$A=P^{-1}\Gamma Q$，$\Gamma=\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}_{m\times n}$（引理 3.1.1）。不唯一：$P$、$Q$ 的取法无穷（同一分解上左乘吸收矩阵 $\begin{bmatrix}I_r&*\\0&I\end{bmatrix}$、右乘 $\begin{bmatrix}I_r&0\\*&I\end{bmatrix}$ 仍是分解，分解唯一性问题）；唯一：中间的 $\Gamma$ 由秩唯一决定，同型矩阵相抵 $\iff$ 同秩（本编补注）。两句话对象不同，别写反。

$AB=I$ 称 $B$ 是 $A$ 的右逆；$BA=I$ 称左逆（定理 3.1.1）。判别：$A$ 有右逆 $\iff$ $A$ 行满秩；$A$ 有左逆 $\iff$ $A$ 列满秩。方阵情形：单侧满秩 $=$ 双侧满秩（行数 $=$ 列数），故单侧逆即双侧逆即「可逆」。易错：长方阵的 $AB=I$ 不能推出 $BA=I$，也不能称 $B$ 为「逆」。

$A=BC$：$B\in\mathbb C^{m\times r}$ 列满秩（列是 $R(A)$ 的一组基）、$C\in\mathbb C^{r\times n}$ 行满秩（列是 $A$ 各列在该基下的坐标）（定理 3.2.1）。读法：$B$ 是骨架、$C$ 是图纸。$B$ 不必取自 $A$ 的列——$A=I_2A$ 也是合法分解（注 2）。前提 $r>0$。

复方阵 $A=QR$（$Q$ 酉、$R$ 上三角）称 QR 分解 / 酉三角分解；实方阵时 $Q$ 正交称正交三角分解（定义 3.4.1）。正线 $=$ 对角元素全为正实数（定理 3.4.1 首次使用）。不满秩仍有分解，丢的是唯一性——例 3.4.2 的 $R$ 出现零对角元、不再是正线（例 3.4.2）。

$Q^{\mathrm H}Q=I_n$（$Q\in\mathbb C^{m\times n}$，不必方阵）称列正交规范，$Q^{\mathrm H}$ 称行正交规范（定义 3.4.2）。酉矩阵要求方阵；$m>n$ 时 $QQ^{\mathrm H}\ne I_m$（差一个投影）。自动列满秩（列标准正交），且保范 $\|Q\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol x\|$；$Q^{\mathrm H}$ 是它的一个左逆。

$\varphi(\lambda)=\sum a_i\lambda^i$ 给定后，$\varphi(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_0I$（定义 3.5.1）。最容易漏：常数项要补成 $a_0I$。$\varphi(A)$ 是 $A$ 的多项式，故与 $A$ 可交换（$A\varphi(A)=\varphi(A)A$）——这是 H–C 证明里「因子按次序乘」的背景前提。

$g(A)=O$ 则 $g$ 是 $A$ 的零化多项式（定义 3.5.2）。有无穷多个：若 $g$ 零化，则任意 $gh$ 也零化（[$g(A)$ 与 $h(A)$ 可交换]）。两个现成成员：$f_A$（H–C 定理）与 $m_A$（本身）（注 5）。

零化多项式中次数最小的首 1（最高次项系数为 $1$）多项式，记 $m_A$（定义 3.5.3）。两项关系（定理 3.5.5）：① $m_A$ 唯一，且整除任何零化多项式——特别地 $m_A\mid f_A$；② $m_A$ 与 $f_A$ 根相同（不计重数）。$m_A$ 的重数记「必要重数」：$I_2$ 的 $f_A=(\lambda-1)^2$ 而 $m_A=\lambda-1$。

把 $A$ 读成映射 $T$，取出发端的一组基：核的基 $\boldsymbol\xi_1,\cdots,\boldsymbol\xi_{n-r}$ 排前面、扩充的向量 $\boldsymbol\xi_{n-r+1},\cdots,\boldsymbol\xi_n$ 排后面；它们的像 $f_i=T(\boldsymbol\xi_{n-r+i})$ 是 $R(T)$ 的基（无关性由表示唯一性逼出），扩充为到达端的基。两组基下矩阵恰为 $\Gamma$，换基公式收尾 $A=P^{-1}\Gamma Q$（引理 3.1.1）。一句话：「零空间的基排前、值域的基接后，让映射只剩骨架」。

行满秩 $\iff$ 有右逆；列满秩 $\iff$ 有左逆（定理 3.1.1）。路线：法 1 用相抵构造（从 $\Gamma$ 的竖条横条拼出单侧逆）；法 2 用闭式公式 $B=A^{\mathrm H}(AA^{\mathrm H})^{-1}$、$(A^{\mathrm H}A)^{-1}A^{\mathrm H}$。注 1：方阵时单侧即双侧（可逆）；满秩非方阵的单侧逆不唯一（通式 $B_0+Z$，$Z$ 每列属于对应的零空间）。必要性证明：$AB=I$ 时 $B$ 的列给出 $A$ 的行满秩结构（定理 3.1.1 的左右逆两条，左逆必要性本编补）。

