速查背记卡：每件事的最小可背诵单元

闭卷回忆卡（一 / 二 / 三）是检索练习（先想、再核对）；这一页是压缩层（先把要背的东西压到最短，再去背）。两者配合：在这里把一句话记住，去那里检验能不能从空白纸上叫出来。

怎么用这一页

每一条都是「最小可背诵单元」——不是完整陈述，而是能让你把完整陈述复述出来的那根钩子。
背不下来时回正文核对，不要在这里硬记：压缩层的作用是索引，不是替代品。
本页覆盖三章：A / B 表各分三段——A1/B1 第一章、A2/B2 第二章、A3/B3 第三章；D / E / F 表各章混排。
建议顺序：先读 A / B 建立骨架 → 用 D 的口诀加固 → 用 E 的对比表分清易混 → 用 F 的反例守住边界。
背完之后去做题：题型流程、二级结论与验算清单在解题工具箱，限时训练在考场竞技场（第三章）。
想做成间隔复习卡，见文末「导出到 Anki」。

A. 定义：一句话 + 最容易漏的那个条件

A1 · 第一章（线性空间）

概念	一句话	最容易漏
数域 $F$	含 $0,1$ 、对四则运算封闭的数集	含 $0$ 与 $1$ ；除法要排除除数为零
加群 $(V,+)$	集合 + 加法：封闭、结合、有零元、有负元（且交换）	零元与负元是存在性条件，必须亲验
线性空间	加群 + 数域上的数乘，四条相容律	单位律 $1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ 不能省（唯一不能由其余推出的）
子空间 $W\le V$	$W\subseteq V$ 非空，且对线性组合封闭	「非空」不能省；运算必须继承，不能另定
线性相关	存在非平凡零组合	不是「和为零」，而是「系数可以不全是零」
线性无关	零组合只有平凡解	—
极大无关组 / 秩	无关 + 能表示组内每个向量；个数叫秩	极大无关组不唯一，但个数唯一（这才是秩良定义的依据）
基	无关且张成全空间	两个条件缺一不可：「够用」+「无冗余」
坐标	在指定基下的唯一系数列	坐标依赖基，不是向量的固有属性
过渡矩阵 $P$	使「新基 $=$ 旧基 $\times P$ 」的可逆矩阵	$P$ 的第 $j$ 列是新基第 $j$ 个向量在旧基下的坐标
维数	基所含向量个数	依赖数域： $\dim_{\mathbb R}\mathbb C=2$ ， $\dim_{\mathbb C}\mathbb C=1$
内积 $(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$	共轭对称 + 对第一变元线性 + 正定	复空间必须共轭转置；正定要求「非零向量长度不为零」
长度	$\|\boldsymbol x\|=\sqrt{(\boldsymbol x,\boldsymbol x)}$	复空间里是 $\sqrt{\sum\|x_i\|^2}$ ，不是 $\sqrt{\sum x_i^2}$
正交	$(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=0$	复空间中正交不能用 $\arccos$ 判定
标准正交基	两两正交 + 每个向量长度为 $1$	「正交基」只要求正交，不要求长度是 $1$
度量（Gram）矩阵	固定基后记录两两内积： $g_{ij}=(\boldsymbol{\varepsilon}_j,\boldsymbol{\varepsilon}_i)$	下标反着放；且必须先固定基才谈它
直和 $W_1\dotplus W_2$	和空间中每个向量拆法唯一	定义写的是「每个」；但由判定定理，「存在一个」也等价（不唯一性可平移，见 F 表）
投影	直和分解 $\boldsymbol x=\boldsymbol y+\boldsymbol z$ 中的分量 $\boldsymbol y$	必须说清沿哪个补空间——投影依附于整个分解
正交补 $W^{\perp}$	与 $W$ 中每个向量都正交的向量全体	离开内积就没有定义（不是线性结构自带的）
正交投影	沿正交补落下的投影	由 $W$ 与内积唯一确定，所以谈它时不必提补空间

A2 · 第二章（线性映射与矩阵）

概念	一句话	最容易漏
映射 / 像 / 原像	按规则给每个原像指定唯一像	「唯一」是对每个原像说的；原像可以不唯一
单射 / 满射 / 双射	不同原像不同像 / 值域 $=$ 陪域 / 两者兼备	单射看原像是否打架，满射看陪域是否被铺满——两者互不蕴含
可逆映射	存在 $T^{-1}$ 使两个复合都是恒等	等价于双射；逆映射唯一
变换 / 一一变换 / 置换	$V o V$ 的映射 / 可逆变换 / $V$ 到自身的双射	「置换」是 $V$ 上的双射，不需要线性（定义 2.1.6）
线性映射 $T\in L(V,W)$	可加 $+$ 齐次（等价于 $T(a\boldsymbol x+b\boldsymbol y)=aT\boldsymbol x+bT\boldsymbol y$ ）	两条缺一不可；且要求 $V,W$ 是同一数域上的空间
零空间 $N(T)$	$V$ 中被映成 $\boldsymbol{ heta}'$ 的向量全体	是 $V$ 的子空间（不是 $W$ 的）； $T$ 单射 $\iff N(T)={\boldsymbol{ heta}}$
值域 $R(T)$	全体像构成的集合	是 $W$ 的子空间； $\dim R(T)=$ 秩
零度 / 秩	$\dim N(T)$ / $\dim R(T)$	两个数都只依赖 $T$ ，与基的选取无关
$L(V,W)$	所有线性映射的集合，按点式加法与数乘构成线性空间	运算定义在像上： $(S+T)\boldsymbol x=S\boldsymbol x+T\boldsymbol x$
矩阵的读法	$A$ 的第 $j$ 列 $=$ 第 $j$ 个基向量的像的坐标	是列不是行；且依赖两组基的选取
同构映射	双射且保持线性运算	由 $L(V,W)$ 中可逆元素给出；等势只是集合层面，同构还要求数域相同
相抵 / 相似 / 合同	$B=PAQ$ / $B=P^{-1}AP$ / $B=P^{\mathrm H}AP$	相似只对方阵；三者不变量不同（见 E 表）
特征值 / 特征向量	存在非零 $\boldsymbol x$ 使 $T\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x$	「非零」是定义的一部分； $T$ 必须是 $V o V$ 的线性变换
特征子空间 $V_\lambda$	$V_\lambda={\boldsymbol x\mid T\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x}=N(T-\lambda I)$	它包含 $\boldsymbol{ heta}$ ，而「特征向量全体」不包含——后者不是子空间
几何重数 / 代数重数	$\dim V_\lambda$ / $\lambda$ 作为特征多项式根的重数	恒有 $1\le$ 几何 $\le$ 代数；能对角化 $\iff$ 处处取等号
正交（酉）矩阵	$A^{\mathrm T}A=I$ （ $A^{\mathrm H}A=I$ ）	实正交是酉的特例；列向量构成标准正交基
正交（酉）变换	保持内积的线性变换： $(T\boldsymbol x,T\boldsymbol y)=(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$	等价于保长度、等价于把标准正交基映为标准正交基
Givens 旋转 $T_{ij}$	在坐标平面 $(i,j)$ 内旋转，用来清零一个分量	$\det T_{ij}=+1$ ；连乘时总变换按作用顺序反写
Householder 反射 $H$	$H=I-2\boldsymbol\omega\boldsymbol\omega^{\mathrm T}$ （ $\|\boldsymbol\omega\|=1$ ），关于 $\boldsymbol\omega^{\perp}$ 照镜子	是镜像不是投影： $H^2=I$ 、对称、 $\det H=-1$

