勘误与补注（对照课件）

本页汇总第三章（3.1 相抵分解、3.2 满秩分解、3.4 QR 分解、3.5 Schur 分解）与课件的全部差异。四节均无录播，故本页不涉及口述转写，全部为课件勘误与留白补注两类：

勘误（E3.1–E3.7）：课件中的记号循环、次序不一致、表述保守之处与数值 / 符号笔误，正文均已按自洽写法处理，此处逐条列出以便与课件对照；
补注：课件只述不证或一笔带过、而本编补出证明或算法的地方，汇总在末尾的清单里（正文相应位置已标注「本编补」）。

素材批次说明：3.4（_sources/matrix/3.4-QR分解.pdf，16 页）与 3.5（_sources/matrix/3.5-Schur分解.pdf，22 页）存于本地归档 _sources/；3.1（15 页）、3.2（9 页）的原件在归档目录重组时移出了工作区，勘误依据整理时的留档。四份均为文字版 PDF；纯文字课件页不再截图，正文以 KaTeX 公式与证明为主。

勘误一览（详细说明见后文各框）：

编号	位置	问题	本编处理
E3.1	3.1 课件页 7	分块矩阵读出块标成 $P^{-1}$ 、 $Q^{-1}$ ，与引理 3.1.1 的 $A=P^{-1}\Gamma Q$ 不同调	正文改自洽写法：读出 $E=P$ 、 $F=Q^{-1}$ ，验算 $EAF=\Gamma$
E3.2	3.1 课件页 12 / 13	命题 3.1.1 两页的等式配对次序相反（不矛盾）	正文直接给四项等式链，两页写法一并涵盖
E3.3	3.1 课件页 10	右逆充分性法 1 写 $A=P[I_m,0]Q$ ，与引理记号不同调	正文按引理记号统一， $B=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_m\0\end{bmatrix}P$
E3.4	3.2 课件页 8	例 3.2.2 写「充分条件 $CXB=I_r$ 」，实为充要条件	正文以本编补注补出反方向证明
E3.5	3.5 课件页 14（例 3.5.3）	特征多项式符号连环错（三处连锁）： $f_A$ 印作 $\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1$ 、公式行随之印错、答案 $(1,3)$ 元印作 $0$	正文按重算版本演算： $f_A=(\lambda-1)^3$ 、 $A^{-1}=A^2-3A+3I$ 、 $(1,3)$ 元 $=1$
E3.6	3.4 课件页 7–10（例 3.4.3）	矩阵 $B$ 的 $(3,2)$ 元印作 $0$ ，与其后三页的 $Q_1$ 、 $R_1$ 、补齐列与 $B=QR$ 全部矛盾	按 $B(3,2)=4$ 演算（ $B=\begin{bmatrix}3&3\0&1\4&4\end{bmatrix}$ ），全部分解式逐一验算通过
E3.7	3.4 课件页 14（例 3.4.4）	$R_1$ 对角元两个为负（未按正线规约， $Q_1$ 前两列随之反号）； $Q_1$ 的 $(2,3)$ 元印作 $-0.3561$ ，应为 $-0.3651$ （数字对调）	正文给规约后的正线版本并验算 $Q_1R_1=A$ ；数值经双精度复核

一、3.1 的勘误三条

E3.1 · 课件第 7 页的记号与引理 3.1.1 不同调

课件第 4 页（引理 3.1.1）写 $A=P^{-1}\Gamma Q$ ；第 7 页求 $P^{-1}$ 、 $Q^{-1}$ 的分块矩阵又写成

$\begin{bmatrix}P^{-1}&0\\ 0&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&I\\ I&*\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q^{-1}&0\\ 0&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_r&0&P^{-1}\\ 0&0&\\ Q^{-1}&&*\end{bmatrix}.$

把左边展开可得 $P^{-1}AQ^{-1}=\Gamma$ ，即 $A=P\Gamma Q$ ——与引理的 $A=P^{-1}\Gamma Q$ 差一个位置；只要两处取同一组字母就对不上。根源是课件把「行、列变换的总积」直接标成了 $P^{-1}$ 、 $Q^{-1}$ 。

