范围声明与使用方法
本教程由第一章六节（七份）课件、第二章的 2.1–2.5 与第三章的 3.1–3.2、3.4–3.5 整理而成（2.1–2.2 另有第 3 周录播 2026-09-22 对照；2.3 只有官方课件；2.4–2.5 只有第 5 周录播 2026-10-08 的转录，课件尚未入库；3.1–3.2、3.4–3.5 只有官方课件——3.1-相抵分解.pdf、3.2-满秩分解.pdf、_sources/matrix/3.4-QR分解.pdf、_sources/matrix/3.5-Schur分解.pdf，均无录播；3.3 三角分解的课件暂缺）。原课件提纲挈领但过于简略：部分定理只述不证、部分计算存在笔误、例题之间缺少衔接。本教程在不越出课程范围的前提下做三类工作：
| 做法 | 说明 |
|---|---|
| 不丢内容 | 第一章七份课件、第二章 2.1–2.3 课件与第三章 3.1–3.2、3.4–3.5 课件的每一条定义、引理、定理、命题、注记、例题与思考题全部收录（2.4–2.5 依录播转录整理，暂无课件可对照，盒子自动编号），保留原编号（如「定义 1.1.5」「例 1.4.6」「定义 2.1.11」「定理 2.3.6」「引理 3.1.1」「定理 3.2.2」「定理 3.4.1」「定理 3.5.4」），可与课件逐条对照。 |
| 补全与勘误 | 课件中省略的证明全部补出（如子空间判定定理、维数公式、正定 Hermite 矩阵与内积的等价性、三角不等式、正交分解定理、逆映射唯一性、可逆 ⟺ 双射、单射判据、亏加秩定理；2.3 的存在唯一性、同构的充分性、矩阵与映射的不变量等式；3.1–3.2 的引理 3.1.1 存在性、左逆必要性、解方程组的结构、满秩分解中 、定理 3.2.2 与 ；3.4–3.5 的定理 3.4.1 唯一性、推论 3.4.1 构造、定理 3.5.1/3.5.3/3.5.4/3.5.5 的证明）；第一章十五处公式、表述或概念边界问题已修正，详见第一章勘误表；第二章课件留白、笔误与口述转写问题见第二章勘误；第三章七条课件勘误（E3.1–E3.4：记号循环、次序不一致、「充分条件」实为充要条件；E3.5–E3.7：例 3.5.3 特征多项式符号连锁错、例 3.4.3 矩阵元素笔误、例 3.4.4 符号未规约与数字对调）见第三章勘误。 |
| 扩充例题与习题 | 新增例题以「例 1.1.A / 例 2.3.A」等字母编号与原题区分；习题分 A（概念判断）、B（推理证明）、C（计算）三组，全部附解答（默认折叠，点击展开）。所有新题只使用本课程讲过的概念，不引入后续章节内容。 |
| 复习与考试支持（2026-10-15 扩充） | 学习支持层五件套，均为本编新增、不属课件内容：速查背记卡（压缩）→ 三章闭卷回忆卡（一 / 二 / 三，检索，可用 tools/export_cards.py 导出 Anki）→ 解题工具箱（题型流程 / 二级结论 / 反例弹药 / 验算清单）→ 考场竞技场（第三章：必考点清单与三轮限时赛制）→ 各章习题 / 自测卷 / 自检表。流程与二级结论均标注出处，可逐条回正文核对。 |
凡属后续课程才会严格证明的事实（如正交投影与谱分解、相似对角化的完整判据），本教程只在必要的衔接处以「课程预告」虚线框或正文提示标注结论，不作展开——这是为了回答课件中明确提出的思考题，而不是增加新内容。例外：第二章的亏加秩定理（维数公式）课上只证了一半，本编按课堂的基扩充路线补完并明确标注「课堂证到一半、此处补完」，以便读者提前对照（2.2.5）；2.3 的课件证明虽有省略与笔误，但均属本课程范围内，本编直接补全并逐处标注，不作预告处理；Cayley–Hamilton 定理原属「先当事实用」，随第三章 3.5 课件到位，现已在正文（定理 3.5.4）给出完整证明，附录 A 的相应条目改为平行参考。