A3 · 第三章（矩阵分解）

概念	一句话	最容易漏
相抵分解式	$A=P^{-1}\Gamma Q$ ， $\Gamma=\begin{bmatrix}I_r&0\0&0\end{bmatrix}$	分解式不唯一、标准形唯一（由 $r$ 决定）——两句话别写反
相抵（矩阵等价）	$A$ 经有限次初等变换化为 $B$ （即 $B=P^{-1}AQ$ ）	与空间的「同构」同名不同义；同型矩阵相抵 $\iff$ 秩相等
右逆 / 左逆	$AB=I$ / $BA=I$	右逆 $\iff$ 行满秩，左逆 $\iff$ 列满秩；方阵情形才合一为「逆」
单侧逆不唯一	满秩非方阵的单侧逆有无穷多个	右逆的通式 $=B_0+Z$ ， $Z$ 的每一列 $\in N(A)$
秩等式	$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)=\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H})$	证明靠内积正定性（由 $N(A)=N(A^{\mathrm H}A)$ 出发）——只对实 / 复内积空间成立
满秩分解	$A=BC$ ： $B$ 列满秩（ $m\times r$ ，列是 $R(A)$ 的基）， $C$ 行满秩（ $r\times n$ ，列是坐标）	$B$ 不必取自 $A$ 的列（ $A=I_2A$ 也是分解）；要求 $r>0$
满秩分解不唯一	相差一个可逆因子： $B_1=B_2D$ 、 $C_1=D^{-1}C_2$	$D$ 是两组基之间的过渡矩阵（必可逆）；任取可逆 $D$ 都能造新分解
伪逆雏形	$X=C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}$	它是 $AXA=A$ 的一个解（即 Moore–Penrose 伪逆 $A^+$ ），不是唯一解
QR 分解	$A=QR$ ： $Q$ 酉（实：正交）、 $R$ 上三角；实情形叫正交三角分解	「正线」 $=$ 对角元素全为正实数（唯一性的开关）；不满秩仍有分解、丢唯一性
列 / 行正交规范	$Q^{\mathrm H}Q=I_n$ （方阵才叫酉矩阵）	$QQ^{\mathrm H}\ne I_m$ （ $m>n$ ）；自动列满秩、保范； $Q^{\mathrm H}$ 是左逆
矩阵多项式	$\varphi(A)=\sum a_iA^i$	常数项补成 $a_0I$ ； $\varphi(A)$ 与 $A$ 可交换
零化多项式	$g(A)=O$	有无穷多个（ $g$ 零化则 $gh$ 也零化）； $f_A$ 与 $m_A$ 都是成员
最小多项式	零化多项式中次数最小的首 $1$ 多项式 $m_A$	唯一；整除一切零化多项式（ $m_A\mid f_A$ ）；与 $f_A$ 根相同（不计重数）

B. 定理：触发词 → 第一动作

看到左边，就应该想起右边；想不起就回对应小节。

本表是检索索引：按「触发词」反查该调用哪条定理。若你要的是「拿到一道题先做什么」的解题顺序，见全章总结的「看到题目，先选工具」。

B1 · 第一章（线性空间）

触发词	该用的定理	第一动作
「是不是子空间」	子空间判定定理	先查 $W\subseteq V$ 且 $\boldsymbol{\theta}\in W$ ，再验 $a\boldsymbol x+b\boldsymbol y\in W$
「表示唯一 / 坐标唯一」	唯一表示定理	假设两种表示，相减得零组合，用无关性逼系数相等
「无关组最多几个」	计数引理	用基表示 → 得 $n$ 个方程 $m$ 个未知量 → 未知量多于方程必有非零解
「两组基个数相同」	基的个数不变	双向计数： $m\le n$ 且 $n\le m$
「补成一组基」	基扩充定理	从无关组出发，逐个添加不在当前张成里的向量（加法优先）
「求 $\dim(W_1\cap W_2)$ 」	维数公式	各求秩 → 拼矩阵求和的秩 → 代 $r_1+r_2-r_{\text{和}}$
「换基后内积怎么变」	合同变换	$G_{\mathcal F}=P^{\mathrm H}G_{\mathcal E}P$ （左右各一个 $P$ ，左侧取共轭转置）
「证明不等式 / 估计」	Cauchy–Schwarz	构造非负量 $\|\boldsymbol x-\lambda\boldsymbol y\|^2\ge0$ ，取 $\lambda$ 使残差正交
「正交组是否无关」	正交组必无关	与 $\boldsymbol x_j$ 作内积，正交性消掉其余项
「判直和」	直和判定定理	优先查交： $W_1\cap W_2={\boldsymbol{\theta}}$ ；只给维数时才用 (4)
「正交 ⟹ 直和」	定理 1.6.2	一行：取 $\boldsymbol u\in W_1\cap W_2$ ， $(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0$ 逼出 $\boldsymbol u=\boldsymbol{\theta}$
「找补空间 / 唯一补」	正交分解定理	用 Gram–Schmidt 造前段属于 $W_1$ 的正交基，拆任意向量
「求正交投影」	正交基投影公式	先查基是否正交：正交 → 套公式；不正交 → 先 GS 或解 Gram 方程组
「最近点 / 残差最小」	最佳逼近	拆 $\boldsymbol x-\boldsymbol w=(\boldsymbol y-\boldsymbol w)+(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$ ，两项正交 → 勾股
「矩阵分解」	Gram–Schmidt 的副产物	$(\boldsymbol x\text{ 组})=(\boldsymbol z\text{ 组})A$ ， $A$ 正线上三角 → QR 雏形
「任意方阵的白送分解」	例 1.6.7	$\mathbb C^n=N(A)\oplus R(A^{\mathrm H})$ ，三步：正交 → 秩相等 → 维数凑满

