3.1 的相抵分解把任何矩阵压成了标准形 A = P − 1 Γ Q A=P^{-1}\Gamma Q A = P − 1 Γ Q 关于 A A A 。Γ \Gamma Γ A A A P − 1 P^{-1} P − 1 Q Q Q A A A 直接 写成两个矩阵的乘积
A = B C , A=BC, A = BC ,
其中 B B B 列 取 R ( A ) R(A) R ( A ) B B B m × r m\times r m × r C C C 逐列记下 A A A C C C r × n r\times n r × n A A A 列空间 R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R ( A ) = R ( B ) = r = =r= = r = C C C 。这就是满秩分解 （full rank factorization）。
和相抵分解一样，满秩分解也不唯一；但本节会把它不唯一的程度精确 说清：任意两种分解之间只差一个可逆矩阵 D D D 定理 3.2.2 ）。最后用它解一个矩阵方程 A X A = A AXA=A A X A = A 例 3.2.2 ）——那是 3.1 结尾预告过的伪逆的第一次露面。
素材与说明（本节无录播）
本页依据课程第三章课件 3.2 满秩分解 （9 页）整理。本节无对应录播 ，故不引用课堂口述与时间戳：课件的定理、注记与例题照录并保留原编号 （定理 3.2.1、注 1–注 3、例 3.2.1、定理 3.2.2、例 3.2.2）；课件省略的证明（定理 3.2.2 的证明、方法 2 中 rank C = r \operatorname{rank}C=r rank C = r 勘误与补注 。
把上一节末尾的话接着说完：例 3.1.A 里 A = P − 1 Γ Q A=P^{-1}\Gamma Q A = P − 1 Γ Q P − 1 P^{-1} P − 1 r r r Q Q Q r r r A A A 任何 相抵分解都有的结构——相抵标准形 Γ \Gamma Γ × \times ×
Γ = [ I r 0 0 0 ] m × n = [ I r 0 ] m × r [ I r , 0 ] r × n , \Gamma=\begin{bmatrix}I_r&0\0&0\end{bmatrix}_{m\times n}=\begin{bmatrix}I_r\0\end{bmatrix}_{m\times r}\big[I_r,\ 0\big]_{r\times n}, Γ = [ I r 0 0 0 ] m × n = [ I r 0 ] m × r [ I r , 0 ] r × n ,
于是 A = P − 1 Γ Q A=P^{-1}\Gamma Q A = P − 1 Γ Q m × r m\times r m × r r × n r\times n r × n
定理 3.2.1 · 满秩分解定理
设 A ∈ C r m × n A\in\mathbb C^{m\times n}_r A ∈ C r m × n r > 0 r>0 r > 0 列满秩 矩阵 B ∈ C r m × r B\in\mathbb C^{m\times r}_r B ∈ C r m × r 行满秩 矩阵 C ∈ C r r × n C\in\mathbb C^{r\times n}_r C ∈ C r r × n
A = B C . A=BC . A = BC .
课件给出两条构造路线，一条从相抵分解搬过来（存在性最短），一条从列空间的基出发（几何含义最清楚、且直接给出算法）。两条都值得掌握。
构造法 1（利用相抵分解；课件原文，记号与引理 3.1.1 统一）
对 A A A A = P − 1 Γ Q A=P^{-1}\Gamma Q A = P − 1 Γ Q Γ \Gamma Γ
A = P − 1 [ I r 0 0 0 ] Q = P − 1 [ I r 0 ] [ I r , 0 ] Q . A=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r\\0\end{bmatrix}\big[I_r,\ 0\big]Q . A = P − 1 [ I r 0 0 0 ] Q = P − 1 [ I r 0 ] [ I r , 0 ] Q .
令
B = P − 1 [ I r 0 ] ∈ C m × r , C = [ I r , 0 ] Q ∈ C r × n , B=P^{-1}\begin{bmatrix}I_r\\0\end{bmatrix}\in\mathbb C^{m\times r},\qquad C=\big[I_r,\ 0\big]Q\in\mathbb C^{r\times n}, B = P − 1 [ I r 0 ] ∈ C m × r , C = [ I r , 0 ] Q ∈ C r × n ,
则 A = B C A=BC A = BC
B B B 可逆矩阵 P − 1 P^{-1} P − 1 r r r ，线性无关（可逆矩阵的列构成基），故 rank B = r \operatorname{rank}B=r rank B = r B B B C C C 可逆矩阵 Q Q Q r r r ，同样线性无关，故 rank C = r \operatorname{rank}C=r rank C = r C C C
（这两句是课件「其中 B B B C C C
∎ 构造法 2（列空间的基与坐标；课件路线，本编补全 rank C = r \operatorname{rank}C=r rank C = r
取基 ：令 A = [ a 1 , ⋯ , a n ] A=[\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n] A = [ a 1 , ⋯ , a n ] 定义 1.2.3 、命题 1.2.1 ），
R ( A ) = span { a 1 , ⋯ , a n } , rank A = dim R ( A ) = r . R(A)=\operatorname{span}\{\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n\},\qquad \operatorname{rank}A=\dim R(A)=r . R ( A ) = span { a 1 , ⋯ , a n } , rank A = dim R ( A ) = r .
