e1误差与精度 · 有效数字判据

$a=0.0316$ 是某真值 $x$ 的近似值，绝对误差限 $\varepsilon(a)=0.00005$。$a$ 有几位有效数字？

1. 2 位
2. 3 位
3. 4 位
4. 由误差限无法确定

e2误差与精度 · 递推稳定性方向

递推 $y_n=\dfrac1n-\beta y_{n-1}$，已知 $\lvert\beta\rvert=3$。要算 $y_{100}$，应当怎样递推？

1. 正向递推（由 $y_0$ 出发）
2. 正反向都可以，结果一样
3. 反向递推（由 $y_{100}$ 的估计出发）
4. 与递推方向无关

e3误差与精度 · 灾难性抵消

下列哪种运算最容易造成有效数字大量流失（灾难性抵消）？

1. 两个相近的数相减
2. 两个同号的大数相加
3. 一个数乘上 $10^k$
4. 把 $0.1$ 存成双精度浮点数

e4误差与精度 · 误差传播

已知 $a=2.00\pm0.005$，$b=1.00\pm0.005$。$u=a^2-b^2$ 的相对误差限约为多少？

1. $0.5\%$
2. $0.33\%$
3. $1\%$
4. $3\%$

e5误差与精度 · 有效数字与相对误差

若近似值有 $n$ 位有效数字（首位数字为 $a_1$），则其相对误差限大致是

1. $\dfrac{1}{a_1}\times10^{-n}$
2. $\dfrac{1}{2a_1}\times10^{-(n-1)}$
3. $\dfrac{1}{2}\times10^{-n}$
4. $a_1\times10^{-(n-1)}$

e6误差与精度 · 秦九韶（Horner）

用秦九韶（Horner）算法求多项式的值，相比逐项求和，主要好处是

1. 乘法次数由 $O(n^2)$ 降到 $O(n)$，且数值更稳
2. 能自动求出多项式的根
3. 把除法变成乘法
4. 与逐项求和完全等价，没有任何区别

e7误差与精度 · 误差四分类

在数值分析的四类误差中，本课程能控制、也正是要研究的对象是

1. 模型误差
2. 观测误差
3. 截断误差
4. 舍入误差

e8范数与条件数 · 矩阵范数计算

设 $A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}$。$\lVert A\rVert_\infty$（行和范数）等于多少？

1. 4
2. 6
3. 7
4. $\sqrt{1+4+9+16}$

e9范数与条件数 · F-范数非从属

Frobenius 范数 $\lVert A\rVert_F$ 是否从属于某个向量范数（即是否算子范数）？

1. 是，从属于 2-范数
2. 不是——$\lVert I\rVert_F=\sqrt2\neq1$，任何算子范数都要求 $\lVert I\rVert=1$
3. 是，从属于 $F$ 范数
4. 只有当 $A$ 对称时才是

e10范数与条件数 · 相容性不等式

矩阵范数与向量范数相容的含义，以及矩阵范数之间的乘积不等式是

1. $\lVert A\boldsymbol{x}\rVert\le\lVert A\rVert\lVert\boldsymbol{x}\rVert$，$\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert$
2. $\lVert A\boldsymbol{x}\rVert\ge\lVert A\rVert\lVert\boldsymbol{x}\rVert$
3. $\lVert AB\rVert=\lVert A\rVert\lVert B\rVert$ 恒成立
4. $\lVert AB\rVert\ge\lVert A\rVert\lVert B\rVert$

e11范数与条件数 · ‖A‖＜1 可逆

已知 $\lVert A\rVert_1=0.7$。下列结论哪个正确且最省事？

1. 要算 $\det A$ 才知道 $I+A$ 是否可逆
2. $I+A$ 可逆（因 $\lVert A\rVert_1<1$，Neumann 级数收敛）
3. $I+A$ 一定不可逆
4. $\lVert A\rVert_1<1$ 与可逆性无关

e12范数与条件数 · 条件数下界

对可逆矩阵 $A$，条件数 $\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert$ 的下界是

1. $0$
2. $\dfrac1n$
3. $1$，且 $\mathrm{cond}(I)=1$
4. $\lVert A\rVert$

e13范数与条件数 · 范数等价性

关于向量范数的等价性，下列说法正确的是

1. 任意两个范数在任何线性空间上都等价
2. 有限维空间上任意两个范数等价；无穷维空间上不一定
3. 只有 1-范数与 2-范数等价
4. 范数等价性是个假命题