B2 · 第二章（线性映射与矩阵）

触发词	该用的定理	第一动作
「 $T$ 是不是线性的」	线性映射定义	先验 $T(\boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{\theta}'$ （最快否证法），再验 $T(a\boldsymbol x+b\boldsymbol y)=aT\boldsymbol x+bT\boldsymbol y$
「求 $T$ 的像 / 核」	$N(T)$ 、 $R(T)$ 的定义	解 $T\boldsymbol x=\boldsymbol{\theta}'$ 得核；把 $T$ 作用在一组基上，张成值域
「核与值域维数关系」	亏加秩定理	$\dim N(T)+\dim R(T)=\dim V$ ；先算好算的那个，另一个用减法
「 $T$ 是不是单射」	单射判据（三种等价说法）	首选 $N(T)={\boldsymbol{\theta}}$ （比直接证 $T\boldsymbol x=T\boldsymbol y\Rightarrow\boldsymbol x=\boldsymbol y$ 快）
「 $T$ 是不是满射 / 双射」	维数相等时的单射 $\iff$ 满射	只在 $\dim V=\dim W$ 时可用；否则必须分别验
「由基上的像定映射」	存在唯一性定理	先在一组基上随意指定像，再线性延拓——这是「造映射」的标准手法
「 $T$ 的矩阵是什么」	矩阵的读法	逐个算 $T(\boldsymbol\varepsilon_j)$ ，把它的坐标写成第 $j$ 列
「换基后矩阵怎么变」	换基公式	$B=P^{-1}AQ$ ；同一空间换基（相似）时 $Q=P$ ，得 $B=P^{-1}AP$
「两个矩阵像不像」	同构 $\iff$ 维数相等	先比形状与维数，再用相抵/相似/合同对号（见 E 表）
「矩阵的秩 = 映射的秩」	定理 2.3.6	把 $A$ 看成某个 $T$ 的矩阵，则 $\operatorname{rank}A=\dim R(T)$
「求特征值」	特征多项式	解 $\det(\lambda I-A)=0$ ；先算 $\operatorname{tr}A$ 与 $\det A$ 备用验算
「求特征向量」（矩阵给的）	解 $(A-\lambda I)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$	求基础解系；若题给的是变换，还要乘回基 $\boldsymbol\xi=(\boldsymbol\varepsilon_1,\cdots)\boldsymbol\alpha$
「能不能对角化」	几何重数 $\le$ 代数重数	逐个特征值比两种重数；全取等号才可对角化， $P$ 由特征向量拼成
「特征值有什么共性」	相似不变量	$\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i$ 、 $\det A=\prod\lambda_i$ ，两者都是相似不变量
「 $n$ 个不同特征值」	不同特征值的特征向量线性无关	直接可对角化（互异是充分不必要）
「设计一组基使矩阵为指定形式」	反向考题	把想要的矩阵反推成 $T$ 在目标基上的作用，再解出基向量
「正交矩阵有什么性质」	四条等价刻画	保内积 $\iff$ 保长度 $\iff$ 标准正交基 $\to$ 标准正交基 $\iff$ $A^{\mathrm H}A=I$
「正交矩阵的特征值」	特征值模为 $1$	由 $\|U\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol x\|$ 得 $\|\lambda\|=1$ ；复特征值完全可能，别写「必为 $\pm1$ 」
「怎么把某个分量清零」	Givens 旋转	取角使 $\cos\varphi,\sin\varphi$ 把目标分量消掉；每步用更新后的向量取角
「怎么把一个向量对准 $\boldsymbol e_1$ 」	Householder 反射	取 $\boldsymbol\omega$ 为 $\boldsymbol x-\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1$ 方向的单位向量，则 $H\boldsymbol x=\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1$