任取 R ( A ) R(A) R ( A ) b 1 , ⋯ , b r \boldsymbol{b}_1,\cdots,\boldsymbol{b}_r b 1 , ⋯ , b r dim R ( A ) = r \dim R(A)=r dim R ( A ) = r 这组基不必是 A A A ，见 注 2 ）。
记坐标 ：每个 a i ∈ R ( A ) \boldsymbol{a}_i\in R(A) a i ∈ R ( A ) 定理 1.3.2 ），记为 c i ∈ C r \boldsymbol{c}_i\in\mathbb C^r c i ∈ C r
a i = [ b 1 , ⋯ , b r ] c i , i = 1 , ⋯ , n . \boldsymbol{a}_i=[\boldsymbol{b}_1,\cdots,\boldsymbol{b}_r]\boldsymbol{c}_i,\qquad i=1,\cdots,n . a i = [ b 1 , ⋯ , b r ] c i , i = 1 , ⋯ , n .
拼成大矩阵 ：定义
B = [ b 1 , ⋯ , b r ] ∈ C m × r , C = [ c 1 , ⋯ , c n ] ∈ C r × n , B=[\boldsymbol{b}_1,\cdots,\boldsymbol{b}_r]\in\mathbb C^{m\times r},\qquad C=[\boldsymbol{c}_1,\cdots,\boldsymbol{c}_n]\in\mathbb C^{r\times n}, B = [ b 1 , ⋯ , b r ] ∈ C m × r , C = [ c 1 , ⋯ , c n ] ∈ C r × n ,
按分块乘法逐列对照即得
A = [ a 1 , ⋯ , a n ] = [ b 1 , ⋯ , b r ] [ c 1 , ⋯ , c n ] = B C . A=[\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n]=[\boldsymbol{b}_1,\cdots,\boldsymbol{b}_r][\boldsymbol{c}_1,\cdots,\boldsymbol{c}_n]=BC . A = [ a 1 , ⋯ , a n ] = [ b 1 , ⋯ , b r ] [ c 1 , ⋯ , c n ] = BC .
验证满秩 ：B B B R ( A ) R(A) R ( A ) rank B = dim R ( B ) = r \operatorname{rank}B=\dim R(B)=r rank B = dim R ( B ) = r C C C
rank C ≤ r \operatorname{rank}C\le r rank C ≤ r C C C r r r ≤ \le ≤ rank C ≥ rank A = r \operatorname{rank}C\ge\operatorname{rank}A=r rank C ≥ rank A = r C x = 0 C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} C x = 0 A x = B C x = 0 A\boldsymbol{x}=BC\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} A x = BC x = 0 N ( C ) ⊆ N ( A ) N(C)\subseteq N(A) N ( C ) ⊆ N ( A ) 定理 2.2.5 ），
rank C = n − dim N ( C ) ≥ n − dim N ( A ) = rank A = r . \operatorname{rank}C=n-\dim N(C)\ \ge\ n-\dim N(A)=\operatorname{rank}A=r . rank C = n − dim N ( C ) ≥ n − dim N ( A ) = rank A = r .
故 rank C = r \operatorname{rank}C=r rank C = r C C C
∎ 读法（本编提炼）· 满秩分解把 A A A × \times ×
把两条构造路线合起来看，满秩分解说的是同一件事的两面：
A = B C A=BC A = BC B B B = = = R ( A ) R(A) R ( A ) C C C = = = A A A
于是 A A A 原封不动保存在 C C C ：由 a i = B c i \boldsymbol{a}_i=B\boldsymbol{c}_i a i = B c i ∑ i k i a i = B ∑ i k i c i \sum_ik_i\boldsymbol{a}_i=B\sum_ik_i\boldsymbol{c}_i ∑ i k i a i = B ∑ i k i c i
∑ i k i a i = 0 ⟺ ∑ i k i c i = 0 \sum_ik_i\boldsymbol{a}_i=\boldsymbol{0}\iff\sum_ik_i\boldsymbol{c}_i=\boldsymbol{0} i ∑ k i a i = 0 ⟺ i ∑ k i c i = 0
（「⟸ \Longleftarrow ⟸ ⟹ \Longrightarrow ⟹ B B B B B B B z = 0 B\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0} B z = 0
对照记忆：相抵分解 A = P − 1 Γ Q A=P^{-1}\Gamma Q A = P − 1 Γ Q A A A P − 1 P^{-1} P − 1 A = B C A=BC A = BC 留在 B B B 。
注 1（课件原文）· 满秩分解不唯一，且证明即算法
由于列空间 R ( A ) R(A) R ( A ) 基选取不同 ，矩阵 A A A 计算 方法。
不唯一的自由度到底有多大 ？注 1 只说「基选得不同，分解就不同」；3.2.3 的 定理 3.2.2 会把这句话精确成「任意两种分解只差一个可逆矩阵 D D D
课件用构造法 2 现场算了一个例子——它示范了标准的手工流程：选定一组好用的基（用列向量看相关关系）→ \to → → \to → B B B C C C 。
例 3.2.1（课件原文）· 求矩阵的满秩分解
求矩阵
A = [ i 1 1 1 − i 1 ] A=\begin{bmatrix}\mathrm i&1&1\\ 1&-\mathrm i&1\end{bmatrix} A = [ i 1 1 − i 1 1 ]
的满秩分解。
解答（课件原文，本编补验算与一处细节）
第一步（找基） ：令 A = [ a 1 , a 2 , a 3 ] A=[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3] A = [ a 1 , a 2 , a 3 ] a 1 = ( i , 1 ) T \boldsymbol{a}_1=(\mathrm i,1)^{\mathrm T} a 1 = ( i , 1 ) T a 2 = ( 1 , − i ) T \boldsymbol{a}_2=(1,-\mathrm i)^{\mathrm T} a 2 = ( 1 , − i ) T a 3 = ( 1 , 1 ) T \boldsymbol{a}_3=(1,1)^{\mathrm T} a 3 = ( 1 , 1 ) T