$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)=\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H})$（命题 3.1.1）。证明入口：证 $N(A)=N(A^{\mathrm H}A)$——「$\subseteq$」显然，「$\supseteq$」由 $A^{\mathrm H}A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 左乘 $\boldsymbol x^{\mathrm H}$ 得 $(A\boldsymbol x,A\boldsymbol x)=0$，正定性逼出 $A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$。用途：把长方阵的满秩问题转成方阵 $A^{\mathrm H}A$ 的可逆问题——单侧逆公式、伪逆、最小二乘都从它出发。

$A=BC$ 存在，$B$ 列满秩、$C$ 行满秩（定理 3.2.1）。构造法 1（相抵）：$A=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r\\0\end{bmatrix}[I_r,0]Q$，取前 $r$ 列 / 前 $r$ 行；构造法 2（列空间基）：任取 $R(A)$ 的基拼成 $B$、坐标拼成 $C$——$\operatorname{rank}C=r$ 要两边夹（行数上界 $+$ $N(C)\subseteq N(A)$ 下界）。RREF 算法（用 RREF 批量求满秩分解）：$B$ 取 $A$ 的主元列、$C$ 取 RREF 的非零行；原理是「行变换保持列间线性关系」。

两种满秩分解相差一个可逆因子：$B_1=B_2D$、$C_1=D^{-1}C_2$（定理 3.2.2）。证明第一步：$C_1$ 行满秩（满射）$\Rightarrow R(B_1)=R(B_1C_1)=R(A)$，同理 $R(B_2)=R(A)$——两组 $B$ 的列是同一个子空间 $R(A)$ 的两组基；第二步：取过渡矩阵 $D$（必可逆），再由 $B_2(C_2-DC_1)=O$ 与 $B_2$ 列无关得 $C_2=DC_1$。$D$ 的身份：$R(A)$ 两组基之间的过渡矩阵（注 3：一个分解生成全部）。

满秩复方阵存在酉阵 $Q$ 与正线上三角阵 $R$ 使 $A=QR$，且唯一（定理 3.4.1）。读法：记 $A=[\boldsymbol a_1,\cdots,\boldsymbol a_n]$、$Q=[\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_n]$，则 $[\boldsymbol a_1,\cdots]=[\boldsymbol z_1,\cdots]R$——$R$ 是从 $\boldsymbol z$ 基到 $\boldsymbol a$ 基的过渡矩阵。GS 公式：对角元 $r_{kk}=\|\boldsymbol y_k\|$（残差的范数，不是 $\|\boldsymbol a_k\|$），上三角元 $r_{ik}=(\boldsymbol a_k,\boldsymbol z_i)$（$i<k$）。

第一行：设 $A=Q_1R_1=Q_2R_2$，则 $W=Q_2^{\mathrm H}Q_1=R_2R_1^{-1}$（满秩保证 $R_i$ 可逆）——$W$ 双重身份：酉阵之积（酉）$+$ 上三角之积之逆（上三角）。引理：上三角 $\wedge$ 酉 $\Rightarrow$ 对角且 $|w_{ii}|=1$（逐列归纳）；正线在最后一步把 $w_{ii}=1$ 逼出来 $\Rightarrow W=I$。去正线后：任意两种分解相差一个对角酉阵 $W=\operatorname{diag}(w_i)$、$|w_i|=1$；实方阵恰 $2^n$ 种（例 3.4.1 的 $I_2$ 两种即 $n=1$ 情形；例 3.4.B（新增 给出完整四种）。

$A\in\mathbb C^{m\times n}_n$（列满秩，$n\le m$）可分解为 $A=UR$，$U$ 是 $m$ 阶酉阵、$R=\begin{bmatrix}R_1\\O\end{bmatrix}$ 上块为正线上三角（推论 3.4.1）。三步：① GS 得 $A=Q_1R_1$（$Q_1$ 列正交规范）；② 基扩充把列补成标准正交基；③ 拼 $U=[\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_m]$，$U\begin{bmatrix}R_1\\O\end{bmatrix}=[\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_n]R_1=A$。要点：补齐时对扩充后整组重新 GS，前缀因「张成不变」原样保留。

$A_1=A$，$A_k=Q_kR_k$，$A_{k+1}=R_kQ_k$（QR 算法）。关键恒等式：$A_{k+1}=Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k$——每步都是酉相似，特征值全程不变；链式 $A_k=(Q_1\cdots Q_{k-1})^{\mathrm H}A(Q_1\cdots Q_{k-1})$。收敛条件：「各特征值模值互不相同」——充分不必要；模互异时收敛于上三角阵、对角元即特征值（按模从大到小排定）。等模可卡死：旋转阵 $A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 的正线 QR 是 $A=A\cdot I$，故 $A_2=A$ 原地不动（例 3.4.4 的本编注）。