B3 · 第三章（矩阵分解）

触发词	该用的定理	第一动作
「任给矩阵能拆出什么」	引理 3.1.1（相抵标准形）	先求秩 $r$ ；用分块矩阵 $\begin{bmatrix}A&I\I&*\end{bmatrix}$ 做行 / 列变换，读出 $E=P$ 、 $F=Q^{-1}$ ，验算 $EAF=\Gamma$
「 $AB=I$ 说明了什么」	定理 3.1.1（单侧逆）	先看方向： $AB=I$ 问右逆（要行满秩）， $BA=I$ 问左逆（要列满秩）；方阵情形才直接说「可逆」
「要造一个右逆」	法 1 相抵 / 法 2 公式	法 2 快：先由命题 3.1.1 得 $\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})=m$ ，再取 $B=A^{\mathrm H}(AA^{\mathrm H})^{-1}$
「 $A^{\mathrm H}A$ 能不能求逆」	$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)$	可逆 $\iff$ $A$ 列满秩；换成 $A^2$ 就失效
「把矩阵写成两个满秩矩阵之积」	满秩分解定理	选 $R(A)$ 的一组基做 $B$ （常用 $A$ 的主元列），坐标拼成 $C$ ；回代验 $BC=A$
「给定 $B$ 求 $C$ 」	单侧逆公式	$C=(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}A$ （ $B$ 列满秩）；对偶地 $B=AC^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}$
「两种满秩分解什么关系」	定理 3.2.2	$B_1=B_2D$ 、 $C_1=D^{-1}C_2$ ， $D$ 可逆（过渡矩阵）；先证 $R(B_1)=R(A)=R(B_2)$
「解 $AXA=A$ 」	满秩分解	代 $A=BC$ 得 $CXB=I_r$ （充要），构造 $X=C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}$
「求 QR 分解」	定理 3.4.1（GS 即算法）	逐列 GS：对角元取残差范数 $\|\boldsymbol y_k\|$ ，上三角元取 $(\boldsymbol a_k,\boldsymbol z_i)$ ；写完必验 $QR=A$
「QR 分解唯一吗」	正线约定	正线下唯一；去正线差对角酉阵（实： $2^n$ 种，例 3.4.B（新增）；不满秩丢唯一性
「长方阵求完全分解」	推论 3.4.1	$A=U\begin{bmatrix}R_1\O\end{bmatrix}$ ：GS 得 $Q_1R_1$ → 补标准正交基 → 拼酉阵；补列时对整组重 GS（前缀原样保留）
「用 QR 算法求特征值」	迭代式 $A_{k+1}=R_kQ_k$	先证 $=Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k$ （酉相似、特征值不变）；收敛要「模互异」（充分），等模防卡死
「求最小多项式」	候选法	$f_A$ 因式分解 → 列候选（各根重数 $1$ 到 $d_j$ ）→ 从低往高试 $g(A)=O$ ；第一个通过即 $m_A$
「算 $g(A)$ / $A^m$ / $A^{-1}$ 」	H–C 降次三件套	$g(A)$ 除 $m_A$ 最省； $A^m$ 在特征值处定系数； $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(\cdots)$ ， $a_0=(-1)^n\det A$
「为什么对角元是特征值」	QR 算法 + 相似	迭代链 $A_k=(Q_1\cdots Q_{k-1})^{\mathrm H}A(Q_1\cdots Q_{k-1})$ 保持相似；极限上三角阵对角元即特征值

C. 八条公理：怎么记才不丢

分组记：加法四条 + 数乘四条。

组	四条	助记
加法（说「 $V$ 自身是交换群」）	交换、结合、零元、负元	「换、结、零、负」
数乘（说「数乘与两种加法相容」）	对向量加法分配、对标量加法分配、数乘结合、单位律	「两分配、一结合、一单位」

必考的一个反例：只有单位律 $1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ 不能由其余七条推出。反例：令 $k\cdot\boldsymbol{\alpha}\equiv\boldsymbol{\theta}$ （数乘恒给零向量）——其余七条全成立，但 $1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta}\ne\boldsymbol{\alpha}$ 。

验证新运算时的入手点：先找零元与负元（它们往往改头换面），再验其余。例： $x\oplus y=xy$ 的零元是 $1$ 、负元是倒数。

D. 口诀索引（正文原话 + 出处）

口诀	说的是什么	出处
「先看子集、再看零元、最后验任意线性组合」	子空间判定的固定顺序	1.2.2
「等式/线性方程刻画 ⟹ 通常是子空间；不等式/排除性条件 ⟹ 通常不是」	一眼判断集合像不像子空间	1.2.8
「解方程 = 问右端是否落在列空间里」	$A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的几何含义	1.2.7
「矩阵贴着旧的一侧」	新基 $=$ 旧基 $\times P$ ；旧坐标 $=P\times$ 新坐标	1.3.7
「换基不是变向量，而是换尺子」	坐标变、向量不变	1.3.7
「长度由内积决定，内积变了长度就变」	内积才是几何的来源	1.5.1
「不等式从非负量来，最佳系数从正交残差来」	Cauchy–Schwarz 的证明套路	proof-workshop
「减掉已有方向上的成分，留下正交残差」	贯穿 C–S、Gram–Schmidt、投影的母题	1.5
「死掉的部分 + 活着的部分 = 全部」	$A^2=A$ 时 $\mathbb C^n=N(A)\dotplus R(A)$	1.6.4
「除了零向量，两个子空间还共享别的东西吗？」	判直和最快的一眼	1.6.1
「垂直落下，且是最近点」	正交投影的两个特征	1.6.7
「包含 + 等维 ⟹ 相等」	有限维里证明两个子空间相等的省力模板	1.6.6
「先证是映射、再验两条」	证明给定映射是线性映射的标准格式	2.2.1
「同构 $=$ 双射 $+$ 保运算；判别只看维数」	同构的定义与判据	定义见 2.3.2，判据（同一数域、有限维下）见定理 2.3.3
「先减成分、再量长度」	GS 的对角元是残差范数（不是 $\|\boldsymbol a_k\|$ ）	3.4.1、例 3.4.A
「GS 立轴，坐标上三角」	QR 分解 $=$ 满秩分解的正交版——第 $k$ 根梁只搭在前 $k$ 个轴上	3.4.1 的读法框
「正线锁相角」	不规定对角为正，分解就差一圈符号 / 相角（对角酉阵自由度）	3.4.1 本编补注
「酉相似链，特征值不变」	QR 算法每步 $A_{k+1}=Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k$ 都是相似	QR 算法
「 $f_A$ 记全部， $m_A$ 记必要」	$f_A$ 带全重数、 $m_A$ 只留必要（ $I_2$ ： $f_A=(\lambda-1)^2$ ， $m_A=\lambda-1$ ）	3.5.4
「从低往高试」	候选法的试算次序不能反（低次通过则高次必通过）	候选法
「按次序乘因子，逐列清零」	H–C 证明的心脏： $(\Lambda-\lambda_kI)$ 清第 $k$ 列	定理 3.5.4 证明
「三角化人人有份，对角化不是」	Schur 引理的意义与边界	注 1
「能用酉就不用一般可逆」	酉版本更便于计算与估计（保范、条件数 $1$ ）	注 2

E. 对比表：把易混的一次钉死

① 一般投影 vs 正交投影

	一般投影	正交投影
沿哪个补	任意指定的补空间	只能是正交补 $W^{\perp}$
是否唯一	换补就变	由 $W$ 与内积唯一确定
残差性质	不一定垂直	残差 $\perp W$
额外身份	—	$W$ 中离 $\boldsymbol x$ 最近的点