a 2 = − i a 1 ( ( − i ) ( i , 1 ) T = ( 1 , − i ) T ✓ ) , \boldsymbol{a}_2=-\mathrm i\,\boldsymbol{a}_1\quad\big((-\mathrm i)(\mathrm i,1)^{\mathrm T}=(1,-\mathrm i)^{\mathrm T}\ \checkmark\big), a 2 = − i a 1 ( ( − i ) ( i , 1 ) T = ( 1 , − i ) T ✓ ) ,
故 a 1 , a 2 \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2 a 1 , a 2 a 1 , a 3 \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3 a 1 , a 3 a 1 , a 3 \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3 a 1 , a 3 2 2 2 rank A = 2 \operatorname{rank}A=2 rank A = 2 R ( A ) R(A) R ( A )
第二步（写坐标） ：定义 B = [ a 1 , a 3 ] B=[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3] B = [ a 1 , a 3 ] a 1 , a 3 \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3 a 1 , a 3
c 1 = [ 1 0 ] ( a 1 = a 1 ) , c 2 = [ − i 0 ] ( a 2 = − i a 1 ) , c 3 = [ 0 1 ] ( a 3 = a 3 ) . \boldsymbol{c}_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\ (\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{a}_1),\qquad \boldsymbol{c}_2=\begin{bmatrix}-\mathrm i\\0\end{bmatrix}\ (\boldsymbol{a}_2=-\mathrm i\,\boldsymbol{a}_1),\qquad \boldsymbol{c}_3=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\ (\boldsymbol{a}_3=\boldsymbol{a}_3). c 1 = [ 1 0 ] ( a 1 = a 1 ) , c 2 = [ − i 0 ] ( a 2 = − i a 1 ) , c 3 = [ 0 1 ] ( a 3 = a 3 ) .
第三步（拼装） ：定义 C = [ c 1 , c 2 , c 3 ] C=[\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\boldsymbol{c}_3] C = [ c 1 , c 2 , c 3 ] A = B C A=BC A = BC A A A
B = [ i 1 1 1 ] , C = [ 1 − i 0 0 0 1 ] , B C = [ i 1 1 1 ] [ 1 − i 0 0 0 1 ] = [ i 1 1 1 − i 1 ] = A ✓ B=\begin{bmatrix}\mathrm i&1\\ 1&1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}1&-\mathrm i&0\\ 0&0&1\end{bmatrix},\qquad BC=\begin{bmatrix}\mathrm i&1\\ 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-\mathrm i&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm i&1&1\\ 1&-\mathrm i&1\end{bmatrix}=A\ \checkmark B = [ i 1 1 1 ] , C = [ 1 0 − i 0 0 1 ] , BC = [ i 1 1 1 ] [ 1 0 − i 0 0 1 ] = [ i 1 1 − i 1 1 ] = A ✓
（验算由本编补：逐行列乘可得。另外这里的 B B B A A A 1 1 1 3 3 3 取 A 自己的列做基是最顺手的选法 ，但只是选法之一，见 注 2 。）∎
注 2（课件原文）· 挑 R ( A ) R(A) R ( A ) A A A
在挑选列空间 R ( A ) R(A) R ( A ) A A A
本例中，B B B I 2 I_2 I 2 I 2 I_2 I 2 A A A
A = I 2 A A=I_2\,A A = I 2 A
也是 A A A I 2 I_2 I 2 A A A 2 × 3 2\times3 2 × 3 2 2 2 = 2 = r =2=r = 2 = r
注 2 的份量 （本编）：A = I 2 A A=I_2A A = I 2 A B B B C C C 同一个 A A A 。它同时是最好的反例素材：谁若声称「满秩分解唯一」，A = [ a 1 , a 3 ] ⋅ C A=[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3]\cdot C A = [ a 1 , a 3 ] ⋅ C A = I 2 ⋅ A A=I_2\cdot A A = I 2 ⋅ A
手工计算时还有一条更省事的路：行简化阶梯形（RREF）一次给出全部答案 。它的原理正是上面的「读法」——行变换不改变列之间的线性关系。
用 RREF 批量求满秩分解（本编整理）
设 A A A R R R r = rank A r=\operatorname{rank}A r = rank A
B B B A A A R R R p 1 < ⋯ < p r p_1<\cdots<p_r p 1 < ⋯ < p r A A A p 1 , ⋯ , p r p_1,\cdots,p_r p 1 , ⋯ , p r B B B C C C R R R C = R C=R C = R r r r
则 A = B C A=BC A = BC