本编处理：正文 3.1.2 的相抵变换求 $P$ 与 $Q^{-1}$ 给出自洽版本——分块矩阵读出的是 $E=P$ （右上块）与 $F=Q^{-1}$ （左下块），满足 $A=E^{-1}\Gamma F^{-1}$ ；验算用 $EAF=\Gamma$ 即可。引用时请以正文为准。

E3.2 · 命题 3.1.1 两页的表述次序不一致

课件第 12 页写 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})$ 、 $\operatorname{rank}(A^{\mathrm H})=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)$ ；第 13 页把它们写成 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)$ 、 $\operatorname{rank}(A^{\mathrm H})=\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})$ ——两页的配对次序相反。

这不是矛盾：四个量本来就相等（3.1.4 的证明第三步），两种写法都成立。但它说明「配对」不是重点，四项等式链才是：

$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)=\operatorname{rank}(AA^{\mathrm H})=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}).$

本编处理：正文命题 3.1.1 直接给出四项链，并把课件两页的写法一并涵盖；背结论时背这一条即可。

E3.3 · 右逆充分性「法 1」的记号同样与引理不同调

课件第 10 页用法 1 证明右逆存在性时写 $A=P[I_m,0]Q$ （这里 $P$ 、 $Q$ 是不带逆的右侧因子），而引理 3.1.1 的记法是 $A=P^{-1}\Gamma Q$ 。同一节内同一对字母被赋予了两种角色。

本编处理：正文 3.1.3 的充分性证明已按引理记号统一：由 $A=P^{-1}[I_m,0]Q$ 取 $B=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_m\\0\end{bmatrix}P$ ，验算 $AB=I_m$ （与课件给出的 $B$ 只差字母的命名，结论相同）。不影响正确性，只影响抄写时对号入座。

二、3.2 的勘误一条与两处补注

E3.4 · 例 3.2.2 的「充分条件」其实是充要条件

课件写「上式成立的一个充分条件为 $CXB=I_r$ 」，随后据此构造 $X$ 。按课件路线，充分性（ $CXB=I_r\Rightarrow AXA=A$ ）确实只需要块乘法；但反方向也成立（本编补）：由 $BCXBC=BC$ 左乘 $B$ 的左逆 $(B^{\mathrm H}B)^{-1}B^{\mathrm H}$ 、右乘 $C$ 的右逆 $C^{\mathrm H}(CC^{\mathrm H})^{-1}$ ，两步即得 $CXB=I_r$ 。

本编处理：正文 3.2.4 以本编补注补出完整证明，并说明它的意义—— $AXA=A$ 与线性方程组 $CXB=I_r$ 等价，前者因此可以「按线性代数的常规办法」整体讨论解集，而不只是一个特解。课件保守的措辞不影响其结论。

补注 1 · 定理 3.2.2 的证明（课件未给）

课件只陈述定理 3.2.2（两种满秩分解相差可逆因子 $D$ ），未给证明。本编补（见定理 3.2.2）：两步——① 由 $C_1$ 行满秩（满射）得 $R(B_1)=R(B_1C_1)=R(A)$ ，同理 $R(B_2)=R(A)$ ，故 $B_1$ 、 $B_2$ 的列是同一个子空间的两组基；② 取两基之间的过渡矩阵 $D$ （定义 1.3.5），得 $B_1=B_2D$ ，再用 $B_2$ 的单射「约」出 $C_1=D^{-1}C_2$ 。这正是注 3「 $D$ 是过渡矩阵」那句话的展开。

补注 2 · 「方法 2 里

\operatorname{rank}C=r

」的理由（课件写「又知」）

课件在构造法 2 中写「又知 $\operatorname{rank}C\ge\operatorname{rank}A=r$ 、 $\operatorname{rank}C\le r$ 」，两句话都未给理由。本编补（见定理 3.2.1）：上界因为 $C$ 只有 $r$ 行；下界因为 $C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\Rightarrow A\boldsymbol{x}=BC\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，即 $N(C)\subseteq N(A)$ ，再用亏加秩（定理 2.2.5）。