② 直和 $\dotplus$ vs 正交直和 $\oplus$

$\dotplus$ ：拆法唯一。 $\oplus$ ：拆法唯一且两分量互相垂直。正交自动给出直和，反之不真。

③ 相似 vs 合同 vs 相抵

	公式	对象	不变量
相似	$B=P^{-1}AP$	同一个线性变换、同一个空间的两组基	特征值、行列式、迹、秩
合同	$B=P^{\mathrm H}AP$	同一个内积（二次型）、同一个空间的两组基	秩、正定性
相抵	$B=P^{-1}AQ$	同一个映射、两端各自换基（甚至不同映射）	只有秩

交汇点： $P$ 是酉矩阵（ $P^{\mathrm H}P=I$ ）时合同 $=$ 相似。

④ 实内积空间 vs 复内积空间：哪里会失效

陈述	实空间	复空间
Cauchy–Schwarz $\|(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\|\le\|\boldsymbol x\|\|\boldsymbol y\|$	✅	✅（必须带模）
C–S 等号 $\iff$ 线性相关	✅	✅
夹角 $\arccos\frac{(\boldsymbol x,\boldsymbol y)}{\|\boldsymbol x\|\|\boldsymbol y\|}$	✅	❌ 无定义
正交 $\iff$ 勾股等式	✅	❌ 只有「正交 ⟹ 勾股」
内积用转置 $y^{\mathrm T}x$	✅	❌ 必须共轭转置 $y^{\mathrm H}x$
标准正交基存在	✅	✅（都限有限维）

⑤ 代数基 vs 完备正交系

	代数（Hamel）基	完备正交系
组合方式	有限线性组合	允许无穷级数
存在范围	任意线性空间（用选择公理）	需要范数与完备性（如 $L^2$ ）
三角函数系属于	❌ 不是（只能得到三角多项式）	✅ 是（ $L^2[-\pi,\pi]$ 中）

⑥ 和 vs 并；平凡 vs 真

$W_1+W_2$ 一定是子空间； $W_1\cup W_2$ 一般不是（除非一个有包含关系）。「平凡」按「是否只有 ${\boldsymbol{\theta}}$ 与 $V$ 」分；「真」按 $W\ne V$ 分——两套划分， ${\boldsymbol{\theta}}$ 既平凡又真。

⑦ 满秩分解 vs QR 分解

	满秩分解 $A=BC$	QR 分解
前提	$r>0$ （不限满秩）	方阵满秩 / 长方阵列满秩
左因子	$B$ 列满秩（列是 $R(A)$ 的任意一组基）	$Q$ 酉（方阵）/ 列正交规范（长方）
右因子	$C$ 行满秩（坐标表，无形状要求）	$R$ 上三角（正线 $+$ 唯一）
不唯一程度	差一个可逆因子 $D$ （ $B_1=B_2D$ 、 $C_1=D^{-1}C_2$ ）	正线下唯一；去正线差对角酉阵（实： $2^n$ ）
关系	QR 是满秩分解把基掰成标准正交后的特例（列满秩时中间因子数 $r=n$ ）

⑧ $f_A$ vs $m_A$ （都是 $A$ 的「多项式账本」，记账粒度不同）

	特征多项式 $f_A$	最小多项式 $m_A$
定义	$\det(\lambda I-A)$	次数最小的首 $1$ 零化多项式
重数	代数重数（全记）	必要重数（能省则省）
关系	$m_A\mid f_A$ ，根相同（不计重数）（定理 3.5.5）
何时相等	—	每个特征值都「顶格」（如例 3.5.B 的 Jordan 型； $m_A=f_A$ 是常态， $I_2$ 型才是例外）
用途	谱映射、求特征值、逆公式的系数	降次最省、判可对角化（无重根 $\iff$ 可对角化，超出课件范围的拓展）

⑨ 相似 / 正交相似 / 酉相似（同一条主线收紧到三种「换基权」）

	换基矩阵	保什么	典型标准形
相似	任意可逆 $P$	特征值、迹、 $\det$ 、秩（相似不变量 2.4.4）	Schur 型（定理 3.5.1：总可以做到上三角）
酉相似	酉 $U$	上面全部 $+$ 长度、内积	Schur 型（定理 3.5.2：每个复方阵）
正交相似（实）	实正交 $Q$	上面全部（实数域内）	需要特征值全实（定理 3.5.3）；对角化时即对称阵的正交对角化

F. 高频错误 → 一条反例

各节末的「常见错误清单」（1.1 的 E-a…E-f、1.2 的 E-g…E-k 等）与全章总结的「典型陷阱」列，是同一批错误的详版与压缩版；本表只保留最短反例，供考前最后一眼核对，不替代回正文。