为什么 （三行）：行变换 E E E A A A R = E A R=EA R = E A R = [ C O ] R=\begin{bmatrix}C\\O\end{bmatrix} R = [ C O ] r r r E E E A = E − 1 R = E − 1 [ C O ] = E [ : , 1 : r ] − 1 C A=E^{-1}R=E^{-1}\begin{bmatrix}C\\O\end{bmatrix}=E^{-1}_{[:,1:r]}\,C A = E − 1 R = E − 1 [ C O ] = E [ : , 1 : r ] − 1 C E [ : , 1 : r ] − 1 E^{-1}_{[:,1:r]} E [ : , 1 : r ] − 1 A A A R R R e 1 , ⋯ , e r \boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r e 1 , ⋯ , e r R = E A R=EA R = E A E A [ : , p k ] = e k EA_{[:,p_k]}=\boldsymbol{e}_k E A [ : , p k ] = e k A [ : , p k ] = E − 1 e k = E [ : , k ] − 1 A_{[:,p_k]}=E^{-1}\boldsymbol{e}_k=E^{-1}_{[:,k]} A [ : , p k ] = E − 1 e k = E [ : , k ] − 1 A = B C A=BC A = BC B B B A A A r r r C C C R R R r r r r r r
它相对于「逐个写坐标」的好处 ：一次消元同时得到 B B B C C C C C C a i \boldsymbol{a}_i a i RREF 的非零行读出来就是坐标表 。
例 3.2.A（新增）· RREF 法算一个 3 × 4 3\times4 3 × 4
求 A = [ 1 2 3 1 2 4 7 3 1 2 2 0 ] A=\begin{bmatrix}1&2&3&1\\ 2&4&7&3\\ 1&2&2&0\end{bmatrix} A = 1 2 1 2 4 2 3 7 2 1 3 0
解答 · 例 3.2.A
化 RREF （用 RREF 批量求满秩分解 ）：r 2 ← r 2 − 2 r 1 r_2\leftarrow r_2-2r_1 r 2 ← r 2 − 2 r 1 [ 1 2 3 0 0 1 1 2 2 ] \begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&1\\1&2&2\end{bmatrix} 1 0 1 2 0 2 3 1 2 r 3 ← r 3 − r 1 r_3\leftarrow r_3-r_1 r 3 ← r 3 − r 1 ( 0 , 0 , − 1 ) (0,0,-1) ( 0 , 0 , − 1 ) r 3 ← r 3 + r 2 r_3\leftarrow r_3+r_2 r 3 ← r 3 + r 2 0 0 0 r 1 ← r 1 − 3 r 2 r_1\leftarrow r_1-3r_2 r 1 ← r 1 − 3 r 2
A ⇝ R = [ 1 2 0 − 2 0 0 1 1 0 0 0 0 ] , r = 2 , 主元列 = 1 , 3. A\ \rightsquigarrow\ R=\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0\end{bmatrix},\qquad r=2,\ \text{主元列}=1,3 . A ⇝ R = 1 0 0 2 0 0 0 1 0 − 2 1 0 , r = 2 , 主元列 = 1 , 3.
取 B B B （A A A
B = [ 1 3 2 7 1 2 ] . B=\begin{bmatrix}1&3\\ 2&7\\ 1&2\end{bmatrix}. B = 1 2 1 3 7 2 .
取 C C C （R R R
C = [ 1 2 0 − 2 0 0 1 1 ] . C=\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\ 0&0&1&1\end{bmatrix}. C = [ 1 0 2 0 0 1 − 2 1 ] .
回代验证 ：
B C = [ 1 3 2 7 1 2 ] [ 1 2 0 − 2 0 0 1 1 ] = [ 1 2 3 1 2 4 7 3 1 2 2 0 ] = A ✓ BC=\begin{bmatrix}1&3\\ 2&7\\ 1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\ 0&0&1&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&2&3&1\\ 2&4&7&3\\ 1&2&2&0\end{bmatrix}=A\ \checkmark BC = 1 2 1 3 7 2 [ 1 0 2 0 0 1 − 2 1 ] = 1 2 1 2 4 2 3 7 2 1 3 0 = A ✓
读信息 ：R ( B ) = R ( A ) = span { ( 1 , 2 , 1 ) T , ( 3 , 7 , 2 ) T } R(B)=R(A)=\operatorname{span}\{(1,2,1)^{\mathrm T},(3,7,2)^{\mathrm T}\} R ( B ) = R ( A ) = span {( 1 , 2 , 1 ) T , ( 3 , 7 , 2 ) T } R ( A ) R(A) R ( A ) C C C c 2 = ( 2 , 0 ) T \boldsymbol{c}_2=(2,0)^{\mathrm T} c 2 = ( 2 , 0 ) T a 2 = 2 a 1 \boldsymbol{a}_2=2\boldsymbol{a}_1 a 2 = 2 a 1 c 4 = ( − 2 , 1 ) T \boldsymbol{c}_4=(-2,1)^{\mathrm T} c 4 = ( − 2 , 1 ) T a 4 = − 2 a 1 + a 3 \boldsymbol{a}_4=-2\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_3 a 4 = − 2 a 1 + a 3
本编补注 · 给定了 B B B C C C
由 A = B C A=BC A = BC 3.1 的单侧逆（定理 3.1.1 ）：
给定 B B B ：两式两边左乘 B B B ( B H B ) − 1 B H (B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H} ( B H B ) − 1 B H B B B B H B B^{\mathrm H}B B H B 命题 3.1.1 ），得
C = ( B H B ) − 1 B H A ; C=(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}A; C = ( B H B ) − 1 B H A ;
给定 C C C ：两边右乘 C C C C H ( C C H ) − 1 C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1} C H ( C C H ) − 1 C C C C C H CC^{\mathrm H} C C H
B = A C H ( C C H ) − 1 . B=A\,C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}. B = A C H ( C C H ) − 1 .