另外，构造法 2 还隐含一步课件未写的结论：取定的基不必来自 $A$ 的列（注 2 的注 2 用 $A=I_2A$ 强调了这一点）；本编在 3.2.2 补充的 RREF 算法（用 RREF 批量求满秩分解）则是「取 $A$ 的列做主元列」的机械化版本——两种做法对应注 2 的两端。

三、3.4 的勘误两条与一处补注

E3.6 · 例 3.4.3 的矩阵元素笔误：B 的 (3,2) 元应为 4

课件例 3.4.3 将矩阵印作 $B=\begin{bmatrix}3&3\\0&1\\4&0\end{bmatrix}$ ，随后给出的整套数据为

$Q_1=\begin{bmatrix}3/5&0\\0&1\\4/5&0\end{bmatrix},\qquad R_1=\begin{bmatrix}5&5\\0&1\end{bmatrix},\qquad B=Q_1R_1 .$

逐列验算即穿帮： $Q_1R_1$ 的第二列 $=5\boldsymbol{z}_1+\boldsymbol{z}_2=(3,1,4)^{\mathrm T}$ ，而按印出的 $B$ 第二列应为 $(3,1,0)^{\mathrm T}$ ——差在第三个分量。其后的「补齐 $\mathbb C^3$ 标准正交基」页与推论 3.4.1 页（ $B=Q\begin{bmatrix}R_1\\O\end{bmatrix}$ ）沿用同一组 $Q_1$ 、 $R_1$ ，故笔误只在矩阵那一处： $B$ 的 $(3,2)$ 元应为 $4$ （即 $B=\begin{bmatrix}3&3\\0&1\\4&4\end{bmatrix}$ ）。旁证：这正是数据的「设计意图」—— $B$ 的第二列 $(3,1,4)^{\mathrm T}$ 减掉在 $\boldsymbol{z}_1$ 上的成分后恰好得到 $\boldsymbol{e}_2$ （残差范数 $1$ 、现成的整数），若按 $(3,1,0)^{\mathrm T}$ 计算，GS 的残差是 $(48/25,1,-36/25)^{\mathrm T}$ ，与课件全部数字对不上。

本编处理：正文例 3.4.3 按 $B(3,2)=4$ 演算， $Q_1$ 、 $R_1$ 、补齐列 $\left(-\tfrac45,0,\tfrac35\right)^{\mathrm T}$ 与 $B=QR$ 逐一验算通过。

E3.7 · 例 3.4.4 的两个问题：对角未规约正号；一个数字对调

课件例 3.4.4 给出的第一次分解为

$Q_1=\begin{bmatrix}-0.8944&0.4082&0.1826\\ -0.4472&-0.8165&-0.3561\\ 0&-0.4082&0.9129\end{bmatrix},\qquad R_1=\begin{bmatrix}-2.2361&-2.2361&-0.4472\\ 0&-2.4495&-2.4495\\ 0&0&3.2863\end{bmatrix}.$

两个问题：

$R_1$ 的前两个对角元为负（ $-2.2361$ 、 $-2.4495$ ）——违反定理 3.4.1 刚立下的「正线」约定。数学上 $Q_1R_1$ 仍是合法的「酉 $\times$ 上三角」分解（ $Q$ 前两列与 $R$ 前两行同时反号所致，参 3.4.1 的对角酉阵刻画），但不合规约，且按正线版本应整体翻正；
$Q_1$ 的 $(2,3)$ 元印作 $-0.3561$ ，正确值 $-0.3651$ （数字对调）。这一处不是无害的舍入：直接回代可验出 $Q_1R_1$ 的 $(2,3)$ 元为 $1.03$ （应约 $1$ ），且该列与其余列的内积偏离 $0$ 达 $7\times10^{-3}$ （四位小数下应见 $0$ ）。