错误说法	反例
「对加法封闭就是子空间」	$V_5={(a_1,a_2)\mid a_1\ge0}$ ：加法封闭，但 $(-1)(1,0)\notin V_5$
「两两不成比例就线性无关」	$(1,0),(0,1),(1,1)$ ：两两不成比例，却 $1\cdot(1,0)+1\cdot(0,1)-1\cdot(1,1)=\boldsymbol{\theta}$
「有一个向量表法唯一就是直和」	这条其实是对的——非直和的不唯一性可以平移，一个漏网的都没有
「几何上互相垂直就是子空间正交」	墙角：两墙面的交线上取非零 $\boldsymbol u$ ， $(\boldsymbol u,\boldsymbol u)\ne0$
「投影公式对任意基都能用」	$W=\mathbb R^2$ 、基 $(1,0),(1,1)$ 、 $\boldsymbol y=(1,0)$ ：公式给出 $(\frac32,\frac12)\ne\boldsymbol y$
「内积与度量矩阵一一对应」	缺前提——必须固定一组基；换基作合同变换
「满足七条公理就是线性空间」	数乘恒给零向量：七条全成立， $1\boldsymbol\alpha\ne\boldsymbol\alpha$
「秩为定值的矩阵集合是子空间」	$E_{11}+E_{22}=I$ ，秩从 1 跳到 2（ $n\ge2$ 时）
「复空间也能算夹角」	$\mathbb C^1$ 中 $x=1,y=i$ ：勾股成立但 $(x,y)=-i\ne0$
「同构看元素个数」	无限维空间可能彼此等势（甚至不同构也等势，如 $\mathbb R[x]$ 与 $\mathbb R$ 作为 $\mathbb Q$ -空间）；判别依据是维数，不是元素个数
「QR 分解的 $r_{22}$ 就是 $\|\boldsymbol a_2\|$ 」	例 3.4.A： $r_{22}=\tfrac25$ 而 $\|\boldsymbol a_2\|=\sqrt5$ ——对角元是残差范数
「实矩阵都能正交三角化」	旋转阵 $\begin{bmatrix}0&-1\1&0\end{bmatrix}$ ：特征值 $\pm\mathrm i$ 非实
「不满秩就没有 QR 分解」	$\begin{bmatrix}1&1\0&0\end{bmatrix}=I_2\begin{bmatrix}1&1\0&0\end{bmatrix}$ ；丢掉的只是唯一性
「正交阵特征值是 $\pm1$ 」	旋转阵 $\pm\mathrm i$ （模为 $1$ ，不是 $\pm1$ ）
「对角元全零即零矩阵」	$\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}$ （特征值全零却非零）
「 $m_A$ 恒等于 $f_A$ 」	$I_2$ ： $f_A=(\lambda-1)^2$ ， $m_A=\lambda-1$
「QR 算法收敛是必然的」	旋转阵：正线 QR 分解是 $A=A\cdot I$ ，迭代原地不动（等模卡死）
「 $\varphi(A)$ 的特征向量也是 $A$ 的」	$A=\operatorname{diag}(1,-1)$ 、 $\varphi=\lambda^2$ ： $\varphi(A)=I$ ，任何向量都是它的特征向量
「 $A^m$ 的特征值可以随便配对」	必须按同一条特征向量对应： $A$ 的特征值 $\lambda_i$ 对 $A^m$ 仍是第 $i$ 个位置

导出到 Anki（把这一页变成间隔复习）

python3 tools/export_cards.py                 # 生成 output/cards.tsv
python3 tools/export_cards.py --stats         # 只统计解析到多少张卡
python3 tools/export_cards.py -o my/cards.tsv # 指定输出路径
python3 tools/export_cards.py --tags          # 第三列写章标签（Anki tags 列）
python3 tools/export_cards.py --only ch03     # 只导出第三章

脚本会把三章闭卷回忆卡（一 / 二 / 三，共 72 张）的每张卡拆成「正面 / 背面」两列 TSV（制表符分隔，即 Anki 导入时的「制表符」选项），输出文件自带 #separator:tab / #html:true 头，Anki 里「文件 → 导入」直接可用；公式保留 $…$ ，需装 MathJax 才渲染（方括号 id 引用会降级为纯 id 文本，方便回教程查证）。复习日程以三章回忆卡页内的说明为准（当天 / 1 / 3 / 7 天，只重做 △ 和 ×）。