两条都是「一句话验算」：代回便分别得到 ( B H B ) − 1 B H B C = C (B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}BC=C ( B H B ) − 1 B H BC = C B C C H ( C C H ) − 1 = B BCC^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}=B BC C H ( C C H ) − 1 = B 含义 ：满秩分解的不唯一，唯一地来自 B B B R ( A ) R(A) R ( A ) 选好基，C C C 。这也再次印证注 1：不唯一的自由度 = = =
「不唯一」如果只说成「可以有很多种」，就没有信息量。真正有用的问题是：这些分解之间有没有统一的关系？ 答案很干净——它们全部由一个可逆矩阵串起来。
定理 3.2.2 · 满秩分解的唯一性（相差一个可逆矩阵）
设 A ∈ C r m × n A\in\mathbb C^{m\times n}_r A ∈ C r m × n r > 0 r>0 r > 0 A = B 1 C 1 A=B_1C_1 A = B 1 C 1 A = B 2 C 2 A=B_2C_2 A = B 2 C 2 A A A 可逆 矩阵 D ∈ C r × r D\in\mathbb C^{r\times r} D ∈ C r × r
B 1 = B 2 D , C 1 = D − 1 C 2 . B_1=B_2D,\qquad C_1=D^{-1}C_2 . B 1 = B 2 D , C 1 = D − 1 C 2 .
证明（课件未给，本编补：两组基之间的过渡矩阵）
第一步（两种分解的列空间相同） ：因为 C 1 C_1 C 1 C 1 C_1 C 1 C n → C r \mathbb C^n\to\mathbb C^r C n → C r 满射 （定理 3.1.1 ：行满秩 ⟺ \iff ⟺
R ( B 1 ) = R ( B 1 C 1 ) = R ( A ) R(B_1)=R(B_1C_1)=R(A) R ( B 1 ) = R ( B 1 C 1 ) = R ( A )
（⊆ \subseteq ⊆ ⊇ \supseteq ⊇ y = B 1 C 1 x ∈ R ( A ) \boldsymbol{y}=B_1C_1\boldsymbol{x}\in R(A) y = B 1 C 1 x ∈ R ( A ) B 1 B_1 B 1 R ( B 2 ) = R ( A ) R(B_2)=R(A) R ( B 2 ) = R ( A ) 两种分解的 B B B 。
第二步（过渡矩阵） ：B 1 B_1 B 1 B 2 B_2 B 2 r r r R ( A ) R(A) R ( A ) ⇒ \Rightarrow ⇒ r r r 定义 1.3.5 、命题 1.3.1 ），存在可逆 矩阵 D D D
B 1 = B 2 D . B_1=B_2D . B 1 = B 2 D .
（D D D B 2 B_2 B 2 B 1 B_1 B 1
第三步（C C C ：由 B 2 C 2 = A = B 1 C 1 = B 2 D C 1 B_2C_2=A=B_1C_1=B_2DC_1 B 2 C 2 = A = B 1 C 1 = B 2 D C 1
B 2 ( C 2 − D C 1 ) = O . B_2\,(C_2-DC_1)=O . B 2 ( C 2 − D C 1 ) = O .
B 2 B_2 B 2 B 2 X = O B_2X=O B 2 X = O 定理 1.3.2 的表示唯一性，或 定理 2.2.2 单射判据），即 C 2 − D C 1 = O C_2-DC_1=O C 2 − D C 1 = O C 2 = D C 1 C_2=DC_1 C 2 = D C 1
C 1 = D − 1 C 2 . C_1=D^{-1}C_2 . C 1 = D − 1 C 2 .
（D D D
证明的要点 ：不唯一性被「基的选择」吃掉了 。B B B C C C C C C D − 1 D^{-1} D − 1 R ( A ) R(A) R ( A )
∎ 注 3（课件原文）· D D D
矩阵 D D D B 2 B_2 B 2 B 1 B_1 B 1 过渡矩阵 。只要找到矩阵 A A A 无数个 满秩分解。
为什么无穷多 （本编补一句）：反过来看，任取可逆矩阵 D ∈ C r × r D\in\mathbb C^{r\times r} D ∈ C r × r
A = B 1 C 1 = ( B 1 D ) ( D − 1 C 1 ) , A=B_1C_1=(B_1D)(D^{-1}C_1), A = B 1 C 1 = ( B 1 D ) ( D − 1 C 1 ) ,
而 B 1 D B_1D B 1 D D − 1 C 1 D^{-1}C_1 D − 1 C 1 C r × r \mathbb C^{r\times r} C r × r
例 3.2.B（新增 · 承接例 3.2.1）· 亲手验证定理 3.2.2
在 例 3.2.1 的矩阵 A = [ i 1 1 1 − i 1 ] A=\begin{bmatrix}\mathrm i&1&1\\ 1&-\mathrm i&1\end{bmatrix} A = [ i 1 1 − i 1 1 ]
A = B 1 C 1 ( B 1 = [ a 1 , a 3 ] , C 1 = [ 1 − i 0 0 0 1 ] ) , A = B 2 C 2 ( B 2 = I 2 , C 2 = A ) . A=B_1C_1\ \big(B_1=[\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3],\ C_1=\begin{bmatrix}1&-\mathrm i&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\big),\qquad A=B_2C_2\ \big(B_2=I_2,\ C_2=A\big). A = B 1 C 1 ( B 1 = [ a 1 , a 3 ] , C 1 = [ 1 0 − i 0 0 1 ] ) , A = B 2 C 2 ( B 2 = I 2 , C 2 = A ) .