本编处理：正文例 3.4.4 给出规约后的正线版本（ $Q_1$ 、 $R_1$ 前两列 / 行翻正、 $(2,3)$ 元改 $-0.3651$ ），验算 $Q_1R_1=A$ 至四位小数通过，并以双精度复核算例。另注：课件 $A_{10}$ 、 $A_{20}$ 的中间数值与双精度复算同数量级但不逐位相同（中间量随实现与舍入而异），对角元收敛位置一致，正文已说明。

补注 3 · 定理 3.4.1 的唯一性证明与「不唯一程度」的刻画（课件未给）

课件陈述「分解唯一」但未证。本编补（见定理 3.4.1）：设 $A=Q_1R_1=Q_2R_2$ ，则 $Q_2^{\mathrm H}Q_1=R_2R_1^{-1}$ 同时是酉阵与上三角阵（对角为正）；「上三角 $\wedge$ 酉 $\Rightarrow$ 对角、 $|d_{ii}|=1$ 」（逐列归纳），正对角再逼出全 $1$ ，故该矩阵 $=I$ 。证明同时暴露了「满秩」的用处（ $R_1$ 可逆）与「不唯一的精确程度」：去掉正线后，任意两种分解恰好相差一个对角酉阵（实情形 $2^n$ 种）——正文 3.4.1 的本编补注与例 3.4.B（新增。同批补出的还有推论 3.4.1 的构造证明（GS $+$ 基扩充，推论 3.4.1）。

四、3.5 的勘误一条与补注四条

E3.5 · 例 3.5.3 的三处连锁错误

课件例 3.5.3（求 $A=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$ 的逆）一页上依次印着：

特征多项式 $f_A(\lambda)=\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1$ ——符号全错。 $A$ 是对角元全 $1$ 的上三角阵， $f_A(\lambda)=(\lambda-1)^3=\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1$ （课件印的是 $(\lambda+1)^3$ 的展开）；
公式行 $A^{-1}=-A^2-3A-3I$ ——随 1 连锁错。按推论 3.5.2 与正确的 $f_A$ （ $a_2=-3,a_1=3,a_0=-1$ ）： $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(A^2+a_2A+a_1I)=A^2-3A+3I$ ；课件那行是把错的系数直接代进公式的结果；
答案矩阵 $\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}$ 的 $(1,3)$ 元印作 $0$ ——应为 $1$ 。正确答案 $A^{-1}=A^2-3A+3I=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}$ ，回代 $AA^{-1}=I$ 验算即知（ $(1,3)$ 元 $=1-1+1$ ）。

三处错误同源（第 1 处），级联到第 2、3 处；课件最终印出的矩阵既非公式行（哪怕是错的公式行）的计算结果，也非真逆。

本编处理：正文例 3.5.3 按重算版本演算并双路验算（公式 $+$ 几何级数 $I-N+N^2$ ），互相印证。

补注 4 · 定理 3.5.1 的证明（课件未给）

课件只述不证。本编补（见定理 3.5.1）：对阶数归纳——取一个特征向量 $\boldsymbol{x}_1$ ，扩充为基后相似变换把 $A$ 化成 $\begin{bmatrix}\lambda_1&\boldsymbol{\beta}\\\boldsymbol{0}&A_1\end{bmatrix}$ ，对 $A_1$ 用归纳假设，再拼分块对角阵收尾；「对角元是特征值」由分块三角行列式 $f_A=(\lambda-\lambda_1)f_{A_1}$ 与相似不变性得到。

补注 5 · 定理 3.5.3 的证明（课件未给）

本编补（见定理 3.5.3）：把补注 4 的归纳逐句搬进实数域——特征值全实（前提）保证每步的 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 有实非零解，基扩充也在 $\mathbb R$ 内完成，得实可逆 $P$ ；再照抄定理 3.5.2 的收尾（实 QR 分解）， $Q^{\mathrm T}AQ=R\Lambda R^{-1}$ 为实上三角。