任意复方阵相似于上三角阵：$P^{-1}AP=\Lambda$，$\Lambda$ 对角元为特征值（定理 3.5.1）。归纳：取特征值 $\lambda_1$ 与特征向量 $\boldsymbol x_1$（复方阵必有）$\to$ 扩充为基、相似变换得 $\begin{bmatrix}\lambda_1&\boldsymbol\beta\\\boldsymbol 0&A_1\end{bmatrix}$ $\to$ 对 $A_1$ 用归纳假设 $\to$ 分块对角拼收尾。对角元是特征值：分块三角行列式 $f_A=(\lambda-\lambda_1)f_{A_1}$ $+$ 相似不改特征多项式。对照注 1：三角化人人有份，对角化不是（注 1）。

任意复方阵酉相似于上三角阵：$U^{\mathrm H}AU=\Lambda$（定理 3.5.2）。证明：对定理 3.5.1 的可逆阵 $P$ 作 QR 分解 $P=UR$（$U$ 酉、$R$ 正线上三角）$\to$ 代入得 $U^{\mathrm H}AU=R\Lambda R^{-1}$ $\to$ 上三角对乘法、求逆封闭，右边仍上三角。便利之处（注 2）：酉矩阵保范、条件数 1，数值稳定——可逆阵 $P$ 的列可以接近相关，酉阵不会。

实方阵且特征值均为实数时，存在正交阵 $Q$ 使 $Q^{\mathrm T}AQ$ 为上三角（定理 3.5.3）。反例（注 3）：$A=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$，$f_A=\lambda^2+1$，$\lambda=\pm\mathrm i$；若存在实正交 $Q$，则 $Q^{\mathrm T}AQ$ 必为实阵，实上三角阵的特征值（对角元）全实，与 $\pm\mathrm i$ 矛盾。警告：实阵的特征值不全是实数，处理实矩阵时不要轻易套用复矩阵结论——前提「特征值全实」不可丢。

$A$ 的特征值 $\lambda_i$ $\Rightarrow$ $\varphi(A)$ 的特征值为 $\varphi(\lambda_i)$，特别地 $A^m$ 的特征值为 $\lambda_i^m$（推论 3.5.1）。证明：Schur 型 $A=U\Lambda U^{\mathrm H}$ $\to$ $\varphi(A)=U\left(\sum a_i\Lambda^i\right)U^{\mathrm H}$（上三角的幂仍是上三角，对角元取幂）$\to$ 相似不改特征值。注 4（注 4）：$A$ 的特征向量也是 $\varphi(A)$ 的（$A^k\boldsymbol\alpha=\lambda^k\boldsymbol\alpha$ 归纳）；反向不成立——$\varphi$ 会把不同特征值黏起来：$A=\operatorname{diag}(1,-1)$、$\varphi=\lambda^2$ 时 $\varphi(A)=I$，一切向量都是它的特征向量。

$f_A(A)=O$（定理 3.5.4）。只验对角元不够：对角元全零的上三角阵可以非零（反例 $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$，特征值全零却非零）。证明心脏：在 Schur 型 $\Lambda$ 上把 $f_A(\Lambda)=\prod_i(\Lambda-\lambda_iI)$ 的因子按 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots$ 的次序从右往左乘，归纳证明第 $k$ 个部分积清掉前 $k$ 列——关键用到 $\Lambda$ 上三角（$\Lambda\boldsymbol e_j$ 不漏到后面的分量）。$A$ 的情形由 $f_A(A)=Uf_A(\Lambda)U^{\mathrm H}$ 归结。

$A^{-1}=-\dfrac{1}{a_0}\big(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_1I\big)$（推论 3.5.2）。$a_0=f_A(0)=(-1)^n\det A$，故 $a_0\ne0\iff A$ 可逆。证明第一行：H–C 给出 $A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots+a_0I=O$，提取 $A$ 得 $A(\cdots)=-a_0I$，两边除以 $-a_0$。用途（例 3.5.3）：把求逆变成算多项式——例 3.5.3 双路验算（公式 $+$ 几何级数 $I+N+N^2+\cdots$）。

（1）$m_A$ 唯一、整除一切零化多项式（特别地 $m_A\mid f_A$）；（2）$f_A$ 与 $m_A$ 同根（不计重数）（定理 3.5.5）。整除证明：带余除法 $g=qm_A+r$，代入得 $r(A)=O$，若 $r\ne0$ 违反最小性。同根反方向：$m_A(A)\boldsymbol\alpha=m_A(\lambda_0)\boldsymbol\alpha=\boldsymbol 0$，用特征向量继承（注 4）。候选法（求最小多项式：候选法）：① 求 $f_A$ 并因式分解；② 列候选（每个根取重数 1 到 $d_j$，共 $\prod d_j$ 个）；③ 从低次到高次逐个试 $g(A)=O$，第一个通过的即 $m_A$——次序不能反（低次通过则高次必通过）。