e14范数与条件数 · 算子范数定义

矩阵的算子范数（从属范数）的定义是

1. $\lVert A\rVert=\max\limits_{\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\dfrac{\lVert A\boldsymbol{x}\rVert}{\lVert\boldsymbol{x}\rVert}$
2. $\lVert A\rVert=\sum_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert$
3. $\lVert A\rVert=\max_{i,j}\lvert a_{ij}\rvert$
4. $\lVert A\rVert=\sqrt{\operatorname{tr}(A^{\mathrm T}A)}$

e15线性方程组与迭代法 · 列主元的作用

高斯消去法中采用列主元（部分选主元）的主要目的是

1. 把算法复杂度从 $O(n^3)$ 降到 $O(n^2)$
2. 避免小主元作除数放大舍入误差，提高数值稳定性
3. 使消去过程一定能用整数运算完成
4. 让矩阵变成三对角

e16线性方程组与迭代法 · LU 分解条件

对方阵 $A$ 做 Doolittle（$L$ 单位下三角、$U$ 上三角）分解，无需换行即可进行的充分条件是

1. $A$ 对称正定
2. $A$ 是严格对角占优的
3. $A$ 的各阶顺序主子式均非零
4. $A$ 的行列式不为零

e17线性方程组与迭代法 · 迭代收敛充要条件

对迭代式 $\boldsymbol{x}^{(k+1)}=G\boldsymbol{x}^{(k)}+\boldsymbol{d}$，其收敛的充要条件是

1. $\rho(G)<1$
2. $\lVert G\rVert<1$（某个范数）
3. $G$ 对称正定
4. $\lVert G\rVert_\infty<1$

e18线性方程组与迭代法 · 对角占优与收敛

若 $A$ 是严格对角占优矩阵，则

1. 只有 Jacobi 迭代收敛，Gauss–Seidel 不保证
2. 只有 Gauss–Seidel 收敛，Jacobi 不保证
3. Jacobi 与 Gauss–Seidel 迭代都收敛
4. 两种迭代都可能发散

e19线性方程组与迭代法 · SOR 必要条件

逐次超松弛（SOR）法收敛的必要条件是松弛因子满足

1. $\omega>0$
2. $0<\omega<2$
3. $1<\omega<2$（超松弛）
4. $\omega\ne0$

e20线性方程组与迭代法 · 误差估计规律

由迭代误差递推 $\lVert \boldsymbol{e}^{(k)}\rVert\le\lVert G\rVert^k\lVert \boldsymbol{e}^{(0)}\rVert$，老师提醒盯的规律是

1. 「下标 $+$ 幂次 $=$ 常数」——误差按 $\lVert G\rVert^k$ 收敛
2. 误差与 $k$ 无关
3. 误差每步增加 $\lVert G\rVert$ 倍
4. 只要相邻两次迭代值差很小，就一定接近真解

e21线性方程组与迭代法 · 矩阵分裂

「拆法即名字」——Jacobi、Gauss–Seidel、SOR 三者都由 $A=N-P$ 的分裂决定。它们对 $A=L+D+U$ 的分裂方式，共同点是

1. 都取 $N=L+U$、$P=D$
2. 都取 $P$ 包含对角部分 $D$（严格三角部分归入 $N$）
3. 都把整个 $A$ 当作 $P$
4. 都要求 $A$ 对称

e22线性方程组与迭代法 · 稀疏与复杂度

对三对角线性方程组，工程上主流的直接解法是

1. 朴素高斯消去（$O(n^3)$）
2. 先算 $A^{-1}$ 再乘（$O(n^3)$）
3. 追赶法（Thomas 算法，$O(n)$）
4. 二分法

e23特征值与幂法 · 幂法顺序

规范化幂法（power method）每步的正确操作顺序是

1. 先乘 $A$，再单位化
2. 只乘 $A$，不需要单位化
3. 先单位化，再乘 $A$
4. 顺序无所谓，结果一样

e24特征值与幂法 · 特征值的 2-范数提取

用幂法求特征值时，$y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$ 这一公式必须在什么范数下才成立？