求出 定理 3.2.2 中的 D D D B 1 = B 2 D B_1=B_2D B 1 = B 2 D C 1 = D − 1 C 2 C_1=D^{-1}C_2 C 1 = D − 1 C 2
解答 · 例 3.2.B（新增
求 D D D ：由 B 1 = B 2 D B_1=B_2D B 1 = B 2 D B 2 = I 2 B_2=I_2 B 2 = I 2 D = B 1 = [ i 1 1 1 ] D=B_1=\begin{bmatrix}\mathrm i&1\\ 1&1\end{bmatrix} D = B 1 = [ i 1 1 1 ] det D = i − 1 ≠ 0 \det D=\mathrm i-1\neq0 det D = i − 1 = 0
验证 C 1 = D − 1 C 2 C_1=D^{-1}C_2 C 1 = D − 1 C 2 ：
D − 1 A = 1 i − 1 [ 1 − 1 − 1 i ] [ i 1 1 1 − i 1 ] = 1 i − 1 [ i − 1 1 + i 0 0 0 i − 1 ] = [ 1 − i 0 0 0 1 ] = C 1 ✓ D^{-1}A=\frac{1}{\mathrm i-1}\begin{bmatrix}1&-1\\ -1&\mathrm i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm i&1&1\\ 1&-\mathrm i&1\end{bmatrix} =\frac{1}{\mathrm i-1}\begin{bmatrix}\mathrm i-1&1+\mathrm i&0\\ 0&0&\mathrm i-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&-\mathrm i&0\\ 0&0&1\end{bmatrix}=C_1\ \checkmark D − 1 A = i − 1 1 [ 1 − 1 − 1 i ] [ i 1 1 − i 1 1 ] = i − 1 1 [ i − 1 0 1 + i 0 0 i − 1 ] = [ 1 0 − i 0 0 1 ] = C 1 ✓
（其中用到了 1 + i i − 1 = − i \dfrac{1+\mathrm i}{\mathrm i-1}=-\mathrm i i − 1 1 + i = − i ( − 1 − i ) (-1-\mathrm i) ( − 1 − i )
解读 D D D ：按注 3，D D D B 2 B_2 B 2 e 1 , e 2 \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2 e 1 , e 2 B 1 B_1 B 1 a 1 , a 3 \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3 a 1 , a 3 ( a 1 , a 3 ) = ( e 1 , e 2 ) D (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_3)=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2)D ( a 1 , a 3 ) = ( e 1 , e 2 ) D 定义 1.3.5 的记号完全一致。同一个 A A A 。∎
最后一个例子把满秩分解用到「方程」上。要解的方程是 A X A = A AXA=A A X A = A X X X 不能像数一样两边「约掉」A A A ，因为 A A A A A A A A A 可逆方向的积 A = B C A=BC A = BC B B B C C C
例 3.2.2（课件原文）· 求矩阵方程 A X A = A AXA=A A X A = A
设 A ∈ C r m × n A\in\mathbb C^{m\times n}_r A ∈ C r m × n r > 0 r>0 r > 0
A X A = A AXA=A A X A = A
的一个解。
解答（课件路线，本编补出每一步的验证）
分析（课件原文） ：不能左乘或右乘消除方程左边的 A A A A A A
第一步（代入满秩分解） ：取 A = B C A=BC A = BC 定理 3.2.1 ），方程变为
B C X B C = B C . BCXBC=BC . BCXBC = BC .
式中 C X B ∈ C r × r CXB\in\mathbb C^{r\times r} CXB ∈ C r × r 降到了 r r r 。
第二步（从「约掉」到「凑出单位阵」） ：上式成立的一个充分条件 是
C X B = I r . CXB=I_r . CXB = I r .
（若如此，则 B C X B C = B ( C X B ) C = B C = A BCXBC=B\,(CXB)\,C=BC=A BCXBC = B ( CXB ) C = BC = A B C X B C = B C BCXBC=BC BCXBC = BC B B B C C C 把 C X B CXB CXB I r I_r I r ——这一步只用到块乘法的结合性，不需要 A A A
第三步（构造 X X X ：要 C X B = I r CXB=I_r CXB = I r C C C X X X I I I B B B X X X I I I
C C H ( C C H ) − 1 = I , ( B H B ) − 1 B H B = I , CC^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}=I,\qquad (B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}B=I, C C H ( C C H ) − 1 = I , ( B H B ) − 1 B H B = I ,
（可逆性：C C C ⇒ C C H \Rightarrow CC^{\mathrm H} ⇒ C C H B B B ⇒ B H B \Rightarrow B^{\mathrm H}B ⇒ B H B 命题 3.1.1 保证。）于是取
X = C H ( C C H ) − 1 ( B H B ) − 1 B H , X=C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}, X = C H ( C C H ) − 1 ( B H B ) − 1 B H ,
验证 （本编补）：
C X B = C C H ( C C H ) − 1 ⏟ I r ( B H B ) − 1 B H B ⏟ I r = I r ⟹ A X A = B C X B C = B I r C = B C = A ✓ CXB=\underbrace{CC^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}}_{I_r}\ \underbrace{(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}B}_{I_r}=I_r\quad\Longrightarrow\quad AXA=BCXBC=B\,I_r\,C=BC=A\ \checkmark CXB = I r C C H ( C C H ) − 1 I r ( B H B ) − 1 B H B = I r ⟹ A X A = BCXBC = B I r C = BC = A ✓
本编补注 · 课件的「充分条件」其实是充要条件
课件写「上式成立的一个充分条件为 C X B = I r CXB=I_r CXB = I r
A X A = A ⟺ C X B = I r . AXA=A\iff CXB=I_r . A X A = A ⟺ CXB = I r .
