / ×）

错。它是 Taylor 一阶近似，余项为 $O(\varepsilon^2)$；精确的带符号关系是 $e(ab)=b\,e(a)+a\,e(b)+e(a)e(b)$，相对形式含乘积项 $e_{\mathrm r}(a)e_{\mathrm r}(b)$。只有加减法的带符号版本才是精确的（1.2.3 思考框）。（✓ / △ / ×）

错。Sterbenz 引理保证相近数相减在浮点内精确（$1.870-1.865$ 算出 $0.005$ 完全准确）；丢掉的数字来自输入本身只剩 4 位有效数字。正确结论：别把有效数字快用完的中间结果送去相减（引理 1.2.1、1.2.4）。（✓ / △ / ×）

错。稳定性由递推系数与方向绑定：$\delta_n=\beta^n\delta_0$，$\lvert\beta\rvert\gt1$ 的方向必然爆炸（$5^{100}\approx7.9\times10^{69}$），提高精度只推迟灾难、不消除它。应反向递推并用估计式（如 $\frac{1}{6(n+1)}\lt y_n\lt\frac{1}{5(n+1)}$）定住远端初值（1.2.4 原则 (1)）。（✓ / △ / ×）

错。数据共同偏移大时 $\sum x_i^2$ 与 $n\bar x^2$ 是相近数相减，实测可输出 $0.0$（真值 $5.25$）：$\sum x_i^2\approx8\times10^{18}$ 的绝对舍入误差已达个位数量级。应先平移或改用 Welford 单遍法（1.2.7 实验二、1.2.8 错误 6）。（✓ / △ / ×）

错。可靠位数由误差限决定，与打印位数无关；十进制的「整」在二进制里往往不整（$0.1+0.2=0.30000000000000004$）。判等应写 $\lvert x-y\rvert\le\varepsilon\max(\lvert x\rvert,\lvert y\rvert)$ 或用 math.isclose（1.2.5 三条后果、1.2.8 错误 7）。（✓ / △ / ×）

三处都错。① 公理只给次可乘 $\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert$，一般严格小于；② $\lVert I\rVert_F=\sqrt n\neq1$，故 F-范数不从属（相容但非算子范数）；③ 正确式是 $\sqrt{\lambda_{\max}(A^{\mathrm T}A)}$，只有对称半正定矩阵才有 $\lVert A\rVert_2=\lambda_{\max}(A)$——反例 $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$：$\lambda_{\max}(A)=0$ 而 $\lVert A\rVert_2=1$（1.3.7 错误 1–3）。（✓ / △ / ×）