与解题工具箱的分工：本页（与回忆卡）解决「记不记得住」，工具箱解决「做题时怎么下手、怎么验算」——考前两页各过一遍，再把考场竞技场跑一轮计时赛，三件套齐活。

术语索引（中英对照）

本表供检索与英文文献对照；一句话释义与上方背记卡一致，术语中列出的是全书正文里出现过的标准叫法，读到英文教材对不上名字时先来这里查。

一 · 第一章（线性空间、子空间、基与坐标、内积、长度与夹角、直和与投影）

中文	English	一句话	出处
向量	vector	n 元有序数组，分量取自同一个数域 $F$	1.1.2
向量空间	vector space	对加法与数乘封闭的 n 维向量全体	1.1.2
数域	field	含 $0,1$ 、对四则运算封闭的数集，是数乘中「数」的资格	1.1.3
加群	additive group	集合配加法：封闭、结合、有零元、有负元、交换	1.1.4
线性空间	linear space	加群再加数乘，且八条公理（含单位律）全成立	1.1.4
零向量	zero vector	加法零元，记 $\boldsymbol{\theta}$ ；与数 $0$ 不是一回事	1.1.5
负向量	negative vector	使 $\boldsymbol{\alpha}+(-\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\theta}$ 的那个向量	1.1.5
线性组合	linear combination	$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m$ 形式的和	1.1.6
线性表示	linear representation	某向量写成一组的线性组合，系数称为表示系数	1.1.6
子空间	subspace	非空子集且对线性组合封闭（判定压缩成两条）	1.2.1
平凡子空间	trivial subspace	零子空间 ${\boldsymbol{\theta}}$ 与整个空间 $V$ 两个极端	1.2.1
真子空间	proper subspace	不等于 $V$ 的子空间；「平凡」与「真」是两套划分	1.2.1
零空间	null space	$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解集 $N(A)$ ，也叫核空间 kernel	1.2.7
列空间	column space	$A$ 的列的全部线性组合，也叫值空间 range	1.2.7
张成子空间	span	由一组向量的一切线性组合构成的子空间	1.2.7
和空间	sum of subspaces	$W_1+W_2={w_1+w_2}$ ，一定是子空间	1.2.5
线性相关	linear dependence	存在不全为零的系数使线性组合等于零向量	1.3.1
线性无关	linear independence	只有系数全零才能使组合为零向量	1.3.1
极大无关组	maximal linearly independent subset	无关且能表示组内每个向量；个数唯一	1.3.4
唯一表示定理	uniqueness of representation	用基表示向量时，表示系数唯一	1.3.5
过渡矩阵的性质	properties of transition matrix	过渡矩阵必可逆，且两组基的地位对称	1.3.7
坐标	coordinates	向量在指定基下的唯一系数列，依赖基而非固有	1.3.5
过渡矩阵	transition matrix	新基 = 旧基 × $P$ 中的 $P$ ，必可逆	1.3.7
维数	dimension	基所含向量的个数；依赖数域	1.3.8
基扩充	basis extension	无关组可以逐个添向量扩成整个空间的一组基	1.3.9
维数公式	dimension formula	$\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2)$	1.3.9
内积	inner product	共轭对称、对第一变元线性、正定的二元函数	1.4.1
内积空间	inner product space	线性空间配上一个内积，能谈长度与正交	1.4.1
标准内积	standard inner product	实空间用转置、复空间必须共轭转置的那个内积	1.4.2
Hermite·矩阵	Hermitian matrix	满足 $A^{\mathrm H}=A$ 的复方阵； $x^{\mathrm H}Ax$ 必为实数	1.4.4
正定矩阵	positive definite matrix	Hermite 且对一切非零 $x$ 有 $x^{\mathrm H}Ax>0$	1.4.4
半正定矩阵	positive semidefinite matrix	把正定条件放宽成 $x^{\mathrm H}Ax\ge0$	1.4.4
度量矩阵	metric matrix	固定基后记录两两内积的矩阵 $g_{ij}=(\varepsilon_j,\varepsilon_i)$ ，也叫 Gram 矩阵	1.4.6
合同变换	congruent transformation	换基时度量矩阵按 $G_{\mathcal F}=P^{\mathrm H}G_{\mathcal E}P$ 变	1.4.7
内积诱导的范数	norm induced by inner product	由 $\lVert x\rVert=\sqrt{(x,x)}$ 得到的长度	1.5.1
长度	length	内积开平方 $\lVert x\rVert=\sqrt{(x,x)}$ ，即模 norm	1.5.1
Schwarz-不等式	Cauchy–Schwarz inequality	$\lvert(x,y)\rvert\le\lVert x\rVert\lVert y\rVert$ ，等号恰在线性相关时	1.5.2
夹角	angle	由 $\cos\theta=(x,y)/(\lVert x\rVert\lVert y\rVert)$ 定义；复空间无定义	1.5.3
Gram·行列式	Gram determinant	一组向量两两内积构成的行列式，等于体积的平方	1.5.4
正交	orthogonal	$(x,y)=0$ ；复空间不能用夹角判断	1.5.5
勾股定理	Pythagorean theorem	正交时 $\lVert x+y\rVert^2=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2$ 且反向不成立	1.5.5
Gram·Schmidt	Gram–Schmidt orthogonalization	逐个减掉已有方向上的分量，得到正交组	1.5.6
标准正交基	orthonormal basis	两两正交且每个向量长度为 $1$ 的基	1.5.7
直和	direct sum	和空间中每个向量拆法唯一，记 $W_1\dotplus W_2$	1.6.1
补空间	complementary subspace	使 $V=W_1\dotplus W_2$ 成立的那个 $W_2$ ，一般不唯一	1.6.1
投影	projection	直和分解 $x=y+z$ 中落在指定分量的 $y$ ，必须说清沿哪个补	1.6.3
幂等矩阵	idempotent matrix	满足 $A^2=A$ 的方阵，自动给出 $\mathbb C^n=N(A)\dotplus R(A)$	1.6.4
子空间正交	orthogonal subspaces	每一个对每一个都正交，比「墙角式垂直」强得多	1.6.5
正交直和	orthogonal direct sum	拆法唯一且两个分量互相垂直，记 $\oplus$	1.6.5
正交补	orthogonal complement	与 $W$ 中每个向量都正交的向量全体 $W^{\perp}$	1.6.6
正交分解	orthogonal decomposition	$V=W\oplus W^{\perp}$ ，补空间没有选择余地	1.6.6
正交投影	orthogonal projection	沿正交补落下的投影，由 $W$ 与内积唯一确定	1.6.7

二 · 第二章（映射与多项式、线性映射、矩阵与同构、特征值、正交与酉变换）

中文	English	一句话	出处
映射	mapping	按规则给每个原像指定唯一像	2.1.1
单射	injection	不同原像有不同像；看原像是否打架	2.1.1
满射	surjection	值域等于陪域；看陪域是否被铺满	2.1.1
双射	bijection	既单又满，两个方向上都能反推	2.1.1
复合映射	composition	先 $f$ 后 $g$ 的映射乘积，总按作用顺序反写	2.1.1
可逆映射	invertible mapping	存在逆使两个复合都是恒等，等价于双射	2.1.1
等势	equipotent	存在双射即两个集合「元素一样多」，只谈集合不论结构	2.1.1
可数集	countable set	与自然数集等势的集合	2.1.1
带余除法	division algorithm	$f=sg+r$ 且 $\deg r\lt\deg g$ ，商与余式唯一	2.1.2
公因式	common divisor	同时整除两个多项式的多项式	2.1.2
公倍式	common multiple	同时被两个多项式整除的多项式	2.1.2
友矩阵	companion matrix	把微分或差分方程的系数整整齐齐摆成的矩阵	2.1.2
线性映射	linear mapping	可加且齐次的映射 $T\in L(V,W)$ ，两条缺一不可	2.2.1
线性变换	linear transformation	定义域与陪域相同的线性映射 $V\to V$	2.2.1
核空间	kernel / null space	被映成零向量的原像全体 $N(T)$ ，是 $V$ 的子空间	2.2.5
值域	range	全体像构成的集合 $R(T)$ ，是 $W$ 的子空间	2.2.5
零度	nullity	核空间的维数 $\dim N(T)$	2.2.5
映射的秩	rank of a linear map	值域的维数 $\dim R(T)$ ，与基的选择无关	2.2.5
幂等变换	idempotent transformation	满足 $T^2=T$ 的线性变换	2.2.5
零变换	zero transformation	把每个向量都映成零向量的线性变换	2.2.2
亏加秩定理	rank–nullity theorem	$\dim N(T)+\dim R(T)=\dim V$ ，死掉的部分加活着的等于全部	2.2.5
线性映射空间	space of linear maps	一切 $V\to W$ 的线性映射按点式运算构成的线性空间 $L(V,W)$	2.2.4
矩阵的伴随	transpose of a linear map	取定两组基后把 $T$ 写成 $F^{m\times n}$ 中的数表	2.3.1
同构	isomorphism	双射且保运算；有限维同数域下等价于维数相等	2.3.2
坐标公式	coordinate formula	$\beta=A\alpha$ ：像的坐标等于矩阵乘原像的坐标	2.3.3
换基	change of basis	两端各自换基后矩阵按 $B=P^{-1}AQ$ 变	2.3.4
换基公式	change-of-basis formula	$B=P^{-1}AQ$ ；同一空间换基时 $Q=P$ 得相似	2.3.4
矩阵的秩	rank of a matrix	把 $A$ 看成某个映射的矩阵，则秩等于映射的秩	2.3.5
特征值	eigenvalue	存在非零向量使 $T\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ 的那个 $\lambda$	2.4.1
特征向量	eigenvector	被 $T$ 作用后只变长度的非零向量	2.4.1
特征多项式	characteristic polynomial	$f_A(\lambda)=\lvert\lambda I-A\rvert$ ，根就是特征值	2.4.1
迹与行列式	trace and determinant	迹是对角线之和，等于全部特征值之和；行列式等于全部特征值之积	2.4.2
几何重数	geometric multiplicity	特征子空间的维数 $\dim V_\lambda$	2.4.3
代数重数	algebraic multiplicity	特征值作为特征多项式根的重数	2.4.3
特征子空间	eigenspace	$V_\lambda=N(T-\lambda I)$ ，包含零向量	2.4.3
可对角化	diagonalizable	两种重数处处相等；等价于有 $n$ 个线性无关的特征向量	2.4.3
相似矩阵	similar matrices	同一个线性变换在不同基下的两个矩阵， $B=P^{-1}AP$	2.4.4
相似不变量	similarity invariant	特征值、迹、行列式、秩在相似下都不变	2.4.2
正交矩阵	orthogonal matrix	实方阵满足 $A^{\mathrm T}A=I$ ，列向量构成标准正交基	2.5.1
酉矩阵	unitary matrix	复方阵满足 $A^{\mathrm H}A=I$ ，正交矩阵是它的实特例	2.5.1
正交变换	orthogonal transformation	保持内积的实线性变换，等价于把标准正交基映到标准正交基	2.5.2
酉变换	unitary transformation	复空间上保内积的线性变换	2.5.2
Givens·旋转	Givens rotation	在坐标平面 $(i,j)$ 内旋转、每次清零一个分量的正交矩阵	2.5.3
Householder	Householder reflection and transformation	$H=I-2\omega\omega^{\mathrm T}$ ，关于 $\omega^{\perp}$ 照镜子的正交矩阵	2.5.4