「⟸ \Longleftarrow ⟸ 已在上方验证。「⟹ \Longrightarrow ⟹ （本编补）：设 B C X B C = B C BCXBC=BC BCXBC = BC B B B 左逆 B L = ( B H B ) − 1 B H B^{\mathrm L}=(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H} B L = ( B H B ) − 1 B H B B B 定理 3.1.1 ）：
B L B C X B C = B L B C ⟹ C X B C = C ; B^{\mathrm L}BCXBC=B^{\mathrm L}BC\ \Longrightarrow\ CXBC=C ; B L BCXBC = B L BC ⟹ CXBC = C ;
再右乘 C C C 右逆 C R = C H ( C C H ) − 1 C^{\mathrm R}=C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1} C R = C H ( C C H ) − 1 C C C
C X B C C R = C C R ⟹ C X B = I r . CXBCC^{\mathrm R}=CC^{\mathrm R}\ \Longrightarrow\ CXB=I_r . CXBC C R = C C R ⟹ CXB = I r .
为什么值得补这一句 ：等价关系把 A X A = A AXA=A A X A = A 关于 X X X C X B = I r CXB=I_r CXB = I r r 2 r^2 r 2 C n × m \mathbb C^{n\times m} C n × m X X X A + A^+ A +
课程预告 · 这个 X X X A + A^+ A +
例 3.2.2 构造的
X = C H ( C C H ) − 1 ( B H B ) − 1 B H X=C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H} X = C H ( C C H ) − 1 ( B H B ) − 1 B H
其实与 B B B C C C 无关 （换一种满秩分解，由 定理 3.2.2 只差一个 D D D D D D D − 1 D^{-1} D − 1 A A A Moore–Penrose 伪逆 A + A^+ A + A + A^+ A + A X A = A AXA=A A X A = A 3.1 预告过的「最好的单侧逆」：当 A A A A + = A − 1 A^+=A^{-1} A + = A − 1 A A A A + = ( A H A ) − 1 A H A^+=(A^{\mathrm H}A)^{-1}A^{\mathrm H} A + = ( A H A ) − 1 A H A A A A + = A H ( A A H ) − 1 A^+=A^{\mathrm H}(AA^{\mathrm H})^{-1} A + = A H ( A A H ) − 1 X X X 附录 A.8 ；广义逆与最小二乘的完整理论是本章后续内容的主干，此处只留一个锚点：满秩分解是构造伪逆最短的桥 。
一条主线 ：Γ \Gamma Γ × \times × ⇒ \Rightarrow ⇒ A = B C A=BC A = BC 定理 3.2.1 ；B B B = = = C C C = = = ⇒ \Rightarrow ⇒ B B B C C C ⇒ \Rightarrow ⇒ 定理 3.2.2 ：任意两种分解相差可逆因子 D D D D D D 注 3 ）⇒ \Rightarrow ⇒ A X A = A AXA=A A X A = A 例 3.2.2 ）。两句话记住它 ：B B B C C C B B B R ( A ) R(A) R ( A ) C C C A A A A A A C C C
常见错误清单 · 自查五条
形状与满秩方向写反 ：B B B m × r m\times r m × r 列 满秩（r r r C C C r × n r\times n r × n 行 满秩（r r r B B B r × m r\times m r × m 以为 R ( A ) R(A) R ( A ) A A A ：注 2 的反例 A = I 2 A A=I_2A A = I 2 A 3.2.2 的 例 3.2.A 用 A A A 3.2.2 的 例 3.2.1 也可改用单位阵，都是合法的满秩分解；把「满秩分解不唯一」写成「随便」 ：不唯一的程度是恰好相差一个可逆矩阵 D D D （定理 3.2.2 ）；忘了检验 D D D B 1 = B 2 D B_1=B_2D B 1 = B 2 D C 1 = D − 1 C 2 C_1=D^{-1}C_2 C 1 = D − 1 C 2 D D D D − 1 D^{-1} D − 1 对 A X A = A AXA=A A X A = A A A A ：从 B C X B C = B C BCXBC=BC BCXBC = BC X B A = I XBA=I XB A = I 整块替换 C X B CXB CXB X X X 逐个因子验算 C X B = I r CXB=I_r CXB = I r C H C^{\mathrm H} C H ( C C H ) − 1 (CC^{\mathrm H})^{-1} ( C C H ) − 1 ( B H B ) − 1 (B^{\mathrm H}B)^{-1} ( B H B ) − 1 B H B^{\mathrm H} B H 忘记前提 r > 0 r>0 r > 0 ：定理 3.2.1、3.2.2 与例 3.2.2 都要求 r > 0 r>0 r > 0 A = O A=O A = O B B B A = O A=O A = O A X A = A AXA=A A X A = A X X X
即时自测（不看上文，5 分钟）
写出满秩分解的形状条件，并说出 B B B C C C
A = [ 1 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix} A = [ 1 1 1 1 ] 定理 3.2.2 中的 D D D 用 RREF 法求 [ 1 2 3 2 4 7 ] \begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&7\end{bmatrix} [ 1 2 2 4 3 7 ] R R R B B B C C C