补注 6 · 定理 3.5.4 与定理 3.5.5 的证明（课件均未给）

Hamilton–Cayley（定理 3.5.4）：在 Schur 型上把 $f_A(\Lambda)=\prod_i(\Lambda-\lambda_iI)$ 的因子按次序从右往左乘，归纳证明第 $k$ 个部分积清掉前 $k$ 列——「上三角 $\Rightarrow$ $\Lambda\boldsymbol{e}_j$ 不漏到后面的分量」是归纳得以推进的关键。只验「对角元全零」不够（对角全零的上三角可非零）。

最小多项式性质（定理 3.5.5）：整除性用带余除法 $g=qm_A+r\Rightarrow r(A)=O\Rightarrow r=0$ ；唯一性由互相整除 $+$ 同次首一；「同根」的正向是 $m_A\mid f_A$ ，反向用注 4 的特征向量继承 $m_A(A)\boldsymbol{\alpha}=m_A(\lambda_0)\boldsymbol{\alpha}$ 。正文另把课件例 3.5.4 的做法整理成三步候选法（求最小多项式：候选法）。

五、本编补全清单（共 14 处）

正文中所有「本编补」的汇总，方便与课件逐页核对：

#	位置	课件状态	本编补出的内容
1	3.1 引理 3.1.1	只述不证	选基 $+$ 换基公式的存在性证明（引理 3.1.1）
2	3.1 分解不唯一	给结论，省略「为什么」	$\begin{bmatrix}I_r&\0&I\end{bmatrix}\Gamma=\Gamma=\Gamma\begin{bmatrix}I_r&0\&I\end{bmatrix}$ 的验算与可逆性（分解唯一性问题与习题 B10）
3	3.1 例 3.1.1	只给前两步	解的结构（可解判据 / 自由度数 $n-r$ ）与无解时的信息（例 3.1.1）
4	3.1 定理 3.1.1	只证右逆必要性	左逆的必要性（对 $A^{\mathrm H}$ 对称化，定理 3.1.1）
5	3.2 定理 3.2.1 方法 2	写「又知」	$\operatorname{rank}C=r$ 的夹逼理由（补注 2）
6	3.2 定理 3.2.2	只述不证	过渡矩阵路线的完整证明（补注 1）
7	3.2 例 3.2.2	写「充分条件」	反方向证明， $\iff$ 的完整刻画（E3.4）
8	3.4 定理 3.4.1	只述「分解唯一」	唯一性证明与「相差对角酉阵」的精确刻画（补注 3）
9	3.4 推论 3.4.1	只述不证	GS $+$ 基扩充的构造证明（推论 3.4.1）
10	3.4 思考（QR 算法为何收敛到特征值）	只给两行	相似链 $(Q_1\cdots Q_{k-1})^{\mathrm H}A(Q_1\cdots Q_{k-1})$ 与连续性收口；另补「等模卡死」反例（旋转阵）与收敛次序注
11	3.5 定理 3.5.1	只述不证	归纳证明（补注 4）
12	3.5 定理 3.5.3	只述不证	实数域内的归纳 $+$ 实 QR 收尾（补注 5）
13	3.5 定理 3.5.4	只给特征多项式的等价形式	Schur 型上按次序乘因子、逐列清零的完整证明（补注 6）
14	3.5 定理 3.5.5	只述不证	带余除法 $+$ 特征向量继承的两条性质证明；候选法流程（求最小多项式：候选法）

另：课件原有的算例之外，本编新增了 10 个逐步验算的例题（例 3.1.A–例 3.1.D、例 3.2.A、例 3.2.B（新增、例 3.4.A、例 3.4.B（新增、例 3.5.A、例 3.5.B）、一个 RREF 算法（用 RREF 批量求满秩分解）与一个最小多项式候选法（求最小多项式：候选法），全部经过回代验算（例 3.4.4、例 3.5.5 另做双精度数值复核），可直接当作对照答案使用。