1. 任何范数都行
2. 2-范数（此时 $\lVert y_k\rVert_2=1$，故比值化简为 $y_k^{\mathrm T}Ay_k$）
3. 必须 $\infty$-范数
4. 必须 1-范数

e25特征值与幂法 · 严格按模最大

幂法推导的全部依据建立在哪个前提上？

1. 存在一个按模严格最大的特征值：$\lvert\lambda_1\rvert>\lvert\lambda_2\rvert\ge\cdots\ge\lvert\lambda_n\rvert$
2. $A$ 是对称矩阵
3. 所有特征值互不相同
4. $A$ 可逆

e26特征值与幂法 · 反幂法实现

反幂法求按模最小的特征值，实际计算时应当

1. 先显式求出 $A^{-1}$，再套幂法
2. 用 $\det A$ 和伴随矩阵求 $A^{-1}$
3. 不构造 $A^{-1}$，每步解线性方程组 $Au_{k+1}=y_k$
4. 直接对 $A$ 用幂法即可

e27特征值与幂法 · 位移反幂法

已知 $\lambda_k$ 的一个近似值 $p$，想精确求出 $\lambda_k$，应当对哪个矩阵用反幂法？

1. $A$ 本身
2. $A-pI$（位移后，$p$ 最接近的那个特征值变成模最小的）
3. $A^{-1}$
4. $pA$

e28特征值与幂法 · 谱半径与范数

对任意矩阵 $A$ 与任意算子范数，谱半径满足

1. $\rho(A)\le\lVert A\rVert$（等号对正规矩阵成立）
2. $\rho(A)\ge\lVert A\rVert$
3. $\rho(A)=\lVert A\rVert$ 恒成立
4. 二者没有确定的大小关系

e29非线性方程与插值 · 二分法

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)f(b)<0$。二分法经 $n$ 次折半后的误差限是

1. $\dfrac{b-a}{n}$
2. $\dfrac{b-a}{2^n}$
3. $\dfrac{b-a}{2n}$
4. $(b-a)^n$

e30非线性方程与插值 · 不动点迭代两条件

不动点迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ 收敛定理的两个条件，各自的作用是

1. 两个条件都只用来保证唯一性
2. 第一条管收敛速度，第二条管存在性
3. 第一条（自映射）管迭代值不越出区间，第二条（压缩 $\lvert\varphi'\rvert\le L<1$）管收敛
4. 两条缺一不可，但都与越界无关

e31非线性方程与插值 · 牛顿法二阶收敛

牛顿法 $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ 具有（至少）二阶收敛，其根本原因是

1. 对应迭代函数 $\varphi(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ 在根处 $\varphi'(s)=0$
2. 它每步都做除法
3. 它用了二阶导数
4. 它与二分法等价

e32非线性方程与插值 · 牛顿全局收敛四条件

牛顿法全局收敛定理的四条条件中，核心是「凸性与单调性都不变」。下列哪条不属于这四条？

1. $f(a)f(b)<0$
2. $f''(x_0)\neq0$ 且 $f''$ 在 $[a,b]$ 上变号
3. $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上不为零
4. $f(x_0)f''(x_0)>0$

e33非线性方程与插值 · 割线法两初值

割线法 $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$ 需要几个初值？

1. 一个（$x_0$ 即可）
2. 三个
3. 两个（$x_0,x_1$，因为用到前两步）
4. 不需要初值

e34非线性方程与插值 · 割线法收敛阶

割线法的收敛阶 $r$ 满足

1. $r=2$（与牛顿法相同）
2. $r^2-r-1=0$，$r=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$
3. $r=1$（线性）
4. $r=3$

e35非线性方程与插值 · 单点割线法

把割线法中的 $x_{k-1}$ 钉死为固定点 $x_0$，得到单点割线法，其收敛阶变为

1. 一阶（线性收敛）
2. 仍为黄金比 $1.618$
3. 二阶
4. 不收敛

e36非线性方程与插值 · 拉格朗日基

拉格朗日基函数 $l_i(x)=\prod_{j\neq i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$ 的关键性质，以及插值公式 $L_n(x)=\sum_i f(x_i)l_i(x)$ 中系数为何直接读出，正确的是

1. $l_i(x)$ 在所有节点上都等于 1
2. $l_i(x_i)=0,\ l_i(x_j)=1\ (j\neq i)$
3. $l_i(x_i)=1,\ l_i(x_j)=0\ (j\neq i)$，故第 $i$ 个插值条件只剩 $b_i=f(x_i)$
4. 系数需要解范德蒙德方程组才能确定