复述 定理 3.2.2 证明的第一步：为什么 R ( B 1 ) = R ( A ) R(B_1)=R(A) R ( B 1 ) = R ( A ) C 1 C_1 C 1
解答 · 即时自测
A = B C A=BC A = BC B ∈ C r m × r B\in\mathbb C^{m\times r}_r B ∈ C r m × r R ( A ) R(A) R ( A ) C ∈ C r r × n C\in\mathbb C^{r\times n}_r C ∈ C r r × n A A A ⇒ \Rightarrow ⇒ R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R ( A ) = R ( B ) rank A = r \operatorname{rank}A=r rank A = r 取 b 1 = ( 1 , 1 ) T \boldsymbol{b}_1=(1,1)^{\mathrm T} b 1 = ( 1 , 1 ) T R ( A ) = span { b 1 } R(A)=\operatorname{span}\{\boldsymbol{b}_1\} R ( A ) = span { b 1 } r = 1 r=1 r = 1 B B B R ( A ) R(A) R ( A ) 分解一 ：B 1 = [ 1 1 ] B_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} B 1 = [ 1 1 ] C 1 = [ 1 1 ] C_1=[1\ \ 1] C 1 = [ 1 1 ] A = B 1 C 1 A=B_1C_1 A = B 1 C 1 分解二 ：取 B 2 = [ 2 2 ] B_2=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix} B 2 = [ 2 2 ] C 2 = [ 1 2 1 2 ] C_2=[\tfrac12\ \ \tfrac12] C 2 = [ 2 1 2 1 ] B 2 C 2 = A B_2C_2=A B 2 C 2 = A D D D B 1 = B 2 D B_1=B_2D B 1 = B 2 D D = 1 2 D=\tfrac12 D = 2 1 r = 1 r=1 r = 1 D D D 1 × 1 1\times1 1 × 1 C 1 = D − 1 C 2 = 2 ⋅ [ 1 2 1 2 ] = [ 1 1 ] C_1=D^{-1}C_2=2\cdot[\tfrac12\ \ \tfrac12]=[1\ \ 1] C 1 = D − 1 C 2 = 2 ⋅ [ 2 1 2 1 ] = [ 1 1 ] 推广 ：r = 1 r=1 r = 1 B = c [ 1 1 ] B=c\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} B = c [ 1 1 ] C = 1 c [ 1 1 ] C=\tfrac1c[1\ \ 1] C = c 1 [ 1 1 ] c ≠ 0 c\neq0 c = 0 D = c 1 / c 2 D=c_1/c_2 D = c 1 / c 2
先化 RREF：r 2 ← r 2 − 2 r 1 r_2\leftarrow r_2-2r_1 r 2 ← r 2 − 2 r 1 [ 1 2 3 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&2&3\\ 0&0&1\end{bmatrix} [ 1 0 2 0 3 1 ] r 1 ← r 1 − 3 r 2 r_1\leftarrow r_1-3r_2 r 1 ← r 1 − 3 r 2 R = [ 1 2 0 0 0 1 ] R=\begin{bmatrix}1&2&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} R = [ 1 0 2 0 0 1 ] r = 2 r=2 r = 2 主元列 = 1 , 3 =1,3 = 1 , 3 （RREF 中单位块所在的列号），故 B = [ 1 3 2 7 ] B=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} B = [ 1 2 3 7 ] A A A C = [ 1 2 0 0 0 1 ] C=\begin{bmatrix}1&2&0\\ 0&0&1\end{bmatrix} C = [ 1 0 2 0 0 1 ] R R R B C = [ 1 2 3 2 4 7 ] = A BC=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&7\end{bmatrix}=A BC = [ 1 2 2 4 3 7 ] = A C C C ( 2 , 0 ) T (2,0)^{\mathrm T} ( 2 , 0 ) T A A A = 2 × =2\times = 2 × 要点 ：主元列要先把 RREF 化干净再取——若停在 [ 1 2 3 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&1\end{bmatrix} [ 1 0 2 0 3 1 ]
这一半要证 R ( B 1 ) ⊆ R ( A ) R(B_1)\subseteq R(A) R ( B 1 ) ⊆ R ( A ) y = B 1 u ∈ R ( B 1 ) \boldsymbol{y}=B_1\boldsymbol{u}\in R(B_1) y = B 1 u ∈ R ( B 1 ) B 1 C 1 B_1C_1 B 1 C 1 C 1 x = u C_1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{u} C 1 x = u 每个 u \boldsymbol{u} u C 1 C_1 C 1 ⟺ \iff ⟺ ⟺ \iff ⟺ 定理 3.1.1 与单侧逆的映射含义所断言的。反向 R ( A ) ⊆ R ( B 1 ) R(A)\subseteq R(B_1) R ( A ) ⊆ R ( B 1 ) B 1 C 1 x = B 1 ( C 1 x ) B_1C_1\boldsymbol{x}=B_1(C_1\boldsymbol{x}) B 1 C 1 x = B 1 ( C 1 x ) B 1 B_1 B 1