三 · 第三章（相抵分解、满秩分解、QR 分解、Schur 分解）

中文	English	一句话	出处
相抵	equivalence of matrices	经有限次初等变换化为另一个矩阵，等价于 $B=P^{-1}AQ$	3.1.1
相抵标准形	equivalence normal form	秩为 $r$ 的矩阵都相抵于 $\Gamma=\operatorname{diag}(I_r,O)$	3.1.1
相抵分解	equivalence decomposition	$A=P^{-1}\Gamma Q$ ：分解式不唯一，标准形由秩唯一决定	3.1.1
单侧逆	one-sided inverse	右逆 $AB=I$ 要求行满秩，左逆 $BA=I$ 要求列满秩	3.1.3
秩等式	rank identity	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)=\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})$	3.1.4
满秩分解	full-rank factorization	$A=BC$ ： $B$ 列满秩、 $C$ 行满秩，把列空间的骨架亮出来	3.2.1
满秩分解不唯一	non-uniqueness	两种满秩分解只差一个可逆因子： $B_1=B_2D$ 、 $C_1=D^{-1}C_2$	3.2.3
伪逆	pseudoinverse	$X=C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}$ ，是 $AXA=A$ 的一个解	3.2.4
QR·分解	QR decomposition	$A=QR$ ： $Q$ 酉、 $R$ 上三角，也叫正交三角分解	3.4.1
正线条件	positive diagonal condition	要求 $R$ 的对角元全为正实数，唯一性就锁在这里	3.4.1
列正交规范矩阵	column-orthonormal matrix	长方阵满足 $Q^{\mathrm H}Q=I_n$ ，自动列满秩且保范	3.4.2
Schur-引理	Schur’s lemma	每个复方阵都酉相似于上三角阵：三角化人人有份	3.5.1
Schur-型	Schur form	$A=UTU^{\mathrm H}$ 中的上三角阵 $T$ ，对角元就是全部特征值	3.5.1
完全-QR	complete QR	长方阵补零块后的完全分解 $A=U\begin{bmatrix}R_1\O\end{bmatrix}$	3.4.2
Schur-分解	Schur decomposition	$A=UTU^{\mathrm H}$ ，酉相似地把方阵化成 Schur 型	3.5.1
正交三角分解	orthogonal triangular decomposition	实矩阵的 QR 分解： $Q$ 正交、 $R$ 上三角	3.4.1
矩阵多项式	matrix polynomial	$\varphi(A)=\sum a_iA^i$ ，常数项自动补成 $a_0I$	3.5.2
谱映射	spectral mapping	$f(A)$ 的特征值恰是 $f(\lambda)$ ，且特征向量可以继承	3.5.2
Hamilton-定理	Cayley–Hamilton theorem	特征多项式零化自己： $f_A(A)=O$	3.5.3
零化多项式	annihilating polynomial	使 $g(A)=O$ 的多项式；有无穷多个	3.5.4
最小多项式	minimal polynomial	次数最小的首一零化多项式 $m_A$ ：唯一、整除一切零化多项式	3.5.4
候选法	candidate method	由 $f_A$ 的因式从低往高试，找次数最小的那个零化多项式	3.5.4
逆矩阵的多项式公式	polynomial formula for inverse	$A^{-1}$ 可由 $m_A$ 或 $f_A$ 的系数写成 $A$ 的多项式	3.5.4
酉相似	unitary similarity	换基矩阵取酉矩阵的相似，额外保住长度与内积	3.5.1
正交相似	orthogonal similarity	换基矩阵取实正交矩阵的相似；对称阵可正交对角化	3.5.1
上三角阵	upper triangular matrix	对角线以下元素全为零的方阵，对角元就是全部特征值	3.5.1

Keyboard shortcuts

矩阵论 · 线性空间引论 · 线性映射与矩阵 · 